Satz von Napoleon

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Aus , und gleichseitig folgt (rot) gleichtseitig, wird auch als äußeres Napoleondreieck bezeichnet

Der Satz von Napoleon, benannt nach Napoleon Bonaparte, ist eine Aussage aus der Elementargeometrie. In der Literatur wird er gelegentlich Napoleon zugeschrieben, es gibt jedoch bisher keinen konkreten Nachweis darauf, dass er wirklich auf Napoleon zurückgeht. Errichtet man über den Seiten eines beliebigen Dreiecks jeweils nach außen gerichtete gleichseitige Dreiecke, dann besagt der Satz, dass deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck bilden. Eine analoge Aussage für Parallelogramme ist der Satz von Thébault-Yaglom, beide Sätze lassen sich zum Satz von Napoleon-Barlotti für Vielecke verallgemeinern. Eine weitere Verallgemeinerung des Satzes von Napoleon ist der Satz von Petr–Douglas–Neumann.

Wenn man über den Seiten eines beliebigen Dreiecks Sei nach außen gerichtete gleichseitige Dreiecken , und errichtet, dann bilden deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck. Dieses Dreieck wird als (äußeres) Napoleon-Dreieck bezeichnet.[1]

Erweiterungen und verwandte Aussagen

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Inneres und äußeres Napoleon-Dreieck

Sind die über den Seiten des Dreiecks errichteten gleichseitigen Dreiecke nach innen anstatt nach außen gerichtet, so bilden deren Mittelpunkte ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck. Dieses wird auch als inneres Napoleon-Dreieck bezeichnet und für die Flächen des äußeren Napoleon-Dreiecks, des inneren Napoleon-Dreiecks und des Ausgangsdreieck besteht dabei die folgende Beziehung:[2][1]

Eine zum Satz von Napoleon analoge Aussage für Parallelogramme liefert der Satz von Thébault-Yaglom, hier bilden die Mittelpunkte der über den Seiten eines Parallelogramms errichteten Quadrate ebenfalls ein Quadrat. Beide Sätze verallgemeinern sich zum Satz von Napoleon-Barlotti, der beschreibt unter welchen Bedingungen die Mittelpunkte der über den Seiten eines n-Ecks errichteten regulären n-Ecke ebenfalls ein reguläres n-Eck bilden.[3]

Satz von Napoleon für Trapeze
,

Eine ähnliche Aussage zum Satz von Napoleon lässt sich jedoch nicht nur für Parallelogramme formulieren, sondern auch für Trapeze, wobei hier jedoch über den beiden parallelen Seiten keine Quadrate, sondern Rechtecke errichten werden, deren Seitenlängen denen der parallelen Seiten entsprechen. Auch in diesem Fall bilden die Mittelpunkte der beiden Rechtecke und Quadrate über den Seiten des Trapezes ein Quadrat. Ist das Trapez zudem ein Parallelogramm, so werden die beiden Rechtecke zu Quadraten und man erhält wieder den Satz von Thébault-Yaglom. Analog zum Satz von Napoleon erhält man auch ein Quadrat, wenn die die beiden Rechtecke und Quadrate nach innen anstatt nach außen gerichtet sind.[4]

Allgemeinere Aussage über ähnliche Dreiecke, gleichfarbene Winkel sind gleich groß,

Der Satz von Napoleon ist auch ein Spezialfall einer allgemeineren Aussage über Dreiecke. Errichtet man über den Seiten eines beliebigen Dreiecks nach außen gerichtete ähnliche Dreiecke , und , so dass die Summe der Winkel in , und ergibt, dann bilden die Umkreismittelpunkte dieser Dreiecke ein Dreieck, das zu diesen ähnlich ist.[2]

Der Satz von Petr–Douglas–Neumann beschreibt ein iteriertes Verfahren, bei dem man durch mehrfaches Errichten von ähnlichen gleichschenkligen Dreiecken über den Seiten eines beliebigen n-Ecks schließlich bei einem regulären n-Eck landet. Wendet man das Verfahren auf ein Dreieck an, so entspricht es im Wesentlichen dem Satz von Napoleon, wobei man allerdings nicht gleichseitige Dreiecke über den Seiten des Ausgangsdreieck errichtet, sondern ähnliche gleichschenklige Dreiecke mit einem Spitzenwinkel von . Die Spitzen dieser Dreiecke entsprechen damit den Mittelpunkten der gleichseitigen Dreiecke aus dem Satz von Napoleon.[5][6]

Obwohl die Aussage des Satzes für Dreiecke in der Literatur gelegentlich Napoleon zugeschrieben wird und oft nach ihm benannt ist, gibt es keinen konkreten Hinweis darauf, dass das Resultat wirklich auf Napoleon zurückgeht.[7][8]

Als erste bekannte Veröffentlichung galt lange eine von einem W. Rutherford gestellte Frage, die 1825 in der Rubrik „New Mathematical Questions“ der Zeitschrift The Ladies' Diary erschien. Im darauffolgenden Jahr wurden dann mehrere Lösungen in The Ladies’ Diary von verschiedenen Autoren vorgestellt. Napoleon wird in diesen Publikationen nicht erwähnt.[7] Allerdings erschien die Aussage als Aufgabenstellung formuliert bereits in den 1823 publizierten Dublin problems, einer Aufgabensammlung aus mathematischen Examen in Dublin. Dort kommt sie als Aufgabe in einem Examen von 1820 vor.[9]

In den folgenden Jahrzehnten wurde die Aussage von verschiedenen Mathematikern wiederentdeckt und publiziert auch jeweils ohne irgendwelche Hinweise auf Napoleon. In der 1911 erschienenen 17-ten Ausgabe des Geometriebuchs Elementi di Geometria, ad uso Degli Istituti Tecnici (1◦ Biennio) e dei Licei des italienischen Mathematikers Aureliano Faifofer wurde sie jedoch Napoleon zugeschrieben. 1926 behaupteten dann mit L. Campedelli und G. Gobesso zwei weitere italienische Mathematiker, dass die Aussage auf Napoleon zurückginge und schrieben, Napoleon hätte sie Joseph-Louis Lagrange vorgestellt. Obwohl beiden Zuschreibungen zu Napoleon ohne jegliche Belege erfolgten, hat sich seitdem Napoleon dennoch als Name für diese und verwandte mathematischen Aussagen eingebürgert.[7]

Faifofers Geometriebuch wurde lange als die erste Erwähnung Napoleons angesehen,[7] jedoch war die Aussage bereits in der Chambers's Encyclopaedia von 1867 Napoleon zugeschrieben worden.[10]

Die ersten beiden Beweise nutzen die Eigenschaften von Drehungen, um Winkelgrößen im Napoleon-Dreieck zu bestimmen oder Streckenlängen zu vergleichen. Der dritte Beweis hingegen berechnet mit Hilfe des Kosinussatzes und trigonometrischer Identitäten die Seitenlängen des Napoleon-Dreiecks direkt. Weitere Beweise erhält mit Hilfe komplexer Zahlen und deren geometrischer Deutung anhand der komplexen Zahlenebene oder auch durch die Herleitung allgemeinerer Aussagen, wie die analoge Aussage zu ähnlichen Dreiecken, die den Satz von Napoleon dann als Spezialfall enthalten.

Geometrischer Beweis

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Geometrischer Beweis, Strecken gleicher Farbe sind gleich

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck mit den über seinen Seiten errichteten gleichseitigen Dreiecken , und . Deren Mittelpunkte sind und ist das Napoleon-Dreieck.

Dreht man diese Konfiguration um um den Punkt nach rechts und um um den Punkt nach links, dann wird das Dreieck mit Mittelpunkt bei beiden Drehungen auf das Dreiecke mit Mittelpunkt abgebildet. Aufgrund der Drehungen gilt und , damit sind die Dreiecke und kongruent, da sie sich zudem die Seite teilen (Kongruenzsatz SSS). Somit gilt für die Winkel und und damit ist ein gleichseitiges Dreieck.[11]

Vektorbeweis über Rotation

Seien die Ortsvektoren der Eckpunkte eines beliebigen Dreiecks und die Ortsvektoren der Spitzen der gleichseitigen Dreiecke. Weiterhin eine Drehmatrix, die um nach links dreht. Dann gelten die folgenden Gleichungen:[1]

Da der Mittelpunkt bei einem gleichseitigen Dreieck mit seinem geometrischen Schwerpunkt, dem Schnitt der Seitenhalbierenden, übereinstimmt, lasen sich die drei Mittelpunkte der gleichseitigen Dreiecke wir folgt berechnen:

Um nachzuweisen, dass das Dreieck gleichseitig ist, reicht es zu zeigen, dass gilt. Denn diese Gleichung bedeutet, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck mit einem -Winkel handelt und damit auch um ein gleichseitiges Dreieck.

Trigonometrischer Beweis

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Trigonometrischer Beweis mit
Trigonometrischer Beweis mit

Mit , und liefert der Kosinussatz im Dreieck :

Da und Schnittpunkte von Seitenhalbierenden in den entsprechenden gleichseitigen Dreiecken sind, teilen sie diese im Verhältnis 2:1, was bedeutet, dass die Strecken der Seitenhalbierenden betragen. Berücksichtigt man noch, dass die Seitenhalbierende in einen gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge des Dreiecks beträgt, erhält man:

Eingesetzt in den obigen Kosinussatz erhält man damit:

(1)

Das Additionstheorem des Kosinus liefert unter der Berücksichtigung von und :

Eingesetzt in die obige Gleichung (1) erhält man:

(2)

Der Kosinussatz im Dreieck liefert:

Zudem gilt für Fläche dieses Dreiecks:

Wendet man nun beides in der Gleichung (2) an, so erhält man schließlich:

Diese Formel für die Seite ist nun symmetrisch bezogen auf die Seiten des Ausgangsdreieck . Dies bedeutet, dass eine entsprechende Berechnung der anderen beiden Seiten von dieselbe Formel liefert und damit alle drei Seiten die gleiche Länge besitzen.[12]

Die obige Rechnung setzt allerdings voraus, dass ist, was auch für die anderen Winkel des Dreiecks gelten muss. Gilt nun so beträgt der im Kosinussatz zur Berechnung von verwendete Winkel

Aufgrund der folgenden trigonometrischen Identität

führt dies jedoch zur selben Berechnung von beziehungsweise wie zuvor.

Beweis für das innere Napoleon-Dreieck

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Ersetzt man im obigen Vektorbeweis die linksdrehende Matrix durch eine rechtsdrehende so erhält man einen Beweis für die Gleichseitigkeit des inneren Napoleon-Dreiecks.

  • Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie. Springer, 2018, ISBN 978-3-658-22833-0, S. 85–88
  • Fritz Schmidt: 200 Jahre französische Revolution. Problem und Satz von Napoleon mit Variationen. In: Didaktik der Mathematik 18 (1990), S. 15–29 (Digitalisat)
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 90–91
  • K. Schütte: Neue Fassung einer Verallgemeinerung des Satzes von Napoleon. Elemente der Mathematik, Band 44, Heft 5, 1989 (Digitalisat)
  • Klaus Taschwer: Warum Napoleon auch als Mathematiker in die Geschichte einging. Der Standard, 21. Dezember 2023
  • Dominik Wrazidlo, Manuel Plate: Napoleon auf der Spur. Spitzendreiecke mit konstanen Innenwinkeln. Junge Wissenschaft, Band 89, 2011, S. 16–22 (Digitalisat)
  • Stan Dolan: Triangles around a given triangle. In: The Mathematical Gazette, Vol. 99, No. 546, November 2015, S. 432–443 (JSTOR)
  • Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann: The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012, Kapitel 7 Areas of and within triangles
  • Cristina Vacarescu: Napoleon's Theorem. In: Annals (Constanţa Maritime University). 2009, Band 10, Ausgabe 12, S. 465–470
  • John Baker: Geometry and vectors. In: Australian Senior Mathematics Journal, 2001, Band 15 Ausgabe 2, S. 19–28
  • Mirza Cvorak, Manuela Muzika Dizdarevic: Napoleon's Theorem from the Viewpoint of Gröbner Bases. In: Matematicki Vesnik. Dezember 2022, Band 74, Ausgabe 4, S. 289–300 (Digitalisat)
Commons: Satz von Napoleon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. a b c Martin J. Erickson: Aha! Solutions. MAA, 2009, ISBN 978-0-88385-829-5, S. 49–51
  2. a b Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. Random House, New York 1967, S. 62–65
  3. Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer, 2013, S. 420
  4. Stephan Berendonk: A Napoleonic Theorem for Trapezoids. In: The American Mathematical Monthly, Vol. 126, No. 4, April 2019, S. 367–369 (JSTOR)
  5. Stephen B. Gray: Generalizing the Petr-Douglas-Neumann Theorem on N-Gons. In: The American Mathematical Monthly, Band 110, Nr. 3, März 2003, S. 210–227 (JSTOR)
  6. Eric W. Weisstein: Petr-Neumann-DouglasTheorem. In: MathWorld (englisch). (abgerufen am 21. Juni 2024)
  7. a b c d Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem? In: The American Mathematical Monthly. Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR)
  8. Christoph J. Scriba: Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen? In: Historia Mathematica. Band 8, Nr. 4, 1981, S. 458–459, doi:10.1016/0315-0860(81)90054-9.
  9. Dublin problems: a collection of questions proposed to the candidates for the gold medal at the general examinations, from 1816 to 1822 inclusive. Which is succeeded by an account of the fellowship examination, in 1823. G. and W. B. Whittaker, London 1823 (online, 22,8 MB)
  10. Chambers’s Encyclopaedia. London 1867, Band IX, S. 538
  11. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 90–91
  12. Scott Brodie: Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs - Proof #1 ("Hammer and Tongs" trigonometry) auf cut-the-knot.org (abgerufen am 22. Juni 2024)