Satz von Pitt

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Der Satz von Pitt, benannt nach Harry Raymond Pitt, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.[1] Er trifft eine Aussage über Operatoren zwischen den Folgenräumen , aus der sich ergibt, dass die -Räume paarweise nicht-isomorph sind.

Formulierung des Satzes

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  • Es sei . Ist ein abgeschlossener Unterraum, so ist jeder stetige, lineare Operator kompakt.[2]

Eine schwächere Formulierung erhält man, wenn man nur den Unterraum betrachtet:[3]

  • Für ist jeder stetige, lineare Operator kompakt.

Als einfache Folge ergibt sich, dass es keinen Isomorphismus für geben kann. Indem man nötigenfalls zum Inversen des Isomorphismus übergeht, kann man ohne Einschränkung annehmen. Nach dem Satz von Pitt müsste ein solcher Isomorphismus kompakt sein, woraus die Kompaktheit der Einheitskugel folgte und damit ein Widerspruch zur unendlichen Dimension der beteiligten Räume. Dazu genügt obige schwächere Formulierung.

Die erste Formulierung des Satzes von Pitt ergibt aber viel mehr. Keiner der -Räume ist isomorph zu einem abgeschlossenen Teilraum eines für . Man nennt zwei unendlichdimensionale Banachräume vollständig unvergleichbar, wenn jeder abgeschlossene, unendlichdimensionale Unterraum des einen nicht isomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum des jeweils anderen Banachraums ist.[4] Für sind also und vollständig unvergleichbar.

Mittels der Chintschin-Ungleichung sieht man leicht, dass jeder Raum Lp([0,1]) einen zu isomorphen, abgeschlossenen Unterraum enthält. Da dies für , , nach Obigem nicht gilt, ist nicht isomorph zu , falls . Im Gegensatz dazu hat man für nach dem Satz von Fischer-Riesz sogar eine isometrische Isomorphie .

Einzelnachweise

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  1. H. R. Pitt: A note on bilinear forms, J. London Math. Soc. (1932), Band 11, Seiten 174–180
  2. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory, Springer-Verlag (2006), ISBN 978-1-4419-2099-7, Theorem 2.1.4
  3. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 4.23
  4. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory, Springer-Verlag (2006), ISBN 978-1-4419-2099-7, Definition 2.1.7