Satz von Schur-Zassenhaus

Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet:

• Für eine endliche Gruppe $G$ und einen Normalteiler $N\triangleleft G$ mit $\operatorname {ggT} (|N|,[G:N])=1$ existiert eine Untergruppe $U\leq G$ mit $G\,=\,NU$ und $N\cap U\,=\,1$. Die Gruppe $G$ ist also das semidirekte Produkt $G=N\times _{\theta }U$ aus $N$ und $U$.

Die Untergruppe $U$ in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele

• Die zyklische Gruppe $G=\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},\ldots ,{\overline {5}}\}$ hat den Normalteiler $N=\{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {4}}\}$. Da die Zahlen $|N|=3$ und $[G:N]=2$ teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. $U=\{{\overline {0}},{\overline {3}}\}$ ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe $G$ abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.

• Die symmetrische Gruppe $G=S_{3}=\{e,d,d^{2},s_{1},s_{2},s_{3}\}$ hat den Normalteiler $N=\{e,d,d^{2}\}$. Wegen $|N|=3$ und $[G:N]=2$ kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen $U_{i}=\{e,s_{i}\},\,i=1,2,3$ die Aussage des Satzes.

• Die zyklische Gruppe $G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}$ hat den Normalteiler $N=\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}$. Hier sind $|N|=2$ und $[G:N]=2$ nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe $U\subset G$, die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist ${\overline {2}}$ und das liegt bereits in $N$. Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von $|N|$ und $[G:N]$ in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.

• Ist $N$ irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel $G=N\times N$, dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Quellen

• Andreas Nickel: Basiswissen Algebra (PDF; 544 kB), Universität Regensburg, S. 6