Satz von der Isoliertheit der Nullstellen

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Der Satz von der Isoliertheit der Nullstellen[1] ist ein Satz aus der Funktionentheorie über das Nullstellenverhalten von komplexen Funktionen. Eine isolierte Nullstelle ist eine Nullstelle, für die eine Umgebung existiert, so dass keine weitere Nullstelle darin liegt. Eine solche Nullstelle kann für die Bestimmung der Eigenschaften der Funktion, wie zum Beispiel ihrer Asymptoten oder Wendepunkte, verwendet werden.

Satz von der Isoliertheit der Nullstellen

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Sei eine holomorphe Funktion mit einer Nullstelle . Falls ein offener Ball existiert, so dass für alle gilt, dass , dann ist eine isolierte Nullstelle.

Sei offen und zusammenhängend und holomorph.

Dann gilt, entweder ist konstant gleich oder die Menge der Nullstellen hat keinen Häufungspunkt, das heißt alle Nullstellen sind isolierte Punkte.[1]

Sei die Menge der Häufungspunkte von Nullstellen von in . Da stetig ist, ist abgeschlossen.

Ist , so gibt es eine Kreisscheibe , in der eine Potenzreihenentwicklung besitzt. Nach dem Identitätssatz für Potenzreihen folgt in . Also ist auch offen.

Da zusammenhängend ist, folgt oder . Die letzte Möglichkeit scheidet aus, da .[1]

Seien holomorph und habe einen Häufungspunkt in . Dann ist .

Die Nullstellen einer Funktion können aber einen Häufungspunkt außerhalb ihres Definitionsbereichs haben. Zum Beispiel hat

die Nullstellen , deren Häufungspunkt gehört aber nicht zum Definitionsbereich der Funktion.

  • Vialar Thierry: Handbook of Mathematics. Hrsg.: BoD - Books on Demand. 2016, S. 627.

Einzelnachweise

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  1. a b c Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. S. 207.