Satz von der konstanten Sehne

Konstante Sehnenlänge: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

Konstante Durchmesser: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

Der Satz von der konstanten Sehne ist eine Aussage der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft einer bestimmten Sorte von Sehnen zweier sich schneidender Kreise beschreibt.

Die Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ schneiden sich in den Punkten $P$ und $Q$, darüber hinaus ist $Z_{1}$ ein beliebiger von $P$ und $Q$ verschiedener Punkt auf $k_{1}$. Die Geraden $Z_{1}P$ und $Z_{1}Q$ schneiden den Kreis $k_{2}$ in $P_{1}$ und $Q_{1}$. Der Satz von der konstanten Sehne besagt nun, dass die Länge der Sehne $P_{1}Q_{1}$ des Kreises $k_{2}$ nicht von der Wahl von $Z_{1}$ abhängt, also konstant ist.

Der Satz bleibt auch gültig, wenn $Z_{1}$ mit $P$ oder $Q$ übereinstimmt, insofern man dann die nicht definierte Gerade $Z_{1}P$ oder $Z_{1}Q$ durch die Tangente an $k_{1}$ in $Z_{1}$ ersetzt.

Es gilt auch ein analoger Satz im Dreidimensionalen für den Schnitt zweier Kugeln. Die Kugeln $k_{1}$ und $k_{2}$ besitzen den Schnittkreis $k_{s}$ und $Z_{1}$ ist ein beliebiger Punkt auf der Oberfläche der Kugel $k_{1}$, der nicht auf dem Schnittkreis $k_{s}$ liegt. Die Verlängerung des von $k_{s}$ und $Z_{1}$ gebildeten Schiefkegels schneidet die Kugel $k_{2}$ in einem Kreis, dessen Durchmesser eine konstante Länge besitzt, das heißt die Länge des Durchmessers hängt nicht von $Z_{1}$ ab.

Nathan Altshiller-Court beschrieb den Satz von der konstanten Sehne 1925 in dem Artikel sur deux cercles secants für die belgische Mathematikzeitschrift Mathesis. Acht Jahre später publizierte er dann die dreidimensionale Variante unter dem Titel On Two Intersecting Spheres im American Mathematical Monthly. Später fand der Satz Eingang in mehrere Textbücher, zum Beispiel in Ross Honsbergers Mathematical Morsels und Roger Nelsens Proof Without Words II findet er sich als Aufgabe und in Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten von Halbeisen, Hungerbühler und Läuchli als Lehrsatz.

Literatur

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 16 (Auszug)
• Roger B. Nelsen: Proof Without Words II. MAA, 2000, S. 29
• Ross Honsberger: Mathematical Morsels. MAA, 1979, ISBN 978-0-88385-303-0, S. 126–127
• Nathan Altshiller-Court: On Two Intersecting Spheres. The American Mathematical Monthly, Band 40, Nr. 5, 1933, S. 265–269 (JSTOR)
• Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. Mathesis, Band 39, 1925, S. 453

Weblinks

Commons: Constant chord theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Aussage als Aufgabe auf cut-the-knot.org (englisch)