Schilow-Rand

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Der Schilow-Rand (nach Georgi Schilow, nach englischer Transkription auch Shilov-Rand) ist ein mathematisches Konzept aus der Theorie der kommutativen -Banachalgebren. Damit wird eine Version des aus der Funktionentheorie bekannten Maximumprinzips auf kommutative Banachalgebren übertragen.

Der Einfachheit beschränken wir uns auf kommutative Algebren mit Einselement. Es seien ein kompakter Hausdorffraum und eine Unteralgebra der Banachalgebra der stetigen Funktionen mit folgenden Eigenschaften:

  • , das heißt enthält die konstante Funktion 1,
  • , das heißt trennt die Punkte von

Man sagt dann kurz, sei eine Funktionenalgebra auf .

Eine abgeschlossene Teilmenge heißt maximierend (für ), falls für alle Funktionen Folgendes gilt: .[1]

Ist zum Beispiel die Kreisscheibe und die Diskalgebra, das heißt die Algebra aller stetigen Funktionen auf , die im Inneren holomorph sind, so ist wegen des Maximumprinzips der Funktionentheorie jede abgeschlossene Teilmenge, die den Rand enthält, eine maximierende Menge. Insbesondere ist die kleinste maximierende Menge.

Schilow-Rand für Funktionenalgebren

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Das Beispiel der Diskalgebra verallgemeinert sich zu folgendem auf Schilow zurückgehenden Satz:

  • Sind ein kompakter Hausdorffraum und eine Funktionenalgebra auf , so ist der Durchschnitt aller maximierenden Mengen für nicht leer und wieder maximierend.[2]

Insbesondere gibt es also eine kleinste maximierende Menge. Diese nennt man den Schilow-Rand der Funktionenalgebra , übliche Bezeichnungen sind oder . Da maximierende Mengen Ränder sind, ist auch der Schilow-Rand ein Rand.[3]

Schilow-Rand für kommutative Banachalgebren

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Sei eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement. Der Gelfand-Raum ist bekanntlich ein kompakter Hausdorffraum und die Gelfand-Transformation bildet auf eine Funktionenalgebra auf ab. Der Schilow-Rand der Funktionenalgebra wird Schilow-Rand von genannt und ebenfalls mit oder bezeichnet.

  • Der Gelfand-Raum der Diskalgebra ist die Menge der Punktauswertungen und die Abbildung ist ein Homöomorphismus. Identifiziert man mittels dieses Homöomorphismus mit , so und es ist .
  • Sei der Bizylinder mit Radius . sei die von allen Polynomen in zwei Variablen erzeugte Unter-Banachalgebra von . Man kann zeigen, dass der Gelfand-Raum von die Menge der Punktauswertungen für ist und dass eine Homöomorphismus ist. Man kann also wie oben mit identifizieren. Dann kann man zeigen, dass . In diesem Fall ist der Schilow-Rand kleiner als der topologische Rand von in .
  • Ist ein kompakter Hausdorffraum und , so ist .
  • Ist eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement, so gilt für die Gelfand-Transformierte , dass . Das folgt direkt aus den Definitionen, denn ist eine maximierende Menge der Funktionenalgebra . Die Gelfand-Transformierten erfüllen damit ein Maximumprinzip bzgl. des Schilow-Randes. Darüber hinaus gilt folgende lokale Version des Maximumprinzips:[4]
Ist     offen, so gilt für alle und , dass .
  • Bekanntlich gilt für das Spektrum von die Formel . Bezüglich der Ränder der Spektren gilt die Formel .[6]

Einzelnachweise

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  1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Definition 1
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Theorem 3
  3. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Definition 4
  4. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Theorem 11
  5. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Korollar 9.4.1
  6. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Satz 7