Schleifenraum

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Der Schleifenraum ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, insbesondere der Homotopietheorie.

Es sei ein punktierter topologischer Raum. Es sei der Raum aller stetigen Funktionen , versehen mit kompakt-offenen-Topologie. Der Schleifenraum von ist der Unterraum

mit der Teilraumtopologie.

Die „Punkte“ von sind also geschlossene Wege mit Start- und Endpunkt , sogenannte Schleifen an . Daraus erklärt sich die Bezeichnung Schleifenraum.

Der Schleifenraum ist in natürlicher Weise selbst wieder ein punktierter topologischer Raum, als Basispunkt nimmt man die konstante Schleife für alle .

Schleifenraum als Funktor

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Sind und punktierte topologische Räume und ist eine stetige Abbildung, so ist durch

eine stetige Abbildung zwischen den Schleifenräumen erklärt. Ist ein dritter punktierter topologischer Raum und stetig, so gilt offenbar

.

Auf diese Weise erhält man einen Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume.[1]

Homotopien und Fundamentalgruppe

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Eine Homotopie zwischen zwei Schleifen ist eine stetige Abbildung

, so dass
  für alle
  für alle
  für alle

Das stellt man sich so vor, dass die Schleifen und durch die stetig ineinander „deformiert“ werden. Die letzte der genannten Bedingungen stellt sicher, dass die ebenfalls Schleifen an sind. Solche Homotopien, die den Basispunkt des punktierten topologischen Raums festhalten, nennt man genauer punktierte Homotopien.

Homotopie zwischen Schleifen ist eine Äquivalenzrelation, die Menge der Äquivalenzklassen von wird oft mit bezeichnet. Die Äquivalenzklasse einer Schleife wird mit bezeichnet und Homotopieklasse genannt.

Sind zwei Schleifen gegeben, so kann daraus eine neue Schleife gebildet, die zuerst durchläuft und danach , genauer

.

Diese Verknüpfung ist mit der Homotopie von Schleifen verträglich, induziert also eine Verknüpfung auf der Menge der Homotopieklassen: . Man kann zeigen, dass diese Verknüpfung zu einer Gruppe macht, die man die Fundamentalgruppe von nennt[2], neutrales Element ist , die Homotopieklasse der konstanten Schleife. Der Schleifenraum selbst ist mit der Verknüpfung * keine Gruppe, es ist also notwendig, zu den Homotopieklassen überzugehen.

Beziehung zur Einhängung

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Die Einhängung des punktierten topologischen Raums ist als Quotientenraum

definiert, sei die Quotientenabbildung, wobei wie üblich das Bild von als Basispunkt in genommen wird. Es sei ein weiterer punktierter topologischer Raum. Zu einer stetigen Abbildung

erhält man eine stetige Abbildung

und damit eine stetige Abbildung

.

Da und unter auf den Basispunkt von abgebildet werden und Basispunkte erhält, ist , das heißt ist tatsächlich ein Element des Schleifenraums . Wir erhalten somit eine bijektive Abbildung

in der Kategorie der punktierten topologischen Räume, diese Abbildung ist mit punktierten Homotopien verträglich, induziert daher eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen. In diesem Sinne sind die Funktoren und adjungiert.[3]

Einzelnachweise

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  1. Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Abschnitt 4.4: Loop Space
  2. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 7.1, Satz 1
  3. Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Abschnitt 4.4: Loop Space