Schnirelmann-Dichte

Die Schnirelmann-Dichte soll in der additiven Zahlentheorie die "Dichtheit" einer Folge quantifizieren. Sie ist stets wohldefiniert, auch wenn die asymptotische Dichte einer Folge nicht existiert.

Definition

Sei $A$ eine Menge natürlicher Zahlen. Dann ist ihre Schnirelmann-Dichte

$\sigma A=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}}$, wobei $A(n)$ die Anzahl der natürlichen Zahlen in A beschreibt, die n nicht überschreiten.

Aus der Definition folgt $\sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n.$ und $\forall k\ k\notin A\Rightarrow \sigma A\leq 1-1/k$. Es gilt also insbesondere

$1\notin A\Rightarrow \sigma A=0$ und

$2\notin A\Rightarrow \sigma A\leq {\frac {1}{2}}$.

Damit sind die Schnirelmann-Dichten der geraden und ungeraden Zahlen jeweils $0$ und $\textstyle {\frac {1}{2}}$.

Satz von Mann

Dieser Satz wurde 1942 von Henry Mann bewiesen:

Seien $A,B$ Mengen natürlicher Zahlen und $A\oplus B:=(A\cup \{0\})+(B\cup \{0\})$. Dann gilt:

$\sigma (A\oplus B)\geq \min(1,\sigma A+\sigma B).$

Waringsches Problem

Sei ${\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }$. Dann lässt sich das waringsche Problem wie folgt formulieren:

Für jedes $k\in \mathbb {N}$ existiert ein $N(k)$, sodass $\sigma (N{\mathfrak {G}}^{k}={\mathfrak {G}}^{k}\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus {\mathfrak {G}}^{k})=1$.

Jede natürliche Zahl lässt sich also als Summe aus $N$ $k$-Potenzen darstellen.

Literatur

• Lew Schnirelmann: Über additive Eigenschaften von Zahlen. Math. Ann. 107, 649–690 (1933)
• Henry Mann: A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers. Ann. math. 43, 43, 523–527 (1942)