Segre-Einbettung

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Die Segre-Einbettung ist eine Abbildung, die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann, um dem kartesischen Produkt zweier projektiver Varietäten die Struktur einer projektiven Varietät zu geben. Die Segre-Einbettung ist nach Corrado Segre benannt.

Definition in homogenen Koordinaten

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Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, der - und der -dimensionale projektive Raum über mit homogenen Koordinaten und .

Die Segre-Einbettung von und ist definiert als

,

wobei die nach der lexikographischen Ordnung angeordnet sind.

Das Bild wird als Segre-Varietät bezeichnet.[1]

Koordinatenfreie Definition

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Es ist auch möglich, die Segre-Einbettung koordinatenfrei zu definieren. Für endlichdimensionale -Vektorräume und und die zugehörigen projektiven Räume und definiert man die Segre-Einbettung mit Hilfe des Tensorprodukts als[2]

.

Die Segre-Einbettung ist eine wohldefinierte injektive Abbildung, deren Bild eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge ist.

Somit ist die Segre-Varietät tatsächlich eine projektive Varietät. Das dazugehörige homogene Ideal lässt sich explizit angeben. Bezeichnen wir die homogenen Koordinaten auf mit , so erhalten wir

.

Die Segre-Varietät kann also auch als Nullstellenmenge der Minoren der Matrix aufgefasst werden und ist damit eine spezielle Determinantenvarietät.

Produkte in der Kategorie der (quasi-)projektiven Varietäten

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Sind , (lokal-)abgeschlossene Teilmengen, so ist auch (lokal-)abgeschlossen.

Da bijektiv ist, kann damit auf die Struktur einer (quasi-)projektiven Varietät definiert werden, indem man die Struktur mit Hilfe der Bijektion überträgt.

Die dadurch definierte (quasi-)projektive Varietät ist ein Produkt im Sinne der Kategorientheorie.[3][4]

Hat man alternativ dazu die Produkte auf einem anderen Weg definiert, so kann man zeigen, dass die Segre-Einbettung eine abgeschlossene Einbettung ist, was sie im obigen Weg per Definition ist.[5]

Im einfachsten Fall erhalten wir für eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach . Die Segre-Varietät ist dann eine Quadrik. Bezeichnet man die homogenen Koordinaten mit , so erhält man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante

[6]

Einzelnachweise

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  1. Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.
  2. Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, S. 49.
  3. Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.21.
  4. Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Exercise 3.16.
  5. Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, Aufgabe 4.7.
  6. Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.