Sieb (Kategorientheorie)

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Ein Sieb bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Menge von Morphismen mit einem festen gemeinsamen Ziel und einer gewissen Rechtsidealeigenschaft.

Es seien eine Kategorie und ein Objekt aus . Ein Sieb auf ist eine Menge von Morphismen , wobei den Definitionsbereich von bezeichne, so dass folgende Bedingung erfüllt ist:

Sind und ein Morphismus in , so ist .[1][2]

Jede Komposition eines Siebelementes mit einem weiteren Morphismus von rechts liegt also wieder im Sieb.

Einfache Beispiele und Eigenschaften

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  • Die leere Menge von Morphismen ist ein Sieb.
  • Die Menge aller Morphismen mit Ziel ist ein Sieb, es ist das maximale Sieb auf .
  • Durchschnitte und Vereinigungen von Sieben sind wieder Siebe.
  • Ist eine beliebige Menge von Morphismen mit Ziel so ist der Durchschnitt aller umfassenden Siebe das von erzeugte Sieb und es ist
.
  • Seien ein Sieb auf und ein Morphismus, so ist
ein Sieb auf , das mittels auf zurückgezogene Sieb.
  • Ist ein Sieb auf und sind und Morphismen, so gilt .

Siebe auf topologischen Räumen

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Es sei ein topologischer Raum. Dann bildet man die Kategorie der offenen Mengen und Inklusionen, das heißt, dass die Objekte dieser Kategorie die offenen sind und die einzigen Morphismen die Inklusionen , genauer die Inklusionsabbildungen sind. Damit kann man Morphismen mit Ziel mit offenen Teilmengen identifizieren.

Dann ist ein Sieb auf nichts weiter als eine Menge offener Teilmengen , so dass jede in einer Siebmenge enthaltene offene Menge ebenfalls im Sieb enthalten ist. Anschaulich bedeutet das: Passt eine offene Menge durch das Sieb, dann auch jede kleinere.

Ist ein System offener Mengen in , zum Beispiel eine offene Überdeckung von , so erhält man das von erzeugte Sieb durch Hinzunahme aller offenen Teilmengen der einzelnen . Viele Konstruktionen in der Garbentheorie über einem topologischen Raum verwenden nur offene Überdeckungen und ihre Eigenschaften. Der Begriff des Siebs ist eingeführt worden, um dies auf beliebige Kategorien verallgemeinern zu können. So kommt man zum Begriff der Grothendieck-Topologie.[3]

Siebe als Unterfunktoren des Hom-Funktors

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Jedes Sieb auf in einer Kategorie definiert wie folgt einen Funktor in die Kategorie der Mengen:

  • Für ein Objekt in sei
  • Für einen Morphismus in sei definiert durch . Offenbar ist das Diagramm

kommutativ, so dass ein Unterfunktor von ist.

Umgekehrt ist für jeden Unterfunktor von ein Sieb. Daher identifiziert man üblicherweise mit und verwendet das Sieb selbst wie einen Funktor, nämlich wie .

Im unten angegebenen Lehrbuch von H. Schubert werden Siebe als Unterfunktoren von Hom-Funktoren definiert.[4]

Einzelnachweise

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  1. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag (1992), ISBN 978-0-387-97710-2, Kap. I.4
  2. S. I. Gelfand, Y. I. Manin: Methods of Homological Algebra, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-3-662-03222-0, Kap. II, §4, Definition 13
  3. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag (1992), ISBN 978-0-387-97710-2, Kap. III.2: Grothendieck-Topologies
  4. H. Schubert: Kategorien II, Springer-Verlag (1970), ISBN 978-3-540-04866-4, Definition 20.1.2