Dreiecksverteilung

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Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.

Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Hierbei bestimmen die Parameter (minimaler Wert), (maximaler Wert) und (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung ( und ). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die -Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert .

Plot of the Triangular PMF

Verteilungsfunktion

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Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist

Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet

Erwartungswert und Median

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Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable ist

Für ist der Median gegeben durch

. Für diesen Fall ist der Median kleiner als der Erwartungswert; d. h. die Verteilung ist rechtsschief im Sinne von Pearson.

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable ergibt sich zu

Beziehung zu anderen Verteilungen

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Summe gleichverteilter Zufallsgrößen

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Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit , Standardabweichung , mittlerer absoluter Abweichung und Interquartilsabstand .

Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen

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Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit .

Trapezverteilung

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Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung.

Diskrete Dreiecksverteilung

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Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.