Dieser Artikel behandelt die Lie-Algebra
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded600e15b581e1b97149bb9ef0fcefaa3fdb3cb)
, zur Gruppe
![{\displaystyle SL(2,C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e956562207af771af0b6e275a6832ad2ee13d4b8)
siehe
Spezielle lineare Gruppe.
In der Mathematik ist die Lie-Algebra
der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die
ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.
Die
ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe
. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper
definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra
und die Lie-Algebra
.
Die Gruppe
spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen
ist.
Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum
. Die
ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:
![{\displaystyle [x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a9776f0df5dd357c3ae3d1dc866309dccea6f9)
Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:
![{\displaystyle x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c8bd41b9869ce06b6d0ec4e3b1c86efbdacc67)
Durch die Definition des Kreuzproduktes in
und der folgenden Vektoren
![{\displaystyle x=(1,\mathrm {i} ,0),\quad y=(-1,\mathrm {i} ,0),\quad h=(0,0,2\mathrm {i} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d964899950b2bc417e346aa1f394c9bb2fa4cd72)
ergibt sich die gleiche Algebra:
![{\displaystyle x\times y=h,\quad h\times x=2x,\quad h\times y=-2y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22834cdbbbce52ed8252f59061ff34c3d529161d)
ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.
Beweis: Sei
ein nichttriviales Ideal in
und sei
mit
. Wenn
, dann
, damit
und
, also
. Also können wir
oder
annehmen, o. B. d. A
. Aus
folgt dann
und damit auch
, also wieder
.
Die Killing-Form von
lässt sich explizit durch die Formel
![{\displaystyle B(v,w)=4\,\operatorname {Spur} (vw)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9dad32a87a43178e6d91cbdd6c468fc26027a0)
berechnen, es ist also
![{\displaystyle B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3c896d8e78976b5be8ff49413b06da016ff66d)
![{\displaystyle B(x,y)=4,\ B(x,h)=B(y,h)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6be21f38704d361681f51c9110a3705d7337e0c)
Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe
ist
, ihre Lie-Algebra
wird von
und
aufgespannt.
Eine Cartan-Involution von
ist gegeben durch
.
ist ihr Eigenraum zum Eigenwert
. Man erhält die Cartan-Zerlegung
,
wobei
der Eigenraum zum Eigenwert
ist.
Eine Iwasawa-Zerlegung von
ist
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4946421e12478f33ba8ebf99069f7b04d9e6753d)
mit
.
Die
hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist
, ihre spaltbare reelle Form ist
.
Eine maximale abelsche Unteralgebra ist
.
ist eine Cartan-Unteralgebra.
Jede Cartan-Unteralgebra
ist zu
konjugiert, d. h., sie ist von der Form
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}=g{\mathfrak {h}}_{0}g^{-1}:=\left\{ghg^{-1}:h\in {\mathfrak {h}}_{0}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c471e5a5195ba024e723f089a3ba7e0842817d5)
für ein
.
Das Wurzelsystem zu
ist
.
Die dualen Wurzeln sind
.
Die zugehörigen Wurzelräume sind
.
Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe
.
- Nicolas Perrin: The Lie Algebra
PDF
- Abhinav Shrestha: Representations of semisimple Lie algebras PDF