sl(2,R)

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In der Mathematik ist die Lie-Algebra der Prototyp einer (reellen) einfachen Lie-Algebra.

Die ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe . Sie ist die spaltbare reelle Form der komplexen Lie-Algebra .

Die Lie-Gruppe hat vielfältige Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Kommutator-Relationen

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ist die Lie-Algebra der spurlosen 2×2-Matrizen

mit dem Kommutator von Matrizen als Lie-Klammer.

Als Vektorraum wird sie von der Basis

aufgespannt: . Die Struktur als Lie-Algebra wird durch die folgenden Kommutator-Relationen festgelegt:

Eigenschaften und Struktur

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ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei ein nichttriviales Ideal in und sei mit . Wenn , dann , damit und , also . Also können wir oder annehmen, o. B. d. A. . Aus folgt dann und damit auch , also wieder .

Die Killing-Form von lässt sich explizit durch die Formel

berechnen, es ist also

.

Isomorphismus sl(2,R)=o(2,1)

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Die adjungierte Darstellung von auf erhält die Killing-Form. Weil die Killing-Form Signatur (2,1) hat, realisiert dies eine Abbildung

und man kann zeigen, dass ein Gruppenisomorphismus ist. Insbesondere ist die Lie-Algebra isomorph zu .

Cartan-Involution

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Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe ist die Spezielle orthogonale Gruppe , ihre Lie-Algebra ist die Lie-Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen:

.

Eine Cartan-Involution von ist gegeben durch

.

ist ihr Eigenraum zum Eigenwert . Man erhält die Cartan-Zerlegung

,

wobei der Eigenraum zum Eigenwert ist.

Iwasawa-Zerlegung

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Eine Iwasawa-Zerlegung von ist

mit .

Cartan-Unteralgebren

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hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

und

.[1]

Das Wurzelsystem zu ist

.

Die dualen Wurzeln sind

.

Die zugehörigen Wurzelräume sind

.

Als positive Weyl-Kammer kann man

wählen. Dann ist die (einzige) positive Wurzel und insbesondere eine einfache Wurzel.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe .

Darstellungen von sl(2,R)

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Jede Darstellung von entspricht durch Tensorieren mit einer -linearen Darstellung von , man erhält also alle Darstellungen von als Einschränkungen von Darstellungen der sl(2,C).

  • Nicolas Perrin: The Lie Algebra pdf

Einzelnachweise

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  1. Anthony W. Knapp - Lie Groups beyond an Introduction, Chapter VI.6