Dieser Artikel behandelt die Lie-Algebra
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6194fdd6c417135b0b5e424b4560b8ec55628b1)
, für die Lie-Gruppe siehe
SL(2,R).
In der Mathematik ist die Lie-Algebra
der Prototyp einer (reellen) einfachen Lie-Algebra.
Die
ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe
. Sie ist die spaltbare reelle Form der komplexen Lie-Algebra
.
Die Lie-Gruppe
hat vielfältige Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.
ist die Lie-Algebra der spurlosen 2×2-Matrizen
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )=\left\{A\in Mat(2,\mathbb {R} ):\operatorname {Spur} (A)=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27937b98f829c33514a32de85a71f228e7e5755e)
mit dem Kommutator von Matrizen als Lie-Klammer.
Als Vektorraum wird sie von der Basis
![{\displaystyle x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c8bd41b9869ce06b6d0ec4e3b1c86efbdacc67)
aufgespannt:
. Die Struktur als Lie-Algebra wird durch die folgenden Kommutator-Relationen festgelegt:
![{\displaystyle [x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a9776f0df5dd357c3ae3d1dc866309dccea6f9)
ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.
Beweis: Sei
ein nichttriviales Ideal in
und sei
mit
. Wenn
, dann
, damit
und
, also
. Also können wir
oder
annehmen, o. B. d. A.
. Aus
folgt dann
und damit auch
, also wieder
.
Die Killing-Form von
lässt sich explizit durch die Formel
![{\displaystyle B(v,w)=4\operatorname {Spur} (vw)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5281f7253da3aa8b560a5126ecd69f5a8c62a0)
berechnen, es ist also
![{\displaystyle B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3c896d8e78976b5be8ff49413b06da016ff66d)
.
Die adjungierte Darstellung von
auf
erhält die Killing-Form. Weil die Killing-Form Signatur (2,1) hat, realisiert dies eine Abbildung
![{\displaystyle Ad\colon SL(2,\mathbb {R} )\to O(2,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e597fea4e1ae161971898f5b485d94a5c6141f65)
und man kann zeigen, dass
ein Gruppenisomorphismus
ist. Insbesondere ist die Lie-Algebra
isomorph zu
.
Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe
ist die Spezielle orthogonale Gruppe
, ihre Lie-Algebra
ist die Lie-Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen:
.
Eine Cartan-Involution von
ist gegeben durch
.
ist ihr Eigenraum zum Eigenwert
. Man erhält die Cartan-Zerlegung
,
wobei
der Eigenraum zum Eigenwert
ist.
Eine Iwasawa-Zerlegung von
ist
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c462b096e3c788437f348be7efb372715f2a0393)
mit
.
hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdd4ef6f92f2eaadd0fec3838e1e469735b2bee)
und
.[1]
Das Wurzelsystem zu
ist
.
Die dualen Wurzeln sind
.
Die zugehörigen Wurzelräume sind
.
Als positive Weyl-Kammer kann man
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{+}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda >0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5d6ad7c18d4229edc1696978c23367f6649545)
wählen. Dann ist
die (einzige) positive Wurzel und insbesondere eine einfache Wurzel.
Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe
.
Jede Darstellung von
entspricht durch Tensorieren mit
einer
-linearen Darstellung von
, man erhält also alle Darstellungen von
als Einschränkungen von Darstellungen der sl(2,C).
- Nicolas Perrin: The Lie Algebra
pdf
- ↑ Anthony W. Knapp - Lie Groups beyond an Introduction, Chapter VI.6