Die Spektraldichte eines stationären stochastischen Prozesses erlaubt tiefe Einblicke in die Struktur des Prozesses, insbesondere wenn es sich um Erkenntnisse über Periodizitäten handelt. Es ist also wichtig, dass aus gegebenen Daten, z. B. einer konkreten Zeitreihe, die Spektraldichte gut geschätzt werden kann.
Grundlage der meisten Schätzer ist das Periodogramm, das auf Arthur Schuster 1898 zurückgeht.[1]
Sei
(
die Menge der ganzen Zahlen) ein (evtl. komplexwertiger) stationärer stochastischer Prozess mit
- Erwartungswert
![{\displaystyle \operatorname {E} X_{t}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d977c349b052daf43a6412727a6b7a86254d26b)
- Kovarianzfunktion
.
Falls
, gilt die Spektraldarstellung von
:
.
Die Funktion
heißt Spektraldichte. Ihr Funktionswert
gibt die Intensität der Frequenz
im Spektrum von
an.
Seien
Realisierungen eines stationären stochastischen Prozesses
mit
. Dann heißt der Ausdruck
![{\displaystyle I_{n}(\lambda ):={\frac {1}{2\pi n}}\left|\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,e^{-i\lambda k}\right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f4d722d28dc9e2133b866150e174761ffc3d64)
Periodogramm der konkreten Zeitreihe
.
Man kann das Periodogramm umformen in
.
erweist sich also als die (empirische) Fouriertransformierte der empirischen Kovarianzfunktion
. Da
die Fouriertransformierte von
ist, kann man heuristisch erwarten, dass
eine geeignete Schätzung für
darstellt. Tatsächlich ist das Periodogramm eine asymptotisch erwartungstreue Schätzung der Spektraldichte, allerdings ist sie nicht konsistent,[2] d. h. in unmodifizierter Form nur eingeschränkt geeignet zur Schätzung der Spektraldichte.
Erwartungstreue und konsistente Schätzungen für
erzeugt man durch geeignete gewichtete Mittel von
aus einer geeigneten Umgebung von
.[3] Eine allgemeine Darstellung dafür ist
![{\displaystyle {\hat {f}}_{n}(\lambda )={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }W_{n}(\nu )I_{n}(\lambda -\nu )d\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2ee3bcc98422ad86c17fc2ef98cfc8e66d0d03)
mit geeignetem Spektralfenster
. In der Regel wird obiges
diskret erzeugt als Summe, und zwar für die sogenannten Fourierfrequenzen
, wobei
so gewählt ist, dass
gilt. Dann hat man die Struktur
.
Wenn die
und
folgende Eigenschaften haben, erzwingt man Konsistenz:[4]
.
Die Gewichte
werden in der Regel durch symmetrische Kernfunktionen
mit
erzeugt gemäß:[5]
.
siehe z. B.[5] Vereinfacht schreiben wir jetzt
und
anstatt
und
.
- Abgeschnittenes Periodogramm, erzeugt durch den Rechteckkern
. Dabei ist
die Indikatorfunktion. Es ist also
für
und
sonst.
- Bartlett-Schätzung, erzeugt durch den Dreieck-Kern
, es ist
für
und
sonst.
- Parzenschätzung, erzeugt durch einen komplizierteren Kern, der eine günstige asymptotische Varianz liefert:
.
- ↑ A. Schuster: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena. In: Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity. 3, 1898, S. 13–41, doi:10.1029/TM003i001p00013.
- ↑ J. Anděl: Statistische Analyse von Zeitreihen. Akademie-Verlag, Berlin 1984.
- ↑ U. Grenander, M. Rosenblatt: Statistical Analysis of Stationary Time Series. Wiley 1957. (Reprint: American Mathematical Society, 2008) full text
- ↑ E. Parzen: Mathematical Considerations in the Estimation of Spectra. In: Technometrics. Vol. 3, 1961, S. 167–190, doi:10.1080/00401706.1961.10489939, JSTOR:1266111.
- ↑ a b P. J. Brockwell and R. A. Davis: Time Series: Theory and Methods. Springer 1987 (jüngste Auflage 2009)