Stochastisch vollständige Mannigfaltigkeit

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In der Mathematik ist eine stochastisch vollständige Mannigfaltigkeit eine Mannigfaltigkeit , auf der eine brownsche Bewegung definiert ist, welche dort fast sicher verweilt, egal in welchem Ausgangspunkt sie beginnt. Eine Verfeinerung des Begriffes ist der Begriff der lokalen Zeit auf Mannigfaltigkeiten.

Sei eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit und der Wärmeleitungskern für den Laplace-Beltrami-Operator. Die Brownsche Bewegung auf ist ein Markow-Prozess und ihre Übergangswahrscheinlichkeitsdichte ist der Wärmeleitungskern . Die Mannigfaltigkeit heißt stochastisch vollständig, wenn für ein (äquivalent für alle) gilt

.

Äquivalente Charakterisierungen

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Eine Mannigfaltigkeit ist genau dann stochastisch vollständig, wenn für jedes die Ungleichung außer keine nichtnegativen, beschränkten, glatten Lösungen hat. Äquivalent soll für jedes die triviale Lösung auf die einzige beschränkte Lösung des Cauchy-Problems mit im -Sinn sein.

ist stochastisch vollständig für , aber nicht für . Offene Teilmengen , deren Abschluss nicht ganz ist, sind nicht stochastisch vollständig. Vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Schranke für die Ricci-Krümmung sind immer stochastisch vollständig.

  • A. Grigoryan: Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. 36, 135–249 (1999)