Straffe Kontaktstruktur

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In der Mathematik sind straffe Kontaktstrukturen (englisch: tight contact structure) ein Begriff aus der Kontaktgeometrie. Der Begriff geht auf Eliashberg zurück. In der -dimensionalen Kontaktgeometrie hat man eine fundamentale Dichotomie zwischen straffen und überdrehten Kontaktstrukturen.

Eine Kontaktstruktur auf einer 3-Mannigfaltigkeit heißt straff, wenn es in der Mannigfaltigkeit keine überdrehten Kreisscheiben gibt, also keine eingebetteten Kreisscheiben, deren Rand ein Legendre-Knoten ist und die entlang des Randes transversal zur Kontaktstruktur sind.

Mit anderen Worten: Kontaktstrukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten sind straff, falls sie nicht „überdreht“ (englisch: overtwisted) sind. Sie sind überdreht, falls die Kontaktstruktur eine überdrehte Kreisscheibe enthält.[1]

Die Standard-Kontaktstruktur auf .
  • Die Standard-Kontaktstruktur mit Kontaktform auf dem ist straff.
  • Die durch die Kontaktformen auf dem Volltorus gegebenen Kontaktstrukturen sind straff.
  • Straffheitssatz von Gromov-Eliashberg: Wenn eine Kontaktstruktur symplektisch füllbar ist, dann ist sie straff. Zum Beispiel ist die durch auf gegebene Standard-Kontaktstruktur der 3-Sphäre straff.
  • Kontaktüberlagerungslemma: Wenn eine Kontaktüberlagerung und straff ist, dann ist auch straff. Zum Beispiel sind die durch auf dem 3-Torus gegebenen Kontaktstrukturen straff.

Klassifikationen

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  • Auf und ist die Standard-Kontaktstruktur die einzige straffe, positive Kontaktstruktur.
  • Auf liefern die eine vollständige Liste straffer Kontaktstrukturen.
  • Die Poincaré-Homologiesphäre mit umgekehrter Orientierung trägt keine straffe, positive Kontaktstruktur.
  • Die zusammenhängende Summe trägt keine straffe Kontaktstruktur.
  • H. Geiges: Contact Topology, Cambridge University Press 2008
  • H. Geiges: Contact geometry, in: F. J. E. Dillen, L.C.A. Verstraelen (Hrsg.), Handbook of Differential Geometry, Band 2, North-Holland, Amsterdam, 2006, S. 315–382, Arxiv (Abschnitt 3.6 Tight and Overtwisted)

Einzelnachweise

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  1. Geiges, Contact Topology, Cambridge UP, 2008, S. 159