Symbolklassen sind mathematische Objekte aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen. Sie wurden von Lars Hörmander eingeführt[1] und werden deshalb manchmal auch Hörmander-Klassen[2] genannt. Ihre Elemente sind eine Verallgemeinerung des Symbols eines Differentialoperators.
Möchte man Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren wie zum Beispiel Pseudodifferentialoperatoren oder Fourier-Integraloperatoren betrachten, so kann man auch Symbole von reellem Grad verwenden beziehungsweise untersuchen. Zu diesem Zweck wurden die Symbolklassen von Lars Hörmander eingeführt.
Seien
natürliche Zahlen,
eine offene Teilmenge und
reelle Zahlen mit
und
. Dann versteht man unter
die Menge aller glatten Funktionen
, so dass für jede kompakte Menge
und alle
die Ungleichung
![{\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a6b77a5280f0a7ab1c6cf1ae31d874df36cc5b)
für eine Konstante
erfüllt ist. Die Elemente von
werden Symbole der Ordnung
und des Typs
genannt. Außerdem werden die Symbolklassen
und
durch
![{\displaystyle {\begin{aligned}S^{-\infty }&:=\bigcap _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}\\S_{\rho ,\delta }^{\infty }&:=\bigcup _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d826dfa1abda032c0e5ce2fbcad9542dffb3041)
definiert.
Die besten Konstanten der Ungleichung
![{\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a6b77a5280f0a7ab1c6cf1ae31d874df36cc5b)
das heißt die Konstanten
![{\displaystyle p_{K,\alpha ,\beta }(a):=\sup _{x\in K;\ \xi \in \mathbb {R} ^{n}}{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )(1+|\xi |)^{-m+\rho |\alpha |-\delta |\beta |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1b644b3827cdf1f17b9d6bdd4a1414da7286e2)
sind Halbnormen. Diese machen die Räume
zu Fréchet-Räumen. Da
gilt und der abzählbare Durchschnitt von Fréchet-Räumen wieder ein Fréchet-Raum ist, ist auch
ein Fréchetraum.
Sei
eine offene Teilmenge.
- Identifiziert man den Raum der reellen Zahlen
mit dem Raum der konstanten Funktionen, so ist dieser ein Teilraum von
.
- Sei
![{\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f11fac43ea0e4c5025f9cbab94712dd0a5cfdb)
- mit Koeffizientenfunktionen
ein Symbol eines Differentialoperators der Ordnung
. Dann gilt
.[3]
- Sei
mit
. Dann gilt
.[3]
- Die Symbolklassen
sind für alle
,
und
Montel-Räume.
- Differenzieren des Symbols nach der zweiten Variablen verbessert (also verringert) die Ordnung. Präzise bedeutet dies, dass die Abbildung
![{\displaystyle p\mapsto {\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}p(x,\xi )\colon S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})\to S_{\rho ,\delta }^{m-\rho |\alpha |}(X\times \mathbb {R} ^{N})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a559640b1c538cdab0a06b1c01bc31f8f316babd)
- linear und stetig ist.
- Multiplizieren zweier Symbole ergibt wieder ein Symbol, es gilt nämlich
![{\displaystyle (p,{\tilde {p}})\mapsto p(x,\xi ){\tilde {p}}(x,\xi )\colon S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})\times S_{\rho ,\delta }^{m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})\to S_{\rho ,\delta }^{m+m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bf16ff53954847b67239b6069e3e3a1911dc14)
- Diese Abbildung ist bilinear und stetig.
- Für
gilt
.
- Sei
positiv homogen vom Grad m für
, das heißt
![{\displaystyle a(x,\lambda \xi )=\lambda ^{m}a(x,\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367837f9778c37c9af6af452d9d40ab5b3df098e)
- für
und
. Dann gilt
.
- Sei
offen und
. Auf beschränkten Teilmengen von
ist die durch
induzierte Topologie die Topologie der punktweisen Konvergenz.
- Sei
. Dann ist
in der
-Topologie dicht in
.
Sei
ein Symbol. Existieren
mit
![{\displaystyle m=m_{0}>m_{1}>\ldots >m_{i}\to -\infty \quad i\to \infty \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da667339d794db6f26723f190be4c67d8e89d0bf)
so dass
![{\displaystyle a-\sum _{j=0}^{N-1}a_{j}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{N}}(X\times \mathbb {R} ^{N})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f76c715bc4b243237f37b4dd10daa2b0e3519f)
für jede positive Zahl
gilt. Die formale Reihe
ist eine asymptotische Entwicklung von
und man schreibt
[4]
Die asymptotisch Entwicklung eines Symbols ist eindeutig modulo Symbole der Klasse
. Präzise formuliert heißt das:
Sei
eine Zerlegung mit
und sei
. Dann existiert ein Symbol
, so dass
![{\displaystyle a\sim \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c1a909d848c79e80bef5781242f692c8370861)
gilt. Gibt es ein weiteres Symbol
mit der gleichen asymptotischen Entwicklung, dann gilt
.[5]
Ein klassisches Symbol ist ein Spezialfall eines Symbols aus dem Raum
Diese erweisen sich im Zusammenhang mit Pseudo-Differentialoperatoren als einfacher zu handhaben. Eingeführt wurde diese Klasse von Funktionen von den Mathematikern Joseph Kohn und Louis Nirenberg.[6]
Ein Symbol
heißt klassisches Symbol und man schreibt dafür
, wenn es eine Ausschälfunktion
gibt und Funktionen
, so dass jedes
positiv homogen von der Ordnung
in der Variablen
ist. Es muss also
![{\displaystyle a_{j}(x,t\xi )=t^{m-j}a_{j}(x,\xi )\qquad \forall (x,t,\xi )\in X\times \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} _{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc63d758de85a01d5ac46ce281f35dd38c62fbd)
gelten und außerdem muss
![{\displaystyle a(x,\xi )-\sum _{j=0}^{k-1}\phi (x)a_{j}(x,\xi )\in S^{m-k}(X\times \mathbb {R} ^{N})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6396731fac6ea0165bb936686fb3108c09deb2e5)
für alle
gelten. Dies liefert eine asymptotische Entwicklung von
.
- ↑ Alain Grigis & Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators: an introduction, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 40.
- ↑ M. A. Shubin: Pseudo-differential operator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- ↑ a b Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 29.
- ↑ Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 33.
- ↑ Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 33–36.
- ↑ J.J. Kohn, L. Nirenberg: On the algebra of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269–305.
- Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 1.. Distribution theory and fourier analysis, 2. Edition, Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-52345-6
- Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 3.. Pseudo-differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1994, ISBN 978-3-540-49937-4