Topologisch angereicherte Kategorie

Eine topologisch angereicherte Kategorie (oft auch kurz topologische Kategorie, obwohl es dabei zu Verwechselungen kommen kann) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über der Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, Segal-Räume und Segal-Kategorien.

Definition

Eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist eine lokal kleine über der Kategorie $\mathbf {cgHaus}$ der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie, also vereinfacht dass für alle Objekte $X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$ die Hom-Mengen $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ jeweils kompakt generierte Hausdorff-Räume sind (also in $\operatorname {Ob} \mathbf {cgHaus}$ liegen) und die durch Komposition auf diesen induzierte Morphismen stetig sind (also in $\operatorname {Ar} \mathbf {cgHaus}$ liegen). Die (nicht mehr lokal kleine) Kategorie der topologisch angereicherten Kategorien wird als $\mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }$ notiert.

Beispiele

• $\mathbf {cgHaus}$ ist selbst eine topologisch angereicherte Kategorie. Deren interner Hom-Funktor ist für topologische Räume $X,Y\in \operatorname {Ob} \mathbf {cgHaus}$ gegeben durch die Kompakt-Offen-Topologie:

  $\mathbf {Hom} _{\mathbf {cgHaus} }(Y,Z):=C_{\mathrm {co} }(Y,Z).$

Verbindung zu simplizial angereicherten Kategorien

Sei $\mathbf {sSet}$ die Kategorie der simplizialen Mengen, dann bilden die geometrische Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {cgHaus}$ und der singuläre Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {cgHaus} \rightarrow \mathbf {sSet}$ eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {cgHaus} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$. Beide Funktoren können auch auf sämtliche Hom-Mengen einer entsprechend angereicherten Kategorie angewendet werden. Eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine topologisch angereicherte Kategorie $|{\mathcal {C}}|$ durch:

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{|{\mathcal {C}}|}(X,Y):=|\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)|.$

Eine topologisch angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine simplizial angereicherte Kategorie $\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}})$ durch:

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}})}(X,Y):=\operatorname {Sing} (\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)).$

Dadurch ergeben sich induzierte Funktoren und eine induzierte Adjunktion $|-|\colon \mathbf {Cat} _{\mathbf {sSet} }\leftrightarrows \mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }\colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Homotopiekategorie einer topologisch angereicherten Kategorie

Die Homotopiekategorie einer topologisch angereicherten Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist die Kategorie $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})$ mit:

$\operatorname {Ob} \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}(X,Y)=\pi _{0}\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\cong \pi _{0}\operatorname {Sing} (\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y))$

Dabei sind $\pi _{0}\colon \mathbf {cgHaus} \rightarrow \mathbf {Set}$ die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes und $\pi _{0}\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Set}$ die Zusammenhangskomponenten einer simplizialen Menge, wobei $\pi _{0}=\pi _{0}\circ \operatorname {Sing}$.

Zusammen mit der Homotopiekategorie einer simplizial angereicherten Kategorie ist diese Operation verträglich mit den obigen Umwandlungen von topologisch und simplizial angereicherten Kategorien ineinander: Für eine topologisch angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ gibt es also einen kanonischen Isomorphismus $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})\cong \operatorname {Ho} (\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}}))$ und für eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ gibt es also einen kanonischen Isomorphismus $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})\cong \operatorname {Ho} (|{\mathcal {C}}|)$.

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory. Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0 (englisch, mit.edu [PDF]). 
• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Weblinks

• topologically enriched category auf nLab (englisch)
• Jacob Lurie, Kerodon (ergänzter Inhalt von Higher Topos Theory)