Topologisch nilpotentes Element

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Ein topologisch nilpotentes Element ist ein Element eines topologischen Ringes, dessen Potenzen gegen Null konvergieren. Diese Elemente finden Anwendung in der Theorie adischer Räume.

Sei ein topologischer Ring. Ein Element heißt topologisch nilpotent, falls die Folge gegen konvergiert. Das heißt, dass für jede offene Umgebung von ein existiert, sodass ist.[1]

  • Jedes topologisch nilpotente Element ist potenz-beschränkt.
  • Ist topologisch nilpotent und potenz-beschränkt, so ist topologisch nilpotent.
  • Ein Element ist genau dann topologisch nilpotent, wenn gilt.
  • Ist allgemeiner ein topologischer kommutativer Ring, dessen Topologie von einem Betrag induziert wird, dann ist ein Element genau dann topologisch nilpotent, wenn gilt. Ist der Betrag nicht-archimedisch, so bilden die topologisch nilpotenten Elemente ein Ideal des Ringes der potenz-beschränkten Elemente . Das folgt aus der ultrametrischen Ungleichung.

Einzelnachweise

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  1. Wedhorn: Def. 5.25