Träger eines Moduls

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Der Träger eines Moduls ist in der kommutativen Algebra die Menge aller Primideale, sodass der Modul nach Lokalisierung nach einem solchen Primideal nicht zum Nullmodul wird.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Ist ein unitärer Modul über einem kommutativen Ring mit Eins und ein Primideal, so bezeichnet die Lokalisierung des Moduls nach dem Primideal . Mit wird die Menge aller Primideale von bezeichnet (siehe Spektrum eines Ringes).

Der Träger von wird definiert als:

(nach engl. support für „Träger“)

Abgeschlossenheit des Trägers

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Der Annihilator von ist:

Es gilt folgender Satz:

  • Ist endlich erzeugt, so ist:

Insbesondere ist der Träger von in diesem Fall eine abgeschlossene Menge von .

Lokal-Global-Prinzip

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Der Träger eines Moduls, der nicht der Nullmodul ist, ist nicht leer. Es gilt die Lokal-Global-Aussage, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind:

  • Für alle maximalen Ideale gilt:
  • Für alle Primideale gilt:
  • Es ist

Ein Modul ist also genau dann der Nullmodul, wenn er lokal der Nullmodul ist.

  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6.
  • Michael Francis Atiyah, Ian G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.