Die Tschebyscheff-Ungleichung (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow) ist eine Ungleichung der Mathematik.[1][2]
Sie besagt, dass für monoton gleich geordnete n-Tupel reeller Zahlen
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa03d9b4fa8588835dae536d8b4a23ee2bf70f9)
und
,
die Beziehung
.
gilt. Sind
und
hingegen entgegengesetzt geordnet, also beispielsweise
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa03d9b4fa8588835dae536d8b4a23ee2bf70f9)
und
,
so gilt die Ungleichung in umgekehrte Richtung
.
Man beachte, dass im Gegensatz zu vielen anderen Ungleichungen keine Voraussetzungen für die Vorzeichen von
und
notwendig sind.
Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich aus der Umordnungs-Ungleichung ableiten. Multipliziert man die rechte Seite aus, so ergibt sich
![{\displaystyle +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\dots +a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f4291ae9b88860e031ecba21a27fcb4f15b82a)
![{\displaystyle +\left(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\dots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1b2cbaa8e11657355b4279e09b249c2cbaba41)
![{\displaystyle +\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca4de3bf9da20d137815a24e5ebf53826a0d89)
![{\displaystyle +\left(a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\dots +a_{n-1}b_{n-2}+a_{n}b_{n-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c813a32a4c6233be3ce26633ede75d87e0f54f37)
Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun jede dieser
Summen (im Fall gleich geordneter Zahlen
und
) kleiner oder gleich
, insgesamt erhält man also genau die gewünschte Beziehung
.
Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen
und
braucht die Umordnungs-Ungleichung nur in die umgekehrte Richtung angewendet werden.
Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch mit vollständiger Induktion und Anwendung der Umordnungs-Ungleichung für den einfachsten Fall mit zwei Summanden beweisen. Der Induktionsanfang ist einfach zu führen. Im Induktionsschritt betrachtet man nun
.
Wendet man nun auf den mittleren Summanden die Umordnungs-Ungleichung für zwei Summanden und auf den letzten Summanden die Induktionsvoraussetzung an, so ergibt sich (im Fall gleich geordneter Zahlen
und
)
![{\displaystyle =a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+na_{n+1}b_{n+1}+n\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=(n+1)\sum _{i=1}^{n+1}a_{i}b_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851c5dac7e4106613cfd46e3b2ae31f2c8aa3cb8)
Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen
und
ist der Beweis analog.
Ein anderer Beweis ergibt sich direkt aus der Gleichung
![{\displaystyle n\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=i+1}^{n}(a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b187b2b1796202612f05e7b8bff2527df8f5b2)
bzw. allgemeiner mit Gewichten
.
Es gilt nämlich
.
Mit Umbenennung der Indizes ergibt sich
,
insgesamt also genau die Behauptung:
.
Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch in der Form
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71030ebda625f68097c9675f390d7e946a404628)
schreiben. In dieser Form lässt sie sich auch auf mehr als zwei gleich geordnete n-Tupel verallgemeinern, wobei die betrachteten Zahlen allerdings größer oder gleich Null sein müssen:
Für
![{\displaystyle a_{j}=\left(a_{j,1},\dots ,a_{j,n}\right);j=1,\dots ,m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c0cd2f3f0bb1ede314c96a98e1e426f15260bf)
mit
![{\displaystyle a_{j,1}\geq a_{j,2}\geq \dots \geq a_{j,n}\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201cdccae76c9a97e849fda53a65d68b64006e88)
gilt
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{j,i}\geq \prod _{j=1}^{m}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{j,i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0160df8622f706ffaab76ef64c6cb3ce57223eb5)
Der Beweis kann beispielsweise mit vollständiger Induktion nach
erfolgen, da ja für bezüglich
fallend geordnete nichtnegative Zahlen
auch deren Produkte
![{\displaystyle \prod _{j=1}^{m}a_{j,1}\geq \prod _{j=1}^{m}a_{j,2}\geq \dots \geq \prod _{j=1}^{m}a_{j,n}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda355da2d1dc855e8370389ac59e9949de44fda)
fallend geordnet und nichtnegativ sind.
Sind
auf
gleichsinnig monoton und ist
eine Gewichtsfunktion, d. h.
dann ist
.
Zum Beweis integriert man die nichtnegative Funktion
ausmultipliziert nach x und y jeweils von 0 bis 1.
Dies lässt sich weiter verallgemeinern:
Sind
auf
gleichsinnig monoton und nichtnegativ dann ist
.
Und sind
auf
gleichsinnig monoton und nichtnegativ und ist
eine Gewichtsfunktion dann ist
.
Dies ergibt sich wenn man x durch
substituiert.
- ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Wiesbaden, Vieweg+Teubner, Verlag 2003, ISBN 3-322-96828-6, S. 99.
- ↑ Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, S. 54.