Tschebyscheff-Ungleichung (Arithmetik)

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Die Tschebyscheff-Ungleichung (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow) ist eine Ungleichung der Mathematik.[1][2]

Sie besagt, dass für monoton gleich geordnete n-Tupel reeller Zahlen

und

,

die Beziehung

.

gilt. Sind und hingegen entgegengesetzt geordnet, also beispielsweise

und

,

so gilt die Ungleichung in umgekehrte Richtung

.

Man beachte, dass im Gegensatz zu vielen anderen Ungleichungen keine Voraussetzungen für die Vorzeichen von und notwendig sind.

Beweis aus Umordnungs-Ungleichung

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Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich aus der Umordnungs-Ungleichung ableiten. Multipliziert man die rechte Seite aus, so ergibt sich

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun jede dieser Summen (im Fall gleich geordneter Zahlen und ) kleiner oder gleich , insgesamt erhält man also genau die gewünschte Beziehung

.

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen und braucht die Umordnungs-Ungleichung nur in die umgekehrte Richtung angewendet werden.

Beweis mit vollständiger Induktion

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Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch mit vollständiger Induktion und Anwendung der Umordnungs-Ungleichung für den einfachsten Fall mit zwei Summanden beweisen. Der Induktionsanfang ist einfach zu führen. Im Induktionsschritt betrachtet man nun

.

Wendet man nun auf den mittleren Summanden die Umordnungs-Ungleichung für zwei Summanden und auf den letzten Summanden die Induktionsvoraussetzung an, so ergibt sich (im Fall gleich geordneter Zahlen und )

Im Fall entgegengesetzt geordneter Zahlen und ist der Beweis analog.

Beweis aus Gleichungs-Formulierung

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Ein anderer Beweis ergibt sich direkt aus der Gleichung

bzw. allgemeiner mit Gewichten

.

Es gilt nämlich

.

Mit Umbenennung der Indizes ergibt sich

,

insgesamt also genau die Behauptung:

.

Verallgemeinerung

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Die Tschebyschew-Summenungleichung lässt sich auch in der Form

schreiben. In dieser Form lässt sie sich auch auf mehr als zwei gleich geordnete n-Tupel verallgemeinern, wobei die betrachteten Zahlen allerdings größer oder gleich Null sein müssen: Für

mit

gilt

Der Beweis kann beispielsweise mit vollständiger Induktion nach erfolgen, da ja für bezüglich fallend geordnete nichtnegative Zahlen auch deren Produkte

fallend geordnet und nichtnegativ sind.

Sind auf gleichsinnig monoton und ist eine Gewichtsfunktion, d. h. dann ist

.

Zum Beweis integriert man die nichtnegative Funktion ausmultipliziert nach x und y jeweils von 0 bis 1. Dies lässt sich weiter verallgemeinern:

Sind auf gleichsinnig monoton und nichtnegativ dann ist

.

Und sind auf gleichsinnig monoton und nichtnegativ und ist eine Gewichtsfunktion dann ist

.

Dies ergibt sich wenn man x durch substituiert.

Einzelnachweise

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  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Wiesbaden, Vieweg+Teubner, Verlag 2003, ISBN 3-322-96828-6, S. 99.
  2. Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, S. 54.