Der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe[1] stellt die Verallgemeinerung des Jonkheere-Terpstra-Testes dar. Im Unterschied zu diesem Test wird jedoch nicht von einem monotonen Trend ausgegangen, sondern von Trends mit einem Gipfel.
Die Nullhypothese H0 lautet für die Erwartungswerte G der Gruppen:
Als Alternativhypothese HA gilt:
, wobei mindestens eine strikte
Ungleichung gilt.
Die Teststatistik MW lautet für eine Anzahl
von Gruppen mit einem Gipfel bei
mit jeweils
Messungen:
Dabei ist
bzw.
für die r-te und das s-te Gruppe mit
definiert als
und
mit
oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten)
Die berechnete Prüfgröße
wird größer, wenn ein biphasischer Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.
Unter allgemeinen Bedingungen weist die Prüfgröße
eine Normalverteilung auf.
Für den Erwartungswert
und dessen Varianz
gelten folgende Formeln, die sich letztendlich aus einer Addition der Statistiken des Jonkheere-Terpstra-Tests[2][3] ergeben:
und
mit
Die daraus folgende Variable
ist standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl aller Stichproben größer 12 ist:
Oder anders ausgedrückt: bei einem einseitigen Test auf 5 %-Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn
- ↑ H.B. Mack, D.A. Wolfe: K-sample rank tests for umbrella alternatives. In: J. Amer. Statist. Ass., 76, 1981, S. 175–181, doi:10.1080/01621459.1981.10477625, JSTOR:2287064
- ↑ T.J. Terpstra: The asymptotic normality and consistency of Kendall’s test against trend, when ties are present in one ranking. In: Indagationes Mathematicae, 14, 1952, S. 327–333
- ↑ A.R. Jonkheere: A distribution-free K-sample test against ordered alternatives. In: Biometrika, 41, 1954, S. 133-145, doi:10.1093/biomet/41.1-2.133, JSTOR:2333011