Unipotente Matrix

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Eine unipotente Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Differenz zur Einheitsmatrix nilpotent ist. Die unipotenten Matrizen stellen damit gerade die unipotenten Elemente im Ring der quadratischen Matrizen dar.

Eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem unitären Ring heißt unipotent, wenn die Matrix nilpotent ist, das heißt wenn

für ein gilt. Unipotente Matrizen sind damit die unipotenten Elemente im Matrizenring mit der Nullmatrix als neutralem Element und der Einheitsmatrix als Einselement.

Ein einfaches Beispiel für eine unipotente Matrix ist die Matrix

,

denn es gilt

.

Ein allgemeineres Beispiel bilden obere Dreiecksmatrizen, deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich 1 sind, also Matrizen der Form

.

Alle solchen Matrizen sind unipotent, denn es gilt . Weiterhin sind auch alle Matrizen unipotent, die zu einer solchen Matrix ähnlich sind, denn es gilt dann

für jede reguläre Matrix .

Eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper ist genau dann unipotent, wenn ihr charakteristisches Polynom die Form

besitzt. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Eigenwerte der Matrix gleich sind.

Jordan-Chevalley-Zerlegung

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Jede reguläre Matrix mit Einträgen aus einem algebraisch abgeschlossenen Körper besitzt eine multiplikative Jordan-Chevalley-Zerlegung der Form

,

wobei eine diagonalisierbare und eine unipotente Matrix sind. Eine solche Zerlegung ist eindeutig.[1]

Die Einträge der Matrixpotenzen einer reellen oder komplexen unipotenten Matrix wachsen lediglich polynomial in , da

gilt, wobei nilpotent mit Nilpotenzindex ist. Wachsen umgekehrt die Einträge der Matrixpotenzen einer gegebenen Matrix höchstens polynomial in , so ist die Matrix unipotent.[2]

Logarithmus und Exponential

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Nachdem die obige Reihe terminiert, existiert der Matrixlogarithmus einer reellen oder komplexen unipotenten Matrix und ist selbst nilpotent. Für sein Matrixexponential gilt damit[3]

.

Umgekehrt ist das Matrixexponential einer reellen oder komplexen nilpotenten Matrix unipotent und es gilt entsprechend[3]

.

Einzelnachweise

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  1. Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, S. 66.
  2. Terence Tao: Structure and Randomness. American Mathematical Society, 2008, S. 111.
  3. a b Dennis S. Bernstein: Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, 2009, S. 746.