Vergleichssatz von Rauch

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik ist der Vergleichssatz von Rauch, benannt nach Harry Rauch, ein grundlegender Lehrsatz der riemannschen Geometrie.

Formulierung des Satzes

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien riemannsche Mannigfaltigkeiten und Geodätische mit für alle . Sei ein Jacobi-Feld entlang und ein Jacobi-Feld entlang mit

Man nehme an, dass keine konjugierten Punkte hat und dass für alle und alle die Ungleichung

für die Schnittkrümmungen der aufgespannten Ebenen gilt.

Dann ist

für alle . Falls für ein die Gleichheit gilt, muss für alle sein.[1]

Aus dem Vergleichssatz von Rauch folgt ein Dreiecksvergleich für Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Krümmungsschranke: In einer Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung sind Dreiecke dicker als Dreiecke mit denselben Seitenlängen in der (einfach zusammenhängenden) Vergleichs-Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung . (Der analoge Dreiecksvergleich für Mannigfaltigkeiten mit oberer Krümmungsschranke wurde von Alexandrow und Toponogow bewiesen.)

Rauch bewies den Vergleichssatz ursprünglich um zu zeigen, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung homöomorph zur Sphäre sein muss. Das wurde später von Klingenberg und Berger zum Sphärensatz verbessert.

  • H. E. Rauch: A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38–55
  • M. do Carmo: Riemannian geometry, Birkhäuser, Basel (1992). ISBN 978-0-8176-3490-2

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Detlef Gromoll, Wilhelm Klingenberg, Wolfgang Meyer: Riemannsche Geometrie im Großen, Springer Verlag (1975), Lecture Notes in Mathematics 55, ISBN 3-540-07133-4, Kapitel 6.3: Der Vergleichssatz von Rauch