Verklebungslemma

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Das Verklebungslemma (englisch glueing lemma bzw. gluing lemma oder pasting lemma) ist ein elementarer Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie.[1] Es zeigt, wie unter gewissen Bedingungen stetige Abbildungen auf topologischer Räumen aus solchen auf Unterräumen stückweise zusammengefügt und damit gewissermaßen „zusammengeklebt“ werden können.[2][3]

Formulierung des Lemmas

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es lässt sich zusammengefasst und in allgemeiner Darstellung formulieren wie folgt:[4][5][2][3][6]

Gegeben seien zwei topologische Räume und .
Weiter gegeben seien eine Überdeckung von und dazu eine Familie stetiger Abbildungen .[7]
Dabei möge gelten:
(1) Für und sei stets .
(2) Die seien entweder allesamt offene Teilmengen oder aber allesamt abgeschlossene Teilmengen von , wobei letzterenfalls zusätzlich gelten solle, dass die Familie eine lokalendliche Überdeckung von darstelle.
Dann gilt:
Durch die Zuordnungsvorschrift
ist eine Abbildung
gegeben und diese ist stetig.

Das Lemma schließt das folgende häufig benutzte Kriterium in sich ein:[8]

Hat ein topologischer Raum eine offene Überdeckung oder eine endliche abgeschlossene Überdeckung , so ist eine auf ihm gegebene Abbildung in einen weiteren topologischen Raum genau dann stetig, wenn jede einzelne eingeschränkte Abbildung stetig ist.

Der Beweis des Lemmas beruht wesentlich auf der folgenden, für jede Teilmenge gültigen Gleichung

sowie der Tatsache, dass (unter den jeweiligen Bedingungen!) eine Teilmenge offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ist dann und nur dann, wenn jede der Schnittmengen offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ist.

Einzelnachweise und Fußnoten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. In dem Lehrbuch von Camps/Kühling/Rosenberger (S. 57 und 519) ist im Zusammenhang mit diesem Lehrsatz auch die Rede von ein[em] Fortsetzungssatz.
  2. a b Fred H. Croom: Principles of Topology. 1989, S. 151
  3. a b I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. 1976, S. 51
  4. Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 43
  5. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 57
  6. In der Fachliteratur – so etwa bei Camps/Kühling/Rosenberger wie auch bei Croom und bei Singer/Thorpe – wird häufig allein der Fall von Überdeckungen mit zwei Teilmengen betrachtet.
  7. Hier ist stets Stetigkeit in Bezug auf die induzierte Unterraumtopologie gemeint.
  8. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 27–28