Vollständig positiver Operator

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Vollständig positive Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um positive, lineare Operatoren zwischen C*-Algebren, bei denen die Fortsetzungen auf die Matrixalgebren ebenfalls positiv sind.

Eine stetige, lineare Abbildung zwischen zwei C*-Algebren und heißt positiv, falls positive Elemente auf positive Elemente abbildet, das heißt, falls für jedes die Form für ein hat.

Für sei die C*-Algebra der -Matrizen über . Diese ist isomorph zum Tensorprodukt aus und der C*-Algebra der komplexen -Matrizen. Die Abbildung definiert Abbildungen

.

heißt -positiv, falls positiv ist. heißt vollständig positiv, falls -positiv ist für alle .

Jeder positive, lineare Operator auf einer kommutativen C*-Algebra ist vollständig positiv.[1]

Jeder Zustand auf einer C*-Algebra ist vollständig positiv. Allgemeiner ist jeder positive Operator von einer C*-Algebra in eine kommutative C*-Algebra vollständig positiv.[2]

Alle *-Homomorphismen sind vollständig positiv. Ist allgemeiner ein *-Homomorphismus und , so definiert einen vollständig positiven Operator. Nach dem Satz von Stinespring gilt für vollständig positive Operatoren mit Norm kleiner gleich 1 die Umkehrung.

Die Transposition auf der C*-Algebra ist ein positiver Operator, der nicht vollständig positiv ist. Beispielsweise ist

ein positives Element, aber

ist nicht positiv, denn die Determinante ist gleich −1. Daher ist nicht 2-positiv.

Eigenschaften und Anwendungen

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Kadison-Schwarz-Ungleichung

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Es sei eine 2-positive, lineare Abbildung zwischen C*-Algebren mit Einselement und es sei . Dann gilt die schwarzsche Ungleichung[3]

für alle .

Allgemeiner gilt für eine vollständig positive Abbildung

für alle ,

was auch als Kadison-Schwarz-Ungleichung bekannt ist.[4] Ist nur positiv, so gilt obige Ungleichung nur für normale Elemente.

Nukleare C*-Algebren

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Nukleare C*-Algebren lassen sich wie folgt mittels vollständig positiver Operatoren charakterisieren: Eine C*-Algebra ist genau dann nuklear, wenn die Identität punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz vollständig positiver Operatoren mit und für alle und für alle .[5]

Liftungssatz von Choi-Effros

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Es gilt folgende auch als Liftungssatz von Choi-Effros bekannte Aussage: Sei eine nukleare C*-Algebra und ein vollständig positiver Operator mit in die Quotientenalgebra der C*-Algebra nach dem abgeschlossenen, zweiseitigen Ideal . Dann gibt es einen vollständig positiven Operator mit und , wobei die Quotientenabbildung sei.[6]

Einzelnachweise

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  1. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Satz IX.4.1
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Aufgabe 11.5.21
  3. Vern I. Paulsen: Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press (2013), ISBN 0-521-81669-6, Satz 3.3
  4. Alexander S. Holevo: Statistical Structure of Quantum Theory, Springer-Verlag 2001, ISBN 3-540-42082-7, Abschnitt 3.1.1: Completely positive Maps
  5. B. Blackadar: K-Theory for Operator-Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.1
  6. M.-D. Choi, E. Effros: The completely positive lifting problem for C*-algebras, Annals of Math. (1976), Band 104, Seiten 585–609