Weierstraß-Polynom

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der mathematische Begriff des Weierstraß-Polynoms, benannt nach Karl Weierstraß, tritt in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher auf. Es handelt sich um holomorphe Funktionen bzw. Funktionskeime in einem Punkt, die bezüglich einer der Variablen ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus dem Ring der holomorphen Funktionen in den anderen Variablen ist, so dass die Koeffizienten in diesem Punkt ebenfalls verschwinden.

Es sei der Ring der konvergenten Potenzreihen in . Dieser Ring ist isomorph zum Ring der Funktionskeime holomorpher Funktionen in 0, weshalb diese Begriffsbildung auch für Keime durchgeführt werden kann. Durch die injektive Abbildung

fasst man als Unterring von auf. Das heißt, wird dadurch zu einem Element aus , dass man bei einer Auswertung in den Variable die letzte Variable einfach ignoriert.

Die Variable ist selbst ein Polynom und daher ein Element aus . Adjungiert man zum Unterring , so erhält man den Polynomring mit Koeffizienten aus , und man hat die Inklusionen

.

Jedes Element aus hat eine eindeutige Darstellung

mit konvergenten Potenzreihen .

Ein solches Element heißt Weierstraß-Polynom, falls[1][2]

  • ist die konstante Einsfunktion, das heißt, ist ein normiertes Polynom über , und
  • für alle .
  • Für Funktionen einer Variablen ist ein Weierstraß-Polynom nichts weiter als ein normiertes Monom, also von der Form .
  • Das Polynom ist kein Weierstraß-Polynom, da es nicht normiert ist.
  • Das Polynom ist ebenfalls kein Weierstraß-Polynom, da der Koeffizient von nicht in 0 verschwindet.
  • Das Polynom ist ein Weierstraß-Polynom.

Weierstraß-Polynome spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher, da sie eine Art Division mit Rest erlauben, wie sie im Divisionssatz von Weierstraß vorkommt. Die irreduziblen Elemente im Ring sind im Wesentlichen die im Polynomring irreduziblen Weierstraß-Polynome.[3]

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II .B, Definition 1.
  2. Jörg Eschmeier: Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55541-5, Definition 4.18.
  3. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II.B, Theorem 7.