Wu-Mannigfaltigkeit

Die Wu-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Lie-Theorie eine als Quotientenraum von Lie-Gruppen definierte 5-Mannigfaltigkeit. Eine besondere Rolle spielt die Mannigfaltigkeit durch ihre besonderen Eigenschaften in der Algebraischen Topologie, Kobordismustheorie und Spin-Geometrie. Benannt und erstmals untersucht wurde die Mannigfaltigkeit vom chinesischen Mathematiker Wu Wenjun.

Definition

Die speziellen orthogonalen Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ lässt sich kanonisch in die spezielle unitäre Gruppe $\operatorname {SU} (n)$ einbetten. Der Orbitraum:

$W:=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$

ist die Wu-Mannigfaltigkeit.

Eigenschaften

• $W$ ist eine einfach zusammenhängende rationale Homologiesphäre (mit nichttrivialen Homologiegruppen $H_{0}(W)\cong \mathbb {Z}$, $H_{2}(W)\cong \mathbb {Z} _{2}$ und $H_{5}(W)\cong \mathbb {Z}$), welche keine Homotopiesphäre ist.
• $W$ hat die Kohomologiegruppen:

  $H^{0}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}$

  $H^{1}(W;\mathbb {Z} _{2})=1$

  $H^{2}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}$

  $H^{3}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}$

  $H^{4}(W;\mathbb {Z} _{2})=1$

  $H^{5}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}$

• $W$ ist der Generator des orientierten Kobordismusringes $\Omega _{5}^{\operatorname {SO} }\cong \mathbb {Z} _{2}$.
• $W$ ist eine $\operatorname {Spin} ^{h}$-Mannigfaltigkeit, welche keine $\operatorname {Spin} ^{c}$-Struktur besitzt.

Weblinks

• Wu manifold auf nLab (englisch)