Zahmer Automorphismus

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In der Mathematik sind zahme Automorphismen gewisse algebraische Automorphismen des affinen Raums.

Sei ein beliebiger Körper und der affine Raum über . Eine algebraische Abbildung ist eine Abbildung der Form

mit Polynomen . Ein algebraischer Automorphismus ist eine algebraische Abbildung, zu der es eine algebraische Umkehrabbildung gibt.

Die Gruppe der algebraischen Automorphismen enthält als Untergruppe die affine Gruppe

,

wobei die allgemeine lineare Gruppe ist und die Gruppe der Translationen. Weiter enthält alle elementaren Automorphismen, also Automorphismen der Form

für ein Polynom in Variablen.

Die von und den elementaren Automorphismen erzeugte Untergruppe von heißt zahme Automorphismengruppe und ihre Elemente heißen zahme Automorphismen.

Für sind alle Automorphismen zahm. Für und Körper der Charakteristik gibt es stets „wilde“ (d. h. nicht-zahme) Automorphismen.[1] Für ist der Nagata-Automorphismus ein Beispiel eines „wilden“ Automorphismus. Er ist definiert durch

.

Der Nagata-Automorphismus ist stabil zahm, d. h. er wird zahm nach Einführung weiterer Variablen.

  • S. Lamy: Une preuve geometrique du theoreme de Jung. Enseign. Math. 48, 291–315, 2002

Einzelnachweise

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  1. I. Shestakov, U. Umirbaev: The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables. J. Amer. Math. Soc. 17, 197–227, 2004