Zerschmetterte Menge

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Eine zerschmetterte Menge (englisch shattered set) ist in der Mathematik ein Konzept aus den Bereichen Maschinenlernen, Datenanalyse und Mengenlehre.

Der Begriff wurde von J. Michael Steele 1975 in seiner Dissertation eingeführt.[1] Es wird unter anderem in der Vapnik-Chernovensky-Theorie (VC-Theorie) des Maschinenlernens verwendet.

Sei ein Mengensystem und . wird -zerschmettert genau dann, wenn mit der Potenzmenge von A, d. h. genau dann, wenn man jede beliebige Teilmenge von durch Schnitt eines Elements von mit erzeugen kann.

Halbebenen und Dreiermengen in der Ebene

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Sei und die Menge aller abgeschlossenen Halbebenen in . Seien außerdem und , wobei , und nicht auf einer Gerade liegen (d. h., für alle ). Dann wird von zerschmettert, da man jede der acht Teilmengen der drei Punkte mittels einer abgeschlossenen Halbebene separieren kann.

Sind , und dagegen kollineare Punkte (alle auf einer Geraden), so kann der mittlere Punkt nicht von den anderen beiden separiert werden und somit wird nicht von zerschmettert.

Maschinenlernen

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Beim Maschinenlernen ist meist eine Menge möglicher Ergebnisse entsprechend einer bestimmten Verteilung und stellt eine Menge von bekannten Regeln dar. wird dann -zerschmettert, falls grob gesprochen alle Ergebnisse der Verteilung sich aus der Kenntnis der Regeln ergeben.[2]

Einzelnachweise

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  1. Die Dissertation von Steele in Stanford Combinatorial Entropy and Uniform Limit Laws, wurde teilweise in den Annals of Probability veröffentlicht, Empirical discrepancies and subadditive processes, Band 6, 1978, S. 118–227, Steele: Shattered Sets
  2. Christopher Stover, Shattered Set, Mathworld