Abgeschlossener Punkt

Der abgeschlossene Punkt ist ein Begriff der mengentheoretischen Topologie, der aber vor allem in der algebraischen Geometrie von Bedeutung ist.

Definition

Ein abgeschlossener Punkt in einem topologischen Raum $X$ ist ein Punkt $x\in X$, so dass die ein-elementige Teilmenge $\left\{x\right\}$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X$ ist.

Abgeschlossene Punkte in der algebraischen Geometrie

In der Zariski-Topologie einer algebraischen Varietät $\operatorname {Spec} (R)$ entsprechen die abgeschlossenen Punkte den Maximalidealen von $R$.

Beispielsweise entsprechen die vom Nullideal $\{0\}$ verschiedenen Primideale, das heißt die von den Primzahlen erzeugten Hauptideale, den abgeschlossenen Punkten in $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$. Das Nullideal ist zwar auch ein Primideal, aber kein abgeschlossener Punkt.

T1-Räume

Ein topologischer Raum ist genau dann ein T₁-Raum, wenn alle Punkte abgeschlossene Punkte sind.

Weblinks

• closed point (nLab)