Absolutkonvexe Menge
Absolutkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der lokalkonvexen Räume, da sie in natürlicher Weise zu Halbnormen führen.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Teilmenge A eines reellen oder komplexen Vektorraums heißt absolutkonvex, wenn für alle mit und alle stets gilt. Damit ist A genau dann absolutkonvex, wenn A ausgewogen und konvex ist. (Dabei steht für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.)
Beziehung zu Halbnormen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist U eine absolutkonvexe Nullumgebung des topologischen Vektorraums E, so definiert eine Halbnorm auf E. Es gilt
- .
Man nennt auch das Minkowski-Funktional zu U.
Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen besitzt. Mit Hilfe der Minkowski-Funktionale kann man die Topologie also auch durch Halbnormen beschreiben. Dies klärt den Zusammenhang zwischen den beiden im Artikel über lokalkonvexe Räume gegebenen Definitionen.
Absolutkonvexe Hülle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da Durchschnitte absolutkonvexer Mengen offenbar wieder absolutkonvex sind, ist jede Menge M eines reellen oder komplexen Vektorraums in einer kleinsten absolutkonvexen Menge enthalten. Diese nennt man die absolutkonvexe Hülle von M. Es gilt
Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 978-3-528-07262-9