Antonelli-Matrix

Als Antonelli-Matrix bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre und speziell in der Mikroökonomik die Hesse-Matrix der Distanzfunktion.

Definition und Bedeutung

Mit n der Zahl der Güter ist die Antonelli-Matrix A eine $(n\times n)$-Matrix, deren (i,j)-ter Eintrag durch den Ausdruck

${\frac {\partial ^{2}d({\overline {u}},\mathbf {q} )}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}$

gegeben ist. Die Matrix stellt sich entsprechend folgendermaßen dar:

$A({\overline {u}},\mathbf {q} )\equiv \left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial ^{2}d({\overline {u}},\mathbf {q} )}{\partial q_{1}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}d({\overline {u}},\mathbf {q} )}{\partial q_{1}\partial q_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}d({\overline {u}},\mathbf {q} )}{\partial q_{n}\partial q_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}d({\overline {u}},\mathbf {q} )}{\partial q_{n}^{2}}}\end{array}}\right)$.

Dabei bezeichnet $d({\overline {u}},\mathbf {q} )$ die so genannte Distanzfunktion zum spezifischen Nutzenniveau ${\overline {u}}$ und dem n-Vektor der Gütermengen, $\mathbf {q} =(q_{1},\ldots ,q_{n})$. Die Distanzfunktion gibt die Zahl an, durch die $\mathbf {q}$ geteilt werden muss, damit die verbleibende Kombination von Gütermengen gerade auf der Indifferenzkurve ${\overline {u}}$ liegt.

Der (i,j)-te Eintrag der Antonelli-Matrix gibt nun an, wie stark sich der Preis, den ein Haushalt für eine Mehreinheit von i zu zahlen bereit wäre, ändert, wenn seine Nachfrage nach Gut j exogen erhöht wird, er aber weiterhin auf derselben Indifferenzkurve verbleiben möchte.

Eigenschaften und Zusammenhang zu verwandten Konzepten

Die Antonelli-Matrix ist unter gängigen Annahmen über die Distanzfunktion symmetrisch. Zudem handelt es sich bei ihr um die Pseudoinverse der Slutsky-Matrix.

Literatur

• Michael Ahlheim: Measures of Economic Welfare. In: Salvador Barberà, Peter J. Hammond und Christian Seidl (Hrsg.): Handbook of Utility Theory. Bd. 1. Kluwer Academic Publishers, Boston 1998, ISBN 0-7923-8174-2, S. 483–568.
• Giovanni B. Antonelli: Sulla Teoria Mathematica della Economia Politica. Pisa 1886. [Eine Übersetzung ins Englische ist unter dem Titel On the Mathematical Theory of Political Economy enthalten in John S. Chipman u. a. (Hrsg.): Preferences, Utility and Demand. Harcourt Brace Jovanovich, New York 1971, Kapitel 16.]
• Angus Deaton: The Distance Function in Consumer Behaviour with Applications to Index Numbers and Optimal Taxation. In: The Review of Economic Studies. 46, Nr. 3, 1979, S. 391–405 (JSTOR:2297009).
• Nicholas Stern: A Note on Commodity Taxation: The Choice of Variable and the Slutsky, Hessian and Antonelli Matrices (SHAM). In: The Review of Economic Studies. 53, Nr. 2, 1986, S. 293–299 (JSTOR:2297653).