Archimedischer Algorithmus

Der Archimedische Algorithmus ist ein um 240 v. Chr. gefundenes Verfahren des griechischen Mathematikers Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.) zur beliebig genauen Annäherung an die Kreiszahl $\pi$. Archimedes betrachtete regelmäßige Polygone, die dem Einheitskreis vom Umfang $2\pi$ ein- und umbeschrieben sind und deren Umfänge jeweils von unten und von oben gegen den Umfang des Einheitskreises konvergieren.

Diese Ideen gehen zwar schon auf Antiphon von Rhamnus und Bryson von Herakleia um 430 v. Chr. zurück, jedoch stammt der entscheidende Aspekt der fortlaufenden Verdopplung der Polygon-Eckenanzahl von Archimedes.

Mathematische Formulierung

Darstellung im regelmäßigen Sechseck

Planfigur

Archimedes formulierte sein Ergebnis folgendermaßen:

„Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal so groß als der Durchmesser und noch um etwas größer, nämlich um weniger als ein Siebentel, aber um mehr als zehn Einundsiebenzigstel des Durchmessers.“

Diese Aussage kommt in der Beziehung

$3{,}14084507\approx 3{\frac {10}{71}}<\pi ={\frac {U}{d}}<3{\frac {1}{7}}\approx 3{,}142857143$

zum Ausdruck.

Beschreibung und Erläuterung

Da die Dreiecke $ABC$ und $ADE$ ähnlich zueinander sind, folgt nach dem Strahlensatz:

${\frac {S_{n}}{1}}={\frac {s_{n}}{y}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {s_{n}}{y}}\qquad$ (1)

Da das Dreieck $CGF$ rechtwinklig ist, folgt nach dem Satz des Pythagoras:

$s_{2n}^{2}=\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}+x^{2}\qquad$ (2)

Da das Dreieck $AGC$ ebenfalls rechtwinklig ist, folgt wieder nach dem Satz des Pythagoras:

$y^{2}+\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}=1\Leftrightarrow y={\sqrt {1-\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}}}\qquad$ (3)

Wegen (2) und (3) gilt:

$s_{2n}^{2}=\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}+x^{2}=\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}+(1-y)^{2}=\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}+\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}}}\right)^{2}=2-2{\sqrt {1-\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}}}$

Die Anwendung der zweiten binomischen Formel führt zu der Rekursionsformel:

$s_{2n}={\sqrt {2-{\sqrt {4-s_{n}^{2}}}}}$

Nach Einsetzen von (3) in (1) ergibt sich die nicht-rekursive Formel:

$S_{n}={\frac {s_{n}}{\sqrt {1-\left({\frac {s_{n}}{2}}\right)^{2}}}}$

Mit dem Startwert $s_{6}=r=1$ im regelmäßigen Sechseck liefert der 96. Rekursionsschritt:

$s_{96}\approx 0{,}0654382\qquad$ (4)

Nach Einsetzen von $s_{96}$ in (4) erhält man:

$S_{96}\approx 0{,}0654732\qquad$ (5)

Der Näherungswert für den Kreisumfang $2\pi$ ergibt sich hieraus jeweils durch Multiplikation von (4) und (5) mit der Eckenzahl 96.

Literatur

• Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre: Vier Abhandlungen Über Die Kreismessung, Ulan Press 2012
• Jörg Neunhäuserer: Schöne Sätze der Mathematik – Ein Überblick mit kurzen Beweisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65829-1, Seite 74

Weblinks

Commons: Archimedes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Herbert Koch: Das Verfahren von Archimedes, PDF-Datei pi.pdf aus dem Workshop Folgen, Website der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, abgerufen am 27. November 2022