Baer-Summe

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Baer-Summe zweier zentraler Gruppenerweiterungen eine neue Erweiterung derselben Gruppe.

Konstruktion

Seien

$\phi _{1}\colon E_{1}\to G$ und $\phi _{2}\colon E_{2}\to G$

zwei zentrale Erweiterungen mit „Parametrisierungen“ (d. h. Gruppenisomorphismen)

$\iota _{1}\colon A\to Ker(\phi _{1}),\iota _{2}\colon A\to Ker(\phi _{2})$.

Sei

$E_{1}\times _{G}E_{2}=\left\{(x,y)\in E_{1}\times E_{2}\colon \phi _{1}(x)=\phi _{2}(y)\right\}$.

Der durch

$\phi (x,y):=\phi _{1}(x)=\phi _{2}(y)$

gegebene Homomorphismus

$\phi \colon E_{1}\times _{G}E_{2}\to G$

ist surjektiv mit Kern $A\times A$. Definiere

$E=(E_{1}\times _{G}E_{2})/\left\{(\iota _{1}(a),-\iota _{2}(a))\colon a\in A\right\}$.

$\phi$ faktorisiert über $E$ und gibt eine zentrale Erweiterung mit Kern $A$, die als Baer-Summe der beiden zentralen Erweiterungen bezeichnet wird.

Eigenschaften

Die Baer-Summe ist kommutativ und assoziativ, neutrales Element ist die triviale Erweiterung und das inverse Element einer durch einen Isomorphismus $\iota$ parametrisierten zentralen Erweiterung ist dieselbe zentrale Erweiterung mit entgegengesetzter Parametrisierung $-\iota$.

Literatur

• J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994