Benutzer:Aegon/Quantenmechanik

Im Abschnitt über das Doppelspaltexperiment wurde die Wahrscheinlichkeitsamplitude $\phi (x)$ eingeführt, die eine komplexe Zahl (Funktion) darstellt und deren Absolutquadrat die Wahrscheinlichkeit $P(x)$ angibt, ein Elektron am Ort x des Schirms zu finden $P(x)=|\phi (x)|^{2}$. Für diese Wahrscheinlichkeitsamplitude gibt es eine von Dirac eingeführte Schreibweise

$\langle \mathrm {Elektron\ auf\ Schirm\ bei\ } x|\mathrm {Elektron\ verlaesst\ Quelle\ } s\rangle$.

Die spitzen Klammern bedeuten also „Amplitude von“, der Ausdruck auf der rechten Seite gibt die Startbedingung an, der auf der linken Seite die Endbedingung. Allerdings werden meistens Abkürzungen benutzt

$\langle x|s\rangle$.

Existieren ununterscheidbare Pfade für die Elektronen, so addieren sich die Amplituden. Beim Doppelspalt war dies

$\langle x|s\rangle =\langle x|s\rangle _{durch1}+\langle x|s\rangle _{durch2}$.

Ein allgemeines Prinzip der Quantenmechanik besagt, dass ein Pfad eines teilchens in abschnitte zerlegt werden kann, wobei sich seine Amplitude als Produkt seiner Teilpfade schreiben lässt. Beim Doppelspalt lässt sich der Pfad in einem Teilpfad von Quelle zum Schlitz, und einen Teilpfad vom Schlitz zum Schirm aufteilen

$\langle x|s\rangle =\langle x|1\rangle \langle 1|s\rangle +\langle x|2\rangle \langle 2|s\rangle$.

Solche Wahrscheinlichkeitsamplituden lassen sich für alle Eigenschaften eines Teilchens aufstellen. Das Elektron besitzt z.B. den Spin ½, d.h. es gibt zwei Einstellungen für die z-Komponente des Spin, die oft 0 und 1 genannt werden. Die Elektronenquelle lässt sich experimentell leicht so modifizieren, dass alle ausgesandten Elektronen den gleichen Spinzustand haben . Die Elektronen fliegen durch ein inhomogenes Magnetfeld (Stern-Gerlach-Versuch), das bewirkt, dass sich Elektronen mit verschiedenen Spin (0 oder 1) trennen und fallen auf einen Detektor, der den Spinzustand misst. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass ein Elektron die Quelle verlässt und mit Spin 0 bzw. 1 gemessen wird ist

$\langle 0|s\rangle$ bzw. $\langle 1|s\rangle$.

Obwohl alle Elektronen den gleichen Anfangszustand hatten, misst man erstaunlicherweise beide Spineinstellungen, und zwar Spin 0/1 mit der Wahrscheinlichkeit

$P(0)=|\langle 0|s\rangle |^{2}$ bzw. $P(1)=|\langle 1|s\rangle |^{2}$.

In einer Erweiterung des Experiments werden alle Elektronen mit Spin 1 geblockt. Alle verbleibenden Elektronen haben wieder den gleichen Zustand und werden durch ein weiteres inhomogenes Magnetfeld (identisch zum ersten) geleitet. Misst man nun den Spinzustand sind alle Elektronen weiterhin in Zustand 0.

Man misst nur zwei Zustände. Diese Zustände nennt man Eigenzustände des Spins. Die Elektronen werden durch die Messung (der Stern-Gerlach-Apparatur stellt eine Art Messapparatur dar) in den Eigenzustand gebracht. Ein Elektron, dass schon in einem Eigenzustand ist, bleibt bei einer weitern Messung in diesem Zustand.

Ist ein Elektron in einem wohldefinierten Zustand, der kein Eigenzustand ist, misst man zufällig einen der Eigenzustände. Der Ausgangszustand lässt sich dann wie folgt darstellen

$|s\rangle =\langle 0|s\rangle |0\rangle +=\langle 1|s\rangle |1\rangle$.

Auch das ist ein allgemeines Prinzip: Ein quantenmechanischer Zustand lässt sich immer aus einer Linearkombination der Eigenzustände darstellen.

Das Wasserstoffatom

Wasserstoff s-Orbital zu den Quantenzahlen n=2, l=0 (s), m=0. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird durch 10000 Punkte dargestellt, wobei jeder Punkt eine Messung des Ortes simuliert.

Wasserstoff p-Orbital zu den Quantenzahlen n=2, l=1 (p), m=0. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird durch 10000 Punkte dargestellt, wobei jeder Punkt eine Messung des Ortes simuliert.

Ein herausragendes Beispiel in der Quantenmechanik stellt das Wasserstoffatom dar. Die vollständige analytische Lösung des Wasserstoffproblems führte zu einem neuen Atommodell und in seiner Folge zu einer neuen Theorie der chemischen Bindung mit weitreichenden Kohnsequenzen in der Molekül- und Festkörperphysik.

Das Wasserstoffatom wird durch einen Hamiltonoperator für ein Elektron im Zentralpotenzial des Wasserstoffkerns beschrieben

$H={\frac {1}{2m}}P^{2}+V(|R|)$

wobei m die Elektronenmasse darstellt, P den Impulsoperator und V(R) das Zentralpotenzial, wobei hier |R| den Betrag des Ortsoperators darstellt.

Aufgrund der hohen Symmetrie des Potenzials (es bleibt invariant bei Drehung), können gleichzeitig zu den Energieeigenwerten auch Eigenwerte des Drehimpulses bestimmt werden, und zwar genauer die Eigenwerte das Quadrats des Drehimpulsoperators $L^{2}$ sowie die seiner z-Komponente $L_{z}$. Damit ergeben sich Zustände, die von drei Quantenzahlen abhängen:

$H|n;l;m\rangle =E|n;l;m\rangle$

$L^{2}|n;l;m\rangle =h^{2}l(l+1)|n;l;m\rangle$

$L_{z}|n;l;m\rangle =hm|n;l;m\rangle$

In Ortsdarstellung ergeben die Eigenzustände die chemischen Orbitale:

s-Orbitale: $\Psi _{n,0,m}=\langle x|n;l=0;m\rangle$

p-Orbitale: $\Psi _{n,1,m}=\langle x|n;l=1;m\rangle$

d-Orbitale: $\Psi _{n,2,m}=\langle x|n;l=2;m\rangle$

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektron ist durch das Betragsquadrat gegeben $|\langle x|n;l;m\rangle |^{2}$. Die Abbildungen zeigen dies beispielhaft für die Orbitale $|n=2;l=0;m=0\rangle$ und $|n=2;l=1;m=0\rangle$. Hierbei wurde mit Hilfe der Lösung obiger Hamiltongleichung die Position des Elektrons jeweils 10000 simuliert und der so "gemessene" Ort als Punkt in das Diagramm eingetragen.