Benutzer:Ag2gaeh/Spielwiese

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Ag2gaeh auf.

In der projektiven Geometrie versteht man unter einer Quadrik eine Teilmenge ${\mathfrak {Q}}$ der Punkte eines projektiven Raums, für deren Punkte in homogenen Koordinaten eine vorgegebene quadratische Form verschwindet. Wir beschränken uns hier auf Quadriken in endlich dimensionalen projektiven Räumen.

Quadriken werden normalerweise in affinen Räumen über (kommutativen) Körpern definiert (s. Quadrik). In der reellen affinen Ebene sind z.B. Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln Quadriken (oder quadratische Kurven). Im 3-dim. reellen Raum sind z.B. Kugeln, Ellipsoide, Rotationsparaboloide, einschalige Hyperboloide, zweischaligel Hyperboloide, Kegel, Zylinder, ... Quadriken. Der Vorteil der projektiven Sicht auf die Quadriken ist, dass die Vielfalt deutlich reduziert und damit übersichtlicher wird. Betrachtet man Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln im projektiven Abschluss (der Hyperbel werden dabei 2 Fernpunkte und der Parabel 1 Fernpunkt hinzugefügt), so entstehen Kurven, die alle zum Einheitskreis projektiv äquivalent sind. Im Raum sind z.B. Kugel, Rotationsparaboloid und zweischaliges Hyperboloid projektiv äquivalent.

Quadriken werden hier für projektive Räume über beliebigen Koordinatenkörpern definiert, also auch für Körper der Charakteristik 2, d.h. es gilt 1+1=0. Dies ist manchmal etwas lästig und zwingt zu Fallunterscheidungen. Im Fall Char 2 treten so ungewohnte Phänomene auf wie: Die Tangenten der Parabel $y=x^{2}$ sind alle parallel, weil bei Char 2 die Gleichung $x^{2}=c$ für jedes c höchstens 1 Lösung hat.

Quadratische Form

Für einen Vektorraum $V(K)$ über einem Körper $K$ sei $\rho$ eine Abbildung von $V(K)$ in $K$ mit den folgenden Eigenschaften

(Q1) $\rho (x{\vec {x}})=x^{2}\rho ({\vec {x}})$ für jedes $x\in K$ und ${\vec {x}}\in V(K)$.

(Q2) $f({\vec {x}},{\vec {y}}):=\rho ({\vec {x}}+{\vec {y}})-\rho ({\vec {x}})-\rho ({\vec {y}})$ ist eine Bilinearform.

$\rho$ heißt quadratische Form. (Die Bilinearform $f$ ist sogar symmetrisch, d.h. $f({\vec {x}},{\vec {y}})=f({\vec {y}},{\vec {x}})$. )

Im Fall $charK\neq 2$ gilt $f({\vec {x}},{\vec {x}})=2\rho ({\vec {x}})$, d.h. $f$ und $\rho$ bestimmen sich gegenseitig in eindeutiger Weise.
Im Fall $charK=2$ ist $f({\vec {x}},{\vec {x}})=0$. Man nennt $f$ dann symplektisch. ($charK=2$ bedeutet $1+1=0$.)

Für $V(K)=K^{n}$ und ${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}$, wobei $\{{\vec {e}}_{1},...,{\vec {e}}_{n}\}$ eine Basis von $V(K)$ ist, hat $\rho$ die Form

$\displaystyle \rho ({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}$ mit $a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})$ für $i\neq k$ und $a_{ii}:=\rho ({\vec {e}}_{i})$ und es gilt

$\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})$.

Beispiel: $n=3,\ \rho ({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\ f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}$.

Definition einer Quadrik

Im folgenden ist ${\mathfrak {P}}_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}},\in ),\quad 2\leq n\in \mathbb {N}$, der n-dimensionale projektive Raum über dem Körper $K$ in seiner üblichen Beschreibung:

${\mathcal {P}}=\{<{\vec {x}}>\ |\ {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}(K)\}$ ist die Menge der Punkte

($V_{n+1}(K)$ ist ein (n+1)-dim. Vektorraum über K, $<{\vec {x}}>$ ist der von ${\vec {x}}$ aufgespannte 1-dim. Unterraum),

${\mathcal {G}}=\{\{<{\vec {x}}>\in {\mathcal {P}}\ |\ {\vec {x}}\in U\}\ |\ U{\mbox{ 2--dim. Unterraum von }}V_{n+1}(K)\}$ die Menge der Geraden.

Ist zusätzlich auf dem Vektorraum $V_{n+1}(K)$ eine quadratische Form $\rho$ definiert, so heißt ein Punkt $<{\vec {x}}>\in {\mathcal {P}}$ singulär, falls $\rho ({\vec {x}})=0$ ist. Die Menge

${\mathcal {Q}}=\{<{\vec {x}}>\in {\mathcal {P}}\ |\ \rho ({\vec {x}})=0\}$ der singulären Punkte von $\rho$ heißt Quadrik (bzgl. der quadratischen Form $\rho$).

Für einen Punkt $P=<{\vec {p}}>\in {\mathcal {P}}$ heißt

$P^{\perp }:=\{<{\vec {x}}>\in {\mathcal {P}}\ |\ f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}$ der Polarraum of $P$ (bzgl. $\rho$).

$P^{\perp }$ ist entweder eine Hyperebene oder ${\mathcal {P}}$.

Beispiel: Für $\rho ({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}$ ergibt sich ein nicht ausgearteter Kegelschnitt in ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$.

Eigenschaften einer Quadrik

Eine Quadrik kann auch aus der leeren Menge bestehen. Die folgenden Überlegungen machen nur Sinn, wenn ${\mathcal {Q}}\neq \emptyset$. Also setzen wir dies voraus.

Für den Schnitt einer Gerade mit einer Quadrik ${\mathcal {Q}}$ gilt:

Lemma: Ist $g$ eine Gerade (von $P_{n}(K)$), so gilt entweder:

a) $g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset$ und $g$ heißt Passante oder

b) $g\subset {\mathcal {Q}}$ und $g$ heißt Tangente oder

b') $|g\cap {\mathcal {Q}}|=1$ und $g$ heißt Tangente oder

c) $|g\cap {\mathcal {Q}}|=2$ und $g$ heißt Sekante.

Lemma: Eine Gerade $g$ durch Punkt $P\in {\mathcal {Q}}$ ist eine Tangente nur, wenn $g\subset P^{\perp }$ gilt.

Lemma:

a) ${\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\ |\ P^{\perp }={\mathcal {P}}\}$ ist ein (projektiver) Unterraum. ${\mathcal {R}}$ heißt f-Radikal von Quadrik ${\mathcal {Q}}$.

b) ${\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}$ ist ein (projektiver) Unterraum. ${\mathcal {S}}$ heißt singuläres Radikal oder $\rho$-Radikal von ${\mathcal {Q}}$.

c) Im Fall $charK\neq 2$ gilt ${\mathcal {R}}={\mathcal {S}}$.

Eine Quadrik heißt nicht ausgeartet, falls ${\mathcal {S}}=\emptyset$ ist.

Eine Kugel im 3-dim. reellen projektiven Raum ist nicht ausgeartet. Ein Kegel ist eine ausgeartete Quadrik mit der Kegelspitze als Radikal.

Bemerkung:

Ein nicht ausgearteter Kegelschnitt heißt auch ovaler Kegelschnitt (Hinweis auf seine geometrische Form).

Im Fall $charK=2$ hat der Kegelschnitt einen Knoten, d.h. alle Tangenten gehen durch einen Punkt. Der Knoten ist dann das f-Radikal, d.h. in diesem Fall gilt $\emptyset ={\mathcal {S}}\neq {\mathcal {R}}$.

Dass eine Quadrik ein sehr homogenes Objekt mit vielen Symmetrien ist, zeigt:

Lemma:

Zu jedem Punkt $P\in {\mathcal {P}}\setminus ({\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}})$ gibt es eine involutorische Zentralkollineation $\sigma _{P}$ mit Zentrum $P$ und $\sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}$.

Beweis: Wegen $P\in {\mathcal {P}}\setminus ({\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}})$ ist der Polarraum $P^{\perp }$ eine Hyperebene. Die lineare Abbildung $\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{\rho ({\vec {p}})}}{\vec {p}}$ induziert eine involutorische Zentralkollineation mit Achse $P^{\perp }$ und Zentrum $P=<{\vec {p}}>$, die ${\mathcal {Q}}$ invariant lässt.

Im Fall $charK\neq 2$ hat die Abbildung $\varphi$ die vertraute Form $\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}$ mit $\varphi ({\vec {p}})=-{\vec {p}}$ und $\varphi ({\vec {x}})={\vec {x}}$ für jeden Punkt $<{\vec {x}}>\in P^{\perp }$.

Bemerkung:

a) Das Bild einer Passante, Tangente bzw. Sekante ist bei der Involution $\sigma _{P}$ des Lemma's wieder eine Passante, Tangente bzw. Sekante.

b) ${\mathcal {R}}$ ist punktweise fix bei $\sigma _{P}$.

Für die Gruppe $\Pi ({\mathcal {Q}})$ der projektiven Kollineationen von ${\mathfrak {P}}_{n}(K)$, die ${\mathcal {Q}}$ invariant lassen, gilt:

Lemma: $\Pi ({\mathcal {Q}})$ operiert transitiv auf ${\mathcal {Q}}\setminus {\mathcal {R}}$.

Ein Unterraum ${\mathcal {U}}$ von ${\mathfrak {P}}_{n}(K)$ heißt $\rho$-Unterraum, falls ${\mathcal {U}}\subset {\mathcal {Q}}$ ist. (Beispiel: Punkte einer Kugel oder Geraden auf einem einschaligen Hyperboloid (s. unten).)

Lemma: Je zwei maximale $\rho$-Unterräume haben dieselbe Dimension $m$.

Ist $m$ die maximale Dimension der $\rho$—Unterräume der Quadrik ${\mathcal {Q}}$, so heißt $i:=m+1$ der Index von ${\mathcal {Q}}$.

Satz: (BUEKENHOUT) Für den Index $i$ einer nicht ausgearteten QuadriK ${\mathcal {Q}}$ in ${\mathfrak {P}}_{n}(K)$ gilt: $i\leq {\frac {n+1}{2}}$.

Eine nicht ausgeartete Quadrik ${\mathcal {Q}}$ in ${\mathfrak {P}}_{n}(K),n\geq 2$ vom Index $i$

heißt im Fall $i=1$ Kugel (oder ovaler Kegelschnitt, falls $n=2$).

heißt im Fall $i=2$ (einschaliges) Hyperboloid.

Beispiele:

a) Die Quadrik ${\mathcal {Q}}$ in ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$ mit der quadratischen Form $\rho ({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}$ ist nicht ausgeartet vom Index 1.

b) Für ein irreduzibles Polynom $q(\xi )=\xi ^{2}+a_{0}\xi +b_{0}$ über $K$ liefert die quadratische Form $\rho ({\vec {x}})=x_{1}^{2}+a_{0}x_{1}x_{2}+b_{0}x_{2}^{2}-x_{3}x_{4}$ eine nicht ausgeartete Quadrik (Kugel) ${\mathcal {Q}}$ im 3-dim. projektiven Raum ${\mathfrak {P}}_{3}(K)$.

Beispiel: $K=\mathbb {R} ,q(\xi )=\xi ^{2}+1$. ( Im Fall $K=\mathbb {C}$ (komplexe Zahlen) gibt es keine Kugel !)

c) In ${\mathfrak {P}}_{3}(K)$ führt die quadratische Form $\rho ({\vec {x}})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}$ zu einem Hyperboloid.

Bemerkung: Es ist nicht sinnvoll formal die Definition von Quadriken auf projektive Räume über echten Schiefkörpern auszudehnen, da man dort Sekanten erhalten würde, die mehr als 2 Punkte mit der "Quadrik" gemeinsam hätten, was völlig verschieden wäre zu den gewohnten Quadriken. Der Grund ist der folgende Satz:

Satz: Ein Schiefkörper $K$ ist nur dann kommutativ, wenn jede Gleichung $x^{2}+ax+b=0,\ a,b\in K$, höchstens zwei Lösungen hat.

(s. Beweis in weblink planar circle geometries, S. 123)

Weblinks

• Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 117

[[Kategorie:Geometrie]]