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Nichtlineare Dynamik bezeichnet ein Teilgebiet der Physik und der mathematischen Theorie dynamischer Systeme, die sich mit Systemen beschäftigt, die durch nichtlineare Gleichungen beschrieben werden. Die Phänomen, die in solchen Systemen auftreten können, sind wesentlich komplexer als in linearen Systemen. Insbesondere sind alle Systeme, die ein chaotisches Verhalten zeigen, nichtlinear. Die Bedeutung der nichtlinearen Dyanmik liegt darin, dass praktisch alle in der Realität vorkommenden System nur durch nichtlineare Gleichungen beschrieben werden können. Des Weiteren bietet die nichtlineare Dynamik eine mathematische Beschreibung für komplexe Vorgänge in anderen Wissenschaftsdisziplinen wie der Chemie, der Biologie und Psychologie, sowie den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften.

Grundlagen

Die nichtlineare Dynamik beschäftigt sich mit Systemen, die sich aufgrund bestimmter Einflüsse in der Zeit verändern. Ein solches System kann z.B. ein Körper unter dem Einfluss mechanischer Kräfte sein, eine große Anzahl von Luftteilchen unter Druckeinfluss oder die Konzentration zweier Chemikalien unter dem Einfluss des Massenwirkungsgesetzes, aber auch etwa der Preis einer Aktie, die durch die Handlungen von Spekulanten beeinflusst wird. Oft kann man dieses System mathematisch durch das mathematische Konstrukt eines dynamischen Systems beschreiben, z.B. in Form einer Differentialgleichung

${\begin{aligned}{\dot {x}}=F(x).\end{aligned}}$

Dabei ist $x$ der Zustand des Systems, der durch alle untersuchten Variablen gegeben ist, die das System beschreiben. Im Falle eines Gases etwa ist $x$ der Vektor der Orte und Impulse aller Teilchen (siehe Phasenraum und Zustand (Physik) für weitere Beispiele). Die Funktion $F(x)$ beschreibt dabei den Einfluss, dem das System ausgesetzt ist, auch Dynamik genannt. Im Fall eines mechanischen Körpers ist dies z.B. die Gewichtskraft.

Man sagt nun, das System unterliegt einer nichtlinearen Dynamik, wenn $F(x)$ nichtlineare Anteile enthält, also z.B. einen quadratischen Term oder eine Exponentialfunktion. Eine lineare Funktion hingegen kann man immer in der Form einer gewichteten Summe der Systemvariablen schreiben $F(x)=\sum a_{i}x_{i}$, mit beliebigen Gewichten $a_{i}$ für jede Variable $x_{i}$.

Bei dynamischen Systemen, die nicht durch Differentialgleichungen beschrieben werden, gilt die Anforderung der Nichtlinearität entsprechend für die die Evolution des Systems bestimmenden Gleichungen.

Untersuchungsgegenstände

Langzeitverhalten von Systemen: Attraktoren

→ Hauptartikel: Attraktor

Chaotische Dynamik

→ Hauptartikel: Chaosforschung

Qualitative Veränderungen: Bifurkationen

→ Hauptartikel: Bifurkation (Mathematik)

Ausbildung von Mustern und Strukturen

→ Hauptartikel: Musterbildung

Beispiele

Ein Beispiel für eine nichtlineare Differentialgleichung ist die folgende, das Verhalten einer Schaukel beschreibende Bewegungsgleichung:

${\begin{aligned}{\ddot {\varphi }}+2{\frac {\dot {L}}{L}}{\dot {\varphi }}+{\frac {g}{L}}sin{\varphi }=0\\L(t)=L_{0}-\Delta L_{0}cos(\Omega t)\end{aligned}}$

Da die Sinus-Funktion auf die nullte Ableitung angewandt wird handelt es sich um ein nichtlineares System. Im konkreten Fall wirkt die Sinus-Funktion begrenzend auf die Instabilität der auftretendenen parametererregten Schwingung, da das System bei größeren Amplituden in stabile Bereiche verstimmt wird. Der nichtlineare Anteil ist also ursächlich für die Abhängigkeit der Eigenfrequenz von der Schwingungsamplitude.

Siehe auch

• Nichtlineares System
• Chaosforschung

Literatur

• Demtröder: Experimentalphysik 1, 5. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 978-3540792949, Kapitel 12