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Emil Artin: Beweis von Satz von Wedderburn

Emil Artins Beweis konstruiert innere $Z(D)$-Algebra-Endomorphismen der Divisionsalgebra $D$ und zeigt, dass mit ihnen die gesamt multiplikative Gruppe $D^{\times }$ ausgeschöpft (abgedeckt) wird. Mit anderen Worten: Was der Satz von Skolem-Noether abstrakt liefert, leitet Emil Artin für Schiefkörper konstruktiv her. Dann liefert die Endlichkeit des Schiefkörpers das übliche Argument, dass die konjugierten Klassen nur dann die gesamte multiplikative Gruppe abdecken können, wenn sie disjunkt wären, was nicht der Fall ist, da sie sich alle in der Eins begegnen.

• Für einen Schiefkörper verfügt die Polynomalgebra $D[X]$ einer Unbekannten $X$ über einen links- und einen rechtsseitige (Hasse: vordere bzw. hintere) euklidische Division mit Rest. Daher sind Linksideal monogen (also linksseitig erzeugte Hauptideale), und Entsprechendes gilt für Rechtsideale.
• Es gilt ein Satz über die Assoziiertheit nicht verschwindender Elemente des Schiefkörpers, vgl. auch Hasses Aufgabensammlung zur Höheren Algebra: Hasse zeigt es für die Poloynomalgebra über einem nicht notwendig nullteilerfreien Ring mit Hilfe vorderer und hinterer euklidischer Division. Artin zeigt es unter Nutzung der Nullteilerfreiheit, die für Schiefkörper gewährleistet ist.
• Sodann indirekter Beweis durch Induktion – oder ebensogut durch Methode des unendlichen Abstiegs: Angenommen es gäbe endliche Schiefkörper, die nichtkommutativ sind, so sei $D$ derjenige unter ihnen mit der kleinsten Mächtigkeit (Minimalbedingung) und $Z:=Z(D)$ sein Zentrum. Es genügt schon, anzunehmen, dass bei gegebenem Zentrum $Z$ ein Schiefkörper $D\supset Z$ betrachtet wird, dessen Mächtigkeit minimal unter allen Schiefkörpern mit diesem Zentrum $Z$ ist.
• Konstruktion eines maximalen Teilschiefkörpers $D_{0}\subsetneq D$, der (wegen der Minimalbedingung) kommutativ sein muss.
• Es gibt Dimensionsbeziehungen, die unabhängig von der anfänglichen Auswahl der konstruierenden Elemente sind: Es sind also Invarianzen.
• Es gibt mehrere solcher Teilschiefkörper $D_{0},D_{1},\dots$, nämlich zu jedem $a\in D^{\times }$ ein $D_{a}$ mit $a\in D_{a}\subsetneq D$. Diese haben also sämtlich dieselbe Dimension über $Z$.
• Wegen des obigen Satzes über die Assoziiertheit (und einer weiteren Überlegung bzgl Galoisfeldern) sind sie sämtlich paarweise zueinander konjugiert.
• Dann führt der Satz über die Abdeckung von $D^{*}$ durch konjugierte, doch nicht disjunkte Nebenklassen (wie schon beim Beweis mit Skolem-Noether) zum Widerspruch.

Schön ist, dass der Beweis im Grunde die Struktur gewisser endlichdimensionaler zentraler Divisionsalgebren zeigt und zwar mit elementaren Mitteln.

ggT und kgV

Für $i=1,\dots ,n$ seien Kofaktoren $a_{i},b_{i}\in \mathbb {N}$ mit $N=a_{i}b_{i}$ gegeben. Dann gilt $\operatorname {ggT} (a_{1},\dots ,a_{n})\operatorname {kgV} [b_{1},\dots ,b_{n}]=N$. Für $n=2$ folgt $ab=(a,b)[a,b]$. Für $n=3$ folgt $abc=(a,b,c)[bc,ac,ab]$.

Direkter Durchschnitt und direkte Summe (Koprodukt)

Es sei $G$ eine Gruppe, $E\leq G$ Normalteiler, und $E\subset U_{i}\leq G$ weitere Normalteiler für $i=1,\dots ,n$. Dann sind auch $V_{i}:=\prod _{j_{i}}U_{i}$ Normalteiler in $G$, die $E$ umfassen.

Definition: $G$ ist modulo $E$ direkte Summe der $U_{i}$ genau dann, wenn

• $G=U_{1}\cdot \ldots \cdot U_{n}$ und
• $E=U_{i}\cap V_{i}$ für jedes $i=1,\dots ,n$

Ist dabei $E=\{1\}$, so heißt $G$ schlicht direkte Summe (Koprodukt) der Normalteiler $U_{i}$, in Zeichen: $G=\bigoplus _{i}U_{i}$. im Allgemeinen ist die Faktorgruppe $G/E$ die direkte Summe (Koprodukt) der seiner Normalteiler $U_{i}/E$, in Zeichen: $G/E=\bigoplus _{i}U_{i}/E$.

In komplementärer oder dualer Weise erklärt man die folgende

Definition: $E$ heißt in $G$ direkter Durchschnitt der $V_{i}$ genau dann, wenn

• $E=V_{1}\cap \dots \cap V_{n}$ und
• $G=V_{i}\cdot U_{i}$ für jedes $i=1,\dots ,n$.

Satz: Unter den genannten Voraussetzungen über die Beziehungen der $U_{i}$ und $V_{i}$ gilt: $G$ ist genau dann modulo $E$ direkte Summe seiner Normalteiler $U_{i}$, wenn $E$ in $G$ direkter Durchschnitt der Normalteiler $V_{i}$ ist.

Beispiel

Galoistheorie: Direktes Kompositum von Körpern – ist als $K$-Algebra isomorph zum Tensorprodukt der Algebren über $K$.

Eulersche Phi-Funktion

verallgemeinert nach Scholz 1934. Darstellung der Möbius-Umkehrfunktion nach Basic Algebra I gemäß Nathan Jacobson.

Lemma von Thue

Ergänzungen zum Lemma von Thue ?

Vektorräume über Schiefkörpern

Vektorräume über Schiefkörper zu betrachten, bedeutet kaum mehr Aufwand, liefert jedoch den Gewinn, dass die Eigenheiten der Dualitätstheorie deutlicher und schärfer hervortreten. So gewinnt die bekannte Tatsache „Zeilenrang und Spaltenrang sind gleich“ aus der Theorie der Matrizen an Profil, wenn sie über Schiefkörpern gewonnen wird: „Linkszeilenrang und Rechtsspaltenrang sind gleich, Rechtszeilenrang und Linksspaltenrang sind gleich“. Entsprechend stehen sich Vektorraum und Dualraum als Rechts- und Links- (bzw. Links- und Rechtsvektorraum) gegenüber. Dass der Bidualraum wieder dieselbe Seitigkeit hat, wie der Ursprungsraum und ihm dadurch wieder vergleichbar wird, wird so geradeswegs suggestiv. Die Transposition von Matrizen erhält auf diese Weise einen begriffliche Deutung, ebenso erhält die Notation von Koordinatenvektoren als Spalten- oder Zeilenvektoren einen begrifflichen Hintergrund und ist so befreit von dem Verdacht, dass es sich um eine bloß willkürliche Konvention handele. Schon aus diesem Grund lohnt es sich, Vektorräume über Schiefkörpern zu betrachten.

Definition

Es bezeichne $K$ einen Schiefkörper.

Text der Überschrift

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Polynom, reduziertes

Zu einschlägigen Artikeln ... hilfreich für Serge Langs Beweis von der Existenz einer Normalbasis.

Gruppencharaktere und diskrete Fouriertransformation (DFT)

iDFT = Dualität (Spezialfall Pontrjagin)

Verzweigungstheorie (Hilbert)

Warnung vor Dopplung: Verzweigung (Algebra)

Speisers Beweis des Kroneckerschen Jugendtraums

• Andreas Speiser: Die Zerlegungsgruppe. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (vulgo „Crelle-Journal“), Band 149 (1919). 1919, S. 174-188, abgerufen am 10. Januar 2023 (SUB Göttinger Digitalisierungszentrum). 

Irreduzibilität des n-ten Kreisteilungspolynoms

Siehe hierzu den Artikel Several Proofs von Weintraub, Steven H..

Beweise

• Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra, Band 2, Anhang (mit Korrektur eines irrtümlichen Beweise aus Band 1) gemäß Peter Friedrich Arndt: „Einfacher Beweis für die Irreductibilität einer Gleichung in der Kreistheilung“, aus Crelles Journal, Band 56, S. 178 (1859) und gemäß Lebesgue, Liouville's Journ, 2. Ser, Bd 4, S. 105 (1859).
• Ebenda (Seite 772) ein weiterer Beweis für den allgemeinen Fall gemäß Leopold Kronecker in Liouville's Journal, Band 19 (1854), Seite 177: „Mém. sur les facteurs irréd de l'expression $(x^{n}-1)$“
• Leopold Kronecker in Crelle's Journal, Band 29 (zitiert nach Peter Friedrich Arndt in Crelle's Journal, Band 56)
• Leopold Kronecker in Liouville's Journal Jahrgang 1856 (zitiert nach Peter Friedrich Arndt in Crelle's Journal, Band 56)
• Ebenda (Fußnote Seite 772) Verweis auf einen Beweis von Richard Dedekind in Crelles Journal, Band 58 (1859). (Finde ich aber nicht).
• Beweis von Edmund Landau in Crelles Journal, Band 29 (1929) (datiert auf „Göttingen, den 23. Juli 1928“), wiedergegeben in Helmut Hasse und Walter Klobe: „Aufgabensammlung zur Höheren Algebra“ sowie in Emil Artin: „Galoissche Theorie“, Notre Dame.
• Beweis in van der Waerden (woher stammt er?)
• Beweis mit Gaußschem Satz (woher stammt die Idee? Gauss selbst?)
• P. F. Arndt erwähnt ferner einen Beweis für den primen Fall $n=p$ von Gotthold Eisenstein: „Zur Theorie der quadratischen Zerfällung der Primzahlen 8n+3, 7n+2 und 7n+4“ in: Crelle's Journal, Band 37.
  • Oder meinte Arndt hier Band 39 mit dem Artikel von Gotthold Eisenstein: Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 39, 1850, S. 160–179. Dieser Beitrag enthält das bekannte Eisenstein-Schönemann-Irreduzibilitätskriterium.
• Siehe auch Robert Frickes Hinweise in seinem Lehrbuch der Algebra, Band 1 (1924), fünftes Kapitel (Algebraisch lösbare Gleichungen) § 2 (Irreduzibilität der Kreisteilungsgleichung), Seite 403:
  • Kronecker: „Démonstration de l'irréductibilité“, Journ de math, sér. II, Bd 1 (1856)
  • Dedekind: „Beweis für die Irreduzibilität der Kreisteilungsgleihcungen“, Crelle's Journal, Bd 54, Seite 27 (1856).

Polynommodul

Der Polynommodul $M[X]$ eins Moduls $M$ über einem unitären Ring $R$ ist eine Verallgemeinerung des Polynomringes $R[X]$ über einem Ring. Denn jeder Ring ist ein Modul über sich selbst. Der Polynommodul beleuchtet den begrifflichen Hintergrund für das Charakteristische Polynom, den Satz von Cayley-Hamilton sowie für den Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium). Das charakteristische Polynom ist nämlich die Determinante eines Endomorphismus, der auf dem Polynommodul definiert ist. Dieser Endomorphismus $\mathrm {X} _{\alpha }\colon M[X]\to M[X]$ heißt die charakteristische Abbildung zur gegebenen linearen Abbildung $\alpha \colon M\to M$. Sie ist eng verbunden mit der durch die lineare Abbildung $\alpha$ induzierten Struktur eines $R[X]$-Moduls auf $M$. Für Körper $R=K$ und endliche Vektorräume $M=V$ ist gehört dies also in den Zusammenhang der Sätze über das charakteristische Polynom und die Säkulargleichung.

Definition des Polynommoduls

Es bezeichne $R$ einen Ring mit Einselement (unitären Ring) und $M$ einen Linksmodul über $R$. Der Linksmodul $M^{(\mathbb {N} )}$ aller Abbildungen $f\colon \mathbb {N} \to M$ mit endlichem Träger $\operatorname {supp} (f):=\{n\in \mathbb {N} \;|\;f(n)\neq 0\}$, ausgestattet mit punktweiser Addition und punktweiser Multiplikation mit Elementen aus $R$ von links, heißt Polynommodul $M[X]$ über dem Modul $M$:

${\begin{aligned}M[X]:=M^{(\mathbb {N} )}&:=&\left\{f\colon \mathbb {N} \to M\;|\;f(n)\neq 0{\text{ für nur endlich viele }}n\in \mathbb {N} \right\}&\\&=&\left\{f\colon \mathbb {N} \to M\;|\;\#\operatorname {supp} (f)<\infty \right\}\qquad \qquad &\end{aligned}}$

Man kann eine derartige Abbildung $f$ als „formale“ Summe von Potenzen einer Unbestimmten $X$, also in der Gestalt

$f=:\sum _{n\in \mathbb {N} }f(n)\cdot X^{n}$ notieren.

Dies ist die – wie schon bei Polynomen eines Polynomringes – häufig anzutreffende Schreibweise für Polynome. Dabei sind die Koeffizienten $f_{n}:=f(n)$ gerade die Werte der Abbildung $f\colon \mathbb {N} \to M$. Weil ihr Träger $\operatorname {supp} (f)$ endlich ist, ist auch die Summe in Wahrheit endlich: Fast alle Summanden $f(i)\cdot X^{i}$ verschwinden.

Elemente des Moduls $m\in M$ können als Konstanten oder konstante Polynome durch $m=m\cdot X^{0}\in M[X]$ aufgefasst werden. So lässt sich $M\subset M[X]$ einbetten.

Bei der punktweisen Addition $f+g$ zweier Polynome $f,g\in M[X]$ kann die Unbestimmte ausgeklammert werden:

$f+g=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)+g(n)\right)\cdot X^{n}$.

Die Multiplikation mit einem $r\in R$ von links wird auf jedem Koeffizienten ausgeführt:

$r\cdot f=:\sum _{n\in \mathbb {N} }r\cdot f(n)\cdot X^{n}$.

Eine Multiplikation von Polynomen des Polynommoduls ist nicht definiert. Dies unterscheidet sie von Polynomen eines Polynomrings, in welchem zu diesem Zweck die Unbestimmte als vertauschbar mit den Koeffizienten angenommen wird.

Die Frage, auf welcher Seite der Koeffizienten die Potenzen der Unbestimmten notiert werden, ist gegenstandslos: Man setzt nämlich voraus, dass die Unbestimmte im Zentrum des Ringes $R[X]$ liegt, also mit allen Ringelementen vertauschbar ist: Dann nämlich ist es gleichgültig, auf welcher Seite der Koeffizienten die Unbestimmte notiert wird. Darüber hinaus lässt sich dann der Polynommodul mit der Struktur eines $R[X]$-Linksmoduls ausstatten, indem man die Linksmultiplikation $R[X]\times M[X]\to M[X]$ in naheliegender Weise definiert. Auf diese Weise erhält der Polynommodul die Struktur eines $R[X]$-Linksmoduls.

Ist $M$ selbst ein Rechtsmodul über $R$, so ist $M[X]$ in analoger Weise ein $R[X]$-Rechtsmodul.

Anmerkung: Man kann den Polynommodul auch als Koprodukt (direkte Summe) definieren:

$M[X]=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(X^{n}\cdot M)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\left(\{n\}\times M\right)$

Dabei soll es sich um lauter unterscheidbare Kopien des Moduls $M$ handeln: Die Unterscheidbarkeit wird durch das Anfügen der Potenz $X^{n}$ bzw. der Markierung mit dem Index $\{n\}\subset \mathbb {N}$ erzwungen. Die Identifikation für $f\in M^{(\mathbb {N} )}$ durch $f=\left((n,f(n))\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left((X^{n}\cdot f(n))\right)_{n\in \mathbb {N} }=\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}\cdot X^{n}$ gestiftet. Dies ist ein Linksmodul über $R$. Die Struktur des Linksmoduls über $R[X]$ wird mit Hilfe der Faltung definiert, wie es schon beim Polynomring $R[X]$ selbst geschieht.

Definition durch das Tensorprodukt

Der Polynommodul $M[X]$ lässt sich auch als ein Tensorprodukt von Moduln auffassen, nämlich des $R$-Rechtsmoduls $R[X]$ und des $R$-Linksmoduls $M$:

$M[X]=R[X]\otimes _{R}M$.

Diese Bildung beruht auf der $R$-balanzierten Abbildung $R[X]\times M\to M[X],\;(f,m)\mapsto f\cdot m:=\sum _{n\in \mathbb {N} }f(n)\cdot m\cdot X^{n}$ und ist zunächst nur ein $\mathbb {Z}$-Modul. Dank der zugleich bestehenden $R$-Linksmodul-Struktur von $R[X]$ ist jedoch auch $M[X]$ ein Linksmodul über $R$: Das ist die bereits beschriebene Linksmodul-Struktur.

Da nun $R[X]$ als Ring auch ein Linksmodul über sich selbst ist, wird $M[X]$ ebenfalls zu einem Linksmodul über $R[X]$.

Ist $M$ ein freier Modul über $R$, also etwa $M=\bigoplus _{i\in I}R\cdot m_{i}{\stackrel {\sim }{\to }}\bigoplus _{i\in I}R$, so ist offensichtlich $M[X]=R[X]\otimes M=\bigoplus _{i\in I}R[X]\cdot m_{i}{\stackrel {\sim }{\to }}\bigoplus _{i\in I}R[X]$.

Bei einem kommutativem Ring $R$ ist auch der Polynomring $R[X]$ kommutativ, und bei $M[X]$ handelt es sich in diesem Falle um die hier beschriebene Skalarerweiterung des $R$-Linksmoduls $M$ zu einem $R[X]$-Linksmodul.

TO DO: Idee prüfen, ggf. noch verschieben

Wie die Artikel über torsionsfreie, über flache und über endlich präsentierbare Moduln zeigen, gilt. Freie Moduln sind projektive Moduln, projektive Moduln sind flach, flache Moduln sind torsionsfrei. Über einem Haupdidealring fallen alle Begriffe zusammen, da er Dedekind-Ring ist und (als noetherscher Modul) endlich präsentierbar. Insbesondere also über einem Körper $R=K$.

Bei einem Haupdidealring $R$ ist also mit $M$ auch $M[X]$ frei.

Funktorialität

Ein Linksmodul-Homomorphismus $\alpha \colon M\to N$ eines $R$-Linksmoduls $M$ in einen $R$-Linksmoduls $N$ liefert unmittelbar zu jedem Polynom $f\in M[X]=M^{(\mathbb {N} )}$ durch Hintereinanderschaltung ein Polynom $\alpha _{*}(f)=\alpha \circ f\colon \mathbb {N} \to N,\,n\mapsto \alpha (f(n))$, das heißt: $\alpha _{*}(f)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha (f(n))\cdot X^{n}$.

Der Linksmodul-Homomorphismus $\alpha \in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ liefert also einen Linksmodul-Homomorphismus $\alpha [X]\in \operatorname {Hom} _{R[X]}(M[X],N[X])$.

Im Falle der Identität $\alpha =\operatorname {id} _{M}$ ist auch $\alpha [X]$ die Identität auf $M[X]$. Für $M_{1}{\stackrel {\alpha _{1}}{\longrightarrow }}M_{2}{\stackrel {\alpha _{2}}{\longrightarrow }}M_{3}$ gilt $\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}\right)[X]=\alpha _{2}[X]\circ \alpha _{1}[X]$.

Bei $\alpha \mapsto \alpha [X]$ handelt es sich also um einen kovarianten Funktor. Beachtet man die Identifikation $M[X]=R[X]\otimes M$, so kann dieser Funktor auch als $\alpha \mapsto \operatorname {id} _{R[X]}\otimes \alpha$ verstanden werden.

Einsetzhomomorphismus

Setzt man bei gegebenem Polynom $f\in M[X]=M^{(\mathbb {N} )},\;f(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }f(n)\cdot X^{n}$ Werte aus dem Ring für die Unbestimmte ein, so liefert das Polynom Werte aus dem Modul zurück: Dazu muss die Unbestimmte natürlich auf der Seite notiert werden, von welcher auch Ringelemente an Modulelemente heranmultipliziert werden. Dies führt zu einer Abbildung $f^{\sharp }$, die jedoch häufig mit demselben Symbol wie das Polynom $f$ bezeichnet wird, obwohl es sich um eine andere Abbildung handelt:

$f=f^{\sharp }\colon R\to M,\;r\mapsto f(r):=\sum _{n\in \mathbb {N} }r^{n}\cdot f(n)$

Für diese Abbildung wird ausgenutzt, dass der Träger eines Polynoms $f\in M^{(\mathbb {N} )}$ endlich und folglich die Summe $\sum _{n\in \mathbb {N} }$ in Wahrheit endlich ist.

Hinweis: Bei dieser laxen Schreibweise muss also anhand des Arguments von $f(\cdot )$ unterschieden werden, um welche Abbildung es sich handelt: Steht eine natürliche Zahl im Argument ($f(n),n\in \mathbb {N}$), so ist der Koeffizient $f_{n}=f(n)$ des Polynoms aus dem Polynommodul gemeint, d. h. der Wert der Funktion $(f\colon \mathbb {N} \to M)\in M^{(\mathbb {N} )}$ an der Stelle $n$. Steht jedoch ein Ringelement $r\in R$ oder ein Endomorphismus $\alpha \in \operatorname {End} _{R}(M)$ darin, so ist der Wert des Einsetzhomomorphismus' gemeint. Dabei führen die beiden Fälle $0\in R$ und $0\in \mathbb {N}$ auf denselben Wert, nämlich den Koeffizienten $f^{\sharp }(0)=f_{0}=f(0)$. Vorsicht ist jedoch geboten, sobald die Herkunft des Argumentes im Unklaren bleibt, wie etwa bei „$f(1)$“: Es ist zu klären, ob $1\in \mathbb {N}$ oder $1\in R$ gemeint ist. So sind $f(1_{\mathbb {N} })=f_{1}$ und $f(1_{R})=\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}$ nur für $f(X)=f_{1}X$ gleich. Eine

Diese Abbildung ist ein Homomorphismus von $R$-Linksmoduln, wenn man sie auf das Zentrum des Ringes $Z_{R}(R):=\{r\in R\;|\;\forall x\in R:rx=xr\}$ beschränkt, und heißt dann Einsetzhomomorphismus. Im Falle eines kommutativen unitären Ringes ist diese Abbildung ein Homomorphismus von $R$-Linksmoduln.

Diesen Einsetzhomomorphismus kann man auf den Zentralisator des Moduls ausdehnen: Im Falle eines Integritätsringes ist das die Menge der $R$-linearen Abbildungen in $M$

$f:\operatorname {End} _{R}(M)\to M,\alpha \mapsto f(\alpha ):=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha ^{n}(f(n))$

Die Auswertung an der Stelle Null, also die Abbildung $M[X]\to M,\,f(X)\mapsto f(0)$, ist ein Homomorphismus von $R$-Linksmoduln und liefert das absolute Glied des Polynoms.

Betrachtet man auch das Polynom $f\in M[X]$ als variabel, so erhält man die Abbildungen

${\begin{alignedat}{2}Z_{R}(R)\times M[X]&\longrightarrow &M\\(r,f(X))&\longmapsto &f(r):=\sum _{n\in \mathbb {N} }r^{n}\cdot f_{n}\end{alignedat}}$

bzw.

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {End} _{R}(M)\times M[X]&\longrightarrow &M&\quad \\(\alpha ,f(X))&\longmapsto &f(\alpha ):=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha ^{n}(f_{n})&\end{alignedat}}$

Homomorphismen von Polynommoduln

Eine $R$-lineare Abbildung $\mathrm {A} \in \operatorname {Hom} _{R}(M[X],N[X])$ ist durch ihre Werte auf den Summanden $f_{j}\cdot X^{j}$ festgelegt: $\mathrm {A} (f_{j}\cdot X^{j})=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}(f_{j})X^{i}$. Dabei haben die $\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ die Eigenschaft

• Für jedes $j\in \mathbb {N}$ und jedes $m\in M$ gilt $\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}(m)\neq 0_{N}$ nur für endlich viele $i\in \mathbb {N}$.

Insgesamt ist damit $\mathrm {A} (\sum _{j\in \mathbb {N} }f_{j}X^{j})=\sum _{j\in \mathbb {N} \atop i\in \mathbb {N} }\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}(f_{j})X^{i}$. Zur Abkürzung schreibe $\mathrm {A} _{(j)}:=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}$ und $\mathrm {A} ^{(i)}:=\sum _{j\in \mathbb {N} }\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}$.

Ist $\mathrm {A}$ sogar $R[X]$-linear, so folgt aus $\mathrm {A} (X\cdot f(X))=X\cdot \mathrm {A} (f(X))$ die Identität: $\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}=X^{k}\cdot \mathrm {A} _{(j-k)}^{(i)}$ für jedes $0\leq k\leq j$, also $\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}=X^{j}\cdot \mathrm {A} _{(0)}^{(i)}$.

Ein Homomorphismus $\mathrm {A} \in \operatorname {Hom} _{R[X]}(M[X],N[X])$ ist also bereits durch seine Werte auf den konstanten Polynomen $M\subset M[X]$ festgelegt, also durch $\mathrm {A} _{(0)}\colon M\to N[X]$. Ist $\mathrm {A}$ dabei ein Isomorphismus, so muss für die Umkehrabbildung dasselbe gelten, so dass notwendig $\mathrm {A} _{(0)}\colon M{\stackrel {\sim }{\to }}N$ isomorph ist. Umgekehrt lässt sich jede isomorphe Abbildung $\alpha \colon M{\stackrel {\sim }{\to }}N$ eindeutig zu einem Isomorphismus $\mathrm {A} \colon M[X]{\stackrel {\sim }{\to }}N[X]$ fortsetzen.

In diesem Sinne gilt also $\operatorname {Iso} _{R}(M,N)=\operatorname {Iso} _{R[X]}(M[X],N[X])$.

Charakteristische Abbildung

Es sei $\alpha \in \operatorname {End} _{R}(M)$ eine $R$-lineare Abbildung in $M$. Als ihre charakteristische Abbildung $\mathrm {X} _{\alpha }\in \operatorname {End} _{R[X]}(M[X])$ wird dann definiert:

$\mathrm {X} _{\alpha }\colon M[X]\to M[X],\;f(X)\mapsto \alpha (f(X))-X\cdot f(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\alpha (f(n))-f(n-1)\right)\cdot X^{n}=\alpha (f(0))+\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\alpha (f(n+1))-f(n)\right)\cdot X^{n+1}$,

wobei $f(-1):=0$ gesetzt sei.

Auf dem $R$-Linksmodul $M$ betrachte die durch diesen Endomorphismus – also durch $X\cdot m:=\alpha (m)$ – induzierte $R[X]$-Modulstruktur:

${\begin{aligned}R[X]&\times &M&\longrightarrow &M&\\(\underbrace {\sum _{i\in \mathbb {N} }f_{i}X^{i}} _{=:f(X)}&,&m)&\longmapsto &f(X)\cdot m:=\sum _{i\in \mathbb {N} }f_{i}\cdot \alpha ^{i}(m)&.\end{aligned}}$

Der Modul $M$, versehen mit dieser $R[X]$-Linksmodul-Struktur, sei mit $M_{\alpha }$ bezeichnet. Damit ist die folgende Abbildung ein $R[X]$-Linksmodul-Homomorphismus.

$\phi _{\alpha }\colon M[X]\to M_{\alpha },\;\sum _{n\in \mathbb {N} }f(n)\cdot X^{n}\to \sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha ^{n}(f(n))$.

Satz: Die folgende Sequenz ist exakt:

$0\longrightarrow M[X]{\stackrel {\mathrm {X} _{\alpha }}{\longrightarrow }}M[X]{\stackrel {\phi _{\alpha }}{\longrightarrow }}M_{\alpha }\longrightarrow 0$

Zur Begründung: Dass $\phi _{\alpha }$ surjektiv ist leicht zu sehen. Auch ist $\phi _{\alpha }\circ \mathrm {X} _{\alpha }=0$ (also $\operatorname {Bild} \mathrm {X} _{\alpha }\subset \ker \phi _{\alpha }$) leicht zu erkennen. Dass $\mathrm {X} _{\alpha }$ injektiv ist, folgt so: <text>

Wesentlich ist die Inklusion $\ker \phi _{\alpha }\subset \operatorname {Bild} \mathrm {X} _{\alpha }$: <text>

Ist dabei $M$ endlich frei erzeugt über dem Integritätsbereich $R$, so ist die Determinante $\det \mathrm {X} _{\alpha }$ das charakteristisches Polynom $\chi _{\alpha }(X)$ von $\alpha$. Denn ist $(x_{1},\dots ,x_{r})$ eine Basis von $M$ über $R$, so ist es auch eine Basis von $M[X]$ über $R[X]$, und bezeichnet $A$ die Darstellungsmatrix des Endomorphismus $\alpha \in \operatorname {End} _{R}(M)\subset \operatorname {End} _{R[X]}(M[X])$ bezüglich dieser Basis, so ist $A-XE$ die Darstellungsmatrix von $\mathrm {X} _{\alpha }$ bezüglich dieser Matrix.

Ist nun $R=K$ ein Körper und $M=V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $\dim _{K}V=n<\infty$, so besagt der Elementarteilersatz, dass es zum Endomorphismus $\mathrm {X} _{\alpha }\in \operatorname {End} _{K[X]}(M[X])$ eine Basis $v_{1},\dots ,v_{n}$ des freien $K[X]$-Moduls $M[X]$ gibt, so dass die Darstellungsmatrix eine zu einer Elementarteilerkette $(\varepsilon _{i})$ in $K[X]$ gehörige Diagonalmatrix $\operatorname {diag} (\varepsilon _{1},\dots \varepsilon _{r},0,\dots ,0)$ ist und sein Kern gleich dem Untermodul $\sum _{i=1}^{r}\varepsilon _{i}M[X]$ ist. <NOCHMAL PRÜFEN>.

Diese Darstellungsmatrix ist ähnlich zu $A-XE$ und besitzt also dieselbe Determinante, nämlich das charakteristische Polynom.

Wenn man sich von der Anschauung im $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ (ver)leiten lassen will, so mag man sich vorstellen, dass der $k$-ten Determinantenteiler $\delta _{k}:=\prod _{i=1}^{k}\varepsilon _{i}$ das „Volumen“ der minimalen $k$-dimensionalen Fundamentalmasche des Kerns in $M[X]$ – also des Quotienten $M[X]/(\ker \mathrm {X} _{\alpha })$ – misst. Für $k=n$ ist es gerade das charakteristische Polynom.

Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium)

Es sei (weiterhin) $R$ ein unitärer Ring. Ferner seien $V,W,M,N$ Linksmoduln über $R$ sowie $\alpha \in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ und $\beta \in \operatorname {Hom} _{R}(V,W)$ zwei Homomorphismen.

Definition äquivalenter und ähnlicher Homomorphismen

Definition: Die Homomorphismen $\alpha$ und $\beta$ heißen äquivalent (über $R$), wenn es zwei $R$-Linksmodul-Isomorphismen $h_{1}\in \operatorname {Hom} _{R}(V,M)$ und $h_{2}\in \operatorname {Hom} _{R}(W,N)$ gibt mit $\alpha =h_{2}\circ \beta \circ h_{1}$. Schreibweise: $\alpha \sim _{R}\beta$.

${\begin{array}{ccc}M&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&N\\{h_{1}}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow {h_{2}}\\V&{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}&W\end{array}}$

Definition: Ist dabei $V=W$ und $M=N$ und kann sogar $h_{1}=h_{2}=:h$ gewählt werden, so heißen die Endomorphismen $\alpha$ und $\beta$ ähnlich (über $R$). Schreibweise: $\alpha \approx _{R}\beta$.

${\begin{array}{ccc}M&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&M\\{h}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow {h}\\V&{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}&V\end{array}}$

Im Falle eines Körpers $R=K$ ist dies die bekannte Ähnlichkeitsrelation aus der Linearen Algebra. Ist $R$ jedoch lediglich ein unitärer kommutativer Ring, so werden die Darstellungsmatrizen der Isomorphismen $h_{i}$ unimodular sein. Handelt es sich bei dem Ring $R$ um den Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ oder um den Ring der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, so spricht man auch von arithmetischer Äquivalenz (anstelle von „Äquivalenz über $K[X]$“ bzw. „über $\mathbb {Z}$“.) Das Attribut „arithmetisch“ betont die Ganzheit, nämlich der ganz(rationalen) Polynome des Polynomrings bzw. der ganzen Zahlen.

Ähnlichkeitskriterium

${\begin{array}{ccccccccc}0&\longrightarrow &M[X]&{\stackrel {\mathrm {X} _{\alpha }}{\longrightarrow }}&M[X]&{\stackrel {\phi _{\alpha }}{\longrightarrow }}&M_{\alpha }&\longrightarrow &0\\&&h_{1}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow h_{2}&&\downarrow h&&\\0&\longrightarrow &V[X]&{\stackrel {\mathrm {X} _{\beta }}{\longrightarrow }}&V[X]&{\stackrel {\phi _{\beta }}{\longrightarrow }}&V_{\alpha }&\longrightarrow &0\\\end{array}}$

Satz: Zwei Endomorphismen $\alpha \in \operatorname {End} _{R}(M)$ und $\beta \in \operatorname {End} _{R}(V)$ sind genau dann ähnlich über $R$, wenn ihre charakteristischen Abbildungen $\mathrm {X} _{\alpha }$ und $\mathrm {X} _{\beta }$ über dem Polynomring $R[X]$ äquivalent sind. Mit anderen Worten sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

• $\alpha \approx _{R}\beta$
• $\mathrm {X} _{\alpha }\sim _{R[X]}\mathrm {X} _{\beta }$

Zur Begründung: Dass aus Ähnlichkeit die Äquivalenz folgt, ist klar, da der Isomorphismus $h$ sich eindeutig zu einem geeigneten Isomorphismus $h_{1}=h_{2}\colon M[X]\to V[X]$ fortsetzen lässt, so dass das linke Quadrat kommutiert. Sind umgekehrt Isomorphismen $h_{1},h_{2}\colon M[X]\to V[X]$ gegeben, so dass das Quadrat kommutiert, so müssen diese auf den Konstanten $M$ übereinstimmen, wie Koeffizientenvergleich zeigt:

${\begin{aligned}X\cdot h_{1}(m)-\beta (h_{1}(m))=\mathrm {X} _{\beta }(h_{1}(m))&=&h_{2}(\mathrm {X} _{\alpha }(m))\\&=&h_{2}(Xm-\alpha (m))\\&=&Xh_{2}(m)-h_{2}(\alpha (m))\\&=&Xh_{2}(m)-\beta (h_{1}(m))\end{aligned}}$

Also müssen sie auf ganz $M[X]$ übereinstimmen.

Folgerung für Torsionsmoduln über Polynomringen K[X]

Dass ähnliche Matrizen $A,B\in R:=\operatorname {Mat} (n\times n,K)$ mit Einträgen aus einem Körper $K$ dasselbe charakteristische Polynom $\chi _{A}(X)=\chi _{B}(X)\in K[X]$ und sogar dieselben Elementarteiler $\varepsilon _{i}(X)\in K[X]$ haben, ist bekannt. Dabei ist $\chi _{A}(X)=\prod _{i}\varepsilon _{i}(X)$ und das Minimalpolynom von $A$ ist derjenige unter Elementarteilern mit dem höchsten Grad. Der Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium) besagt die Umkehrung: Haben $A,B$ dieselben Elementarteiler, so sind sie ähnlich, d. h.: Kennzeichnend für die Ähnlichkeitsklassen von Matrizen $A$ sind ihre Elementarteiler, will sagen: die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen $A-XE$.

Hinweis: In diesem Zusammenhang wird der Begriff „Elementarteiler“ in der Regel nicht auf den Kontext des Hauptidealringes $K$ bezogen, denn dieser Kontext wäre trivial und lieferte ja lediglich triviale Elementarteiler $\varepsilon _{i}\in \{0,1\}$. Unter den Elementarteilern einer Matrix $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ mit Einträgen aus einem Körper werden stattdessen in der Regel die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrix $A-EX\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$, welche im Hauptidealring $K[X]$ liegen und von größerem Interesse sind.

Beachte, dass Torsionsmoduln über $R=K[T]$ Vektorräume über $K$ mit einem Endomorphismus $\alpha :v\mapsto X\cdot v$ sind. Mit $\dim V=n$ und $V=\bigoplus _{i=1}^{n}K\cdot v_{i}$ ist

$V[X]=K[T]\otimes V=K[X]\otimes \left(\bigoplus _{n}K\right)=\bigoplus _{i=1}^{n}K[T]$

Die Charakteristische Abbildung $\mathrm {X} _{\alpha }$ und die Abbildung $\varphi _{\alpha }$ ist dann die folgende:

${\begin{array}{ccccccccc}0&\longrightarrow &V[X]&{\stackrel {\mathrm {X} _{\alpha }}{\longrightarrow }}&V[X]&{\stackrel {\varphi _{\alpha }}{\longrightarrow }}&V&\longrightarrow &0\\\updownarrow &\circlearrowleft &\updownarrow &\circlearrowleft &\updownarrow &\circlearrowleft &\updownarrow &\circlearrowleft &\updownarrow \\0&\longrightarrow &\bigoplus _{i=1}^{n}K[X]&\longrightarrow &\bigoplus _{i=1}^{n}K[X]&\longrightarrow &V&\longrightarrow &0\\&&&&\left(g_{i}(X)\right)_{i=1,\dots ,n}&\longmapsto &\underbrace {\sum _{i=1}^{n}g_{i}(\alpha )} _{\in K[\alpha ]\subset \operatorname {End} _{K}(V)}(v_{i})&&\end{array}}$

Spektrum einer Matrix bzw. eines Endomorphismus

Das Spektrum einer Matrix $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ wird definiert als $\operatorname {Spec} (A)=\{x\in K|A-xE\notin \operatorname {GL} (K,n)\}$.

Das Spektrum einer Abbildung $f\in \operatorname {End} _{K}(V)$ wird definiert als $\operatorname {Spec} f=\{x\in K|f-x\cdot \operatorname {id} _{V}\notin \operatorname {Aut} (V)\}$.

Offenbar besteht das Spektrum genau aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also aus den Eigenwerten der Matrix bzw. der Abbildung.

Literatur

• Falko Lorenz: Lineare Algebra II. Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich, zweite Auflage 1989. (In der dritten Auflage von 1991 befindet sich ein kürzerer Beweis des Satzes von Frobenius als in der zweiten Auflage.)

Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium)

Definition der arithmetischen Äquivalenz

In einem Integritätsring heißen zwei Elemente $a,b\in R$ assoziiert, wenn sie sich gegenseitig teilen.

$a\sim b:\Leftrightarrow a|b\land b|a$.

Es sind dann äquivalent:

• $a\sim b$
• $\exists u\in R^{*}\colon a=ub$
• $a|b\land b|a$

In einem nicht kommutativen unitären Ring $\mathbf {R}$ muss zwischen Links- und Rechtsteilern unterschieden werden. Beidseitige Assoziiertheit soll dann die beidseitige gegenseitige Teilbarkeit bedeuten, also: $\exists u,v\in \mathbf {R} ^{*}\colon a=ub\land a=bv$:

Eine gröbere Äquivalenzrelation – d. h. eine Äquivalenzrelation, in deren Klassen jeweils mehrere Klassen der Assoziiertheit zusammengefasst sind, – ist die arithmetische Äquivalenz (oder erweiterte Assoziiertheit):

$a\sim b:\Leftrightarrow \exists u,v\in \mathbf {R} ^{*}\colon a=ubv$

Aus einer einseitigen Assoziiertheit folgt also arithmetische Äquivalenz, aus dieser jedoch nicht die Assoziertheit.

Kann dabei sogar $u=v^{-1}$ gewählt werden, so heißen $a$ und $b$ ähnlich: $a\approx b$.

Insbesondere in einem Matrizenring $\mathbf {R} _{n}:=\operatorname {Mat} (n\times n,R)$ über einem Integritätsring $R$ ist die arithmetische Äquivalenz von Interesse: Zwei Matrizen $A,B\in \mathbf {R} _{n}$ heißen arithmetisch äquivalent, wenn es zwei invertierbare Matrizen $U,V\in \mathbf {R} _{n}^{\times }$ gibt, so dass $A=UBV$.

Zur Hervorhebung des Umstandes, dass hierbei lediglich ein Ring $R$ – und nicht ein Körper – zugrunde gelegt wird, werden die invertierbaren oder regulären Matrizen aus $\mathbf {R} _{n}^{*}$ häufig auch unimodular genannt. Auch das Attribut „arithmetisch“ soll darauf hinweisen: Die Matrizeneinträge der unimodularen Matrizen $U,V$ stammen aus $R$ und nicht etwa aus seinem Quotientenkörper.

Schließlich wird die arithmetische Äquivalenz noch allgemeiner auf dem Doppelmodul $\mathbf {R} _{m,n}:=\operatorname {Mat} (m\times n,R)$ für $A,B\in \mathbf {R} _{m,n}$ definiert:

$A\sim _{R}B:\Leftrightarrow \exists U\in \mathbf {R} _{m}^{*},V\in \mathbf {R} _{n}^{*}\colon A=UBV$

Elementarteilersatz identifiziert Repräsentanten der Äquivalenzklassen

Für einen Hauptidealring $R$ besagt der Elementarteilersatz bekanntlich, dass die Klassen arithmetisch äquivalenter Matrizen $A\in \mathbf {R} _{m,n}$ durch Matrizen $D=[\varepsilon _{j}^{i}]_{1\leq j\leq n}^{1\leq i\leq m}\in \mathbf {R} _{m,n}$ repräsentiert werden können, deren einzige nicht verschwindende Einträge $\varepsilon _{j}^{i}\neq 0$ sich nur an den Stellen $\varepsilon _{i}^{i}$ für $i=1,\dots ,r$ befinden, wobei die eindeutig bestimmte Zahl $r\leq \min\{m,n\}$ der Rang der Matrix (und aller zu ihr arithmetisch äquivalenten Matrizen) heißt und die Elemente $\varepsilon _{i}^{i}=:\varepsilon _{i}\in R$ bis auf Assoziiertheit in $R$ eindeutig bestimmt sind und sich so anordnen lassen, dass sie eine Teilerkette bilden, d. h., dass die von ihnen erzeugten Ideale eine Teilerkette bilden: $(\varepsilon _{1})\supset (\varepsilon _{2})\supset \dots \supset (\varepsilon _{r})$. Für eventuell folgende $\varepsilon _{k}$ mit $r<k\leq \min\{m,n\}$ kann die Kette also durch $\supset (0)\supset \dots \supset (0)$ fortgesetzt werden. Dabei sind also die Ideale $(\varepsilon _{j}^{i})$ sämtlich eindeutig bestimmt.

Matrixversion des Satzes

Indem nun der Polynomring $R=K[X]$ betrachtet wird, stellt der Satz von Frobenius für $m=n$ einen wichtigen Zusammenhang zwischen arithmetischer Äquivalenz bestimmter Matrizen aus $\operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\operatorname {Mat} (n\times n,K)[X]$ und der Ähnlichkeit der zugehörigen Matrizen aus $\operatorname {Mat} (n\times n,K)=\mathbf {R} _{n,n}=\mathbf {R}$ her.

Die Matrixversion des Ähnlichkeitskriteriums entstammt dem Büchlein Aufgabensammlung zur Höheren Algebra von Helmut Hasse und Walter Klobe, Sammlung Göschen, Band 1082, Teil 2, Seite 82 f., Aufg. 34 bis 48 und beruht lediglich auf der „vorderen“ und „hinteren“ euklidischen Division in der Polynomalgebra $\mathbf {R} [X]$ über einem nicht notwendig kommutativen unitären Ring $R$ durch normierte lineare Polynome $X-\alpha$.

Satz von Frobenius: Es sei $\mathbf {R}$ ein unitärer nicht notwendig kommutativer Ring. Für Elemente $a,a'\in \mathbf {R}$ sind äquivalent:

• $a\approx a'$ (Ähnlichkeit in $\mathbf {R}$)
• $X-a\sim X-a'$ (Arithmetische Äquivalenz der zugehörigen charakteristischen Elemente in $\mathbf {R} [X]$)

Folglich sind zwei Matrizen $A,B\in \mathbf {R} :=\operatorname {Mat} (n\times n,K)$ genau dann ähnlich (konjugiert), wenn ihre charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ arithmetisch äquivalent in $\mathbf {R} [X]{\stackrel {!}{=}}\operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ sind.

Beweisskizze: Dass Ähnlichkeit über $\mathbf {R}$ die arithmetische Äquivalenz der zugehörigen „charakteristischen Elemente“ über $\mathbf {R} [X]$ nach sich zieht, ist offensichtlich. Für die umgekehrte Implikation beachte zunächst, dass die euklidische Division durch ein Polynom mit einer Einheit als führendem Koeffizienten unter diesen allgemeinen Voraussetzungen sowohl von links als auch von rechts möglich ist, also erst recht durch ein normiertes lineares Polynom: Als Reste kommen hierbei nur Konstanten in Frage. Die Eindeutigkeit der euklidischen Division ist bei Nullteilerfreiheit von $\mathbf {R}$ gewährleistet, wird hier aber nicht gebraucht. Nach Voraussetzung gilt mit geeigneten $u,v'\in \mathbf {R} [X]^{*}$ einerseits

$u(X-a)=(X-a')v'$.

Dividiert man $u$ links durch $X-a'$ und $v'$ rechts durch $X-a$, so erhält man

$u=(X-a')p+r$ und entsprechendes für $v'$, so dass

$(X-a')p(X-a)+r(X-a)=(X-a')q'(X-a)+(X-a')s'$ mit Resten $r,s'\in \mathbf {R}$ und Quotienten $p,q'\in \mathbf {R} [X]$.

Koeffizientenvergleich ergibt $p=q'$ und $r=s'$, so dass

$r(X-a)=(X-a')r$, also $ra=a'r$. Zu zeigen bleibt $r\in \mathbf {R} ^{*}$.

Nach Voraussetzung gilt nun mit $v^{-1}=v'$ und $u'=u^{-1}$ andererseits

$(X-a)v=u'(X-a')$.

Analoge Rechnung und Bezeichnung liefert $u'=(X-a)p'+r'$ mit einem Rest $r'\in \mathbf {R}$. Es gilt $1=uu'$; man multipliziere die rechte Seite aus, beachte $r(X-a)=(X-a')r$ und nutze Koeffizientenvergleich. So gelangt man zu $uu'=rr'$, womit alles gezeigt ist.

Charakteristische Abbildung und Matrix

Die Bedeutung der charakteristischen Matrix hängt mit der charakteristischen Abbildung zusammen: Diese ist auf dem Polynommodul definiert. Für die Strukturversion des Satzes muss zunächst die charakteristische Abbildung definiert werden.

Strukturversion des Satzes

Es sei $\dim _{K}V=:n<\infty$.

Satz: Zwei Endomorphismen $\alpha ,\beta \in \operatorname {End} _{K}(V)$ sind genau dann ähnlich (konjugiert), wenn ihre charakteristischen Abbildungen arithmetisch äquivalent (also in $\operatorname {End} _{K[X]}(V)$ assoziiert) sind: $\alpha \approx \beta \Leftrightarrow \mathrm {X} _{\alpha }\sim \mathrm {X} _{\beta }$.

Dabei werden $V$ als Modul $M=V$ über der Polynomalgebra $K[X]$ aufgefasst, und die charakteristischen Abbildungen $\mathrm {X} _{\alpha },\mathrm {X} _{\beta }$ auf dem zugehörigen Polynommodul $M[X]=M\otimes K[X]$ betrachtet.

Die Implikationen „$\mathrm {X} _{\alpha }{\stackrel {K[T]}{\approx }}\mathrm {X} _{\beta }\Rightarrow \alpha \approx \beta \Rightarrow \mathrm {X} _{\alpha }\sim \mathrm {X} _{\beta }$“ sind (durch Koeffizientenvergleich) trivial.

ODER VERWEISEN auf Polynommodul#1Satz_von_Frobenius_(Ähnlichkeitskriterium).

Weiterführende Links

• Jordansche Normalform
• Smith-Normalform

Literatur

• Falko Lorenz: Lineare Algebra
• Helmut Hasse und Walter Klobe: Aufgabensammlung zur „Höheren Algebra“ (von Helmut Hasse), Sammlung Göschen, Band 1082, Teil 2, Seite 82 f., Aufg. 34 bis 48

Originalarbeiten

Für den Satz von Frobenius über ein Kriterium für die Ähnlichkeit linearer Abbildungen (von Matrizen) anhand der zugehörigen charakteristischen Abbildungen (Matrizen), und mithin durch die zugehörigen Elementarteiler, sind folgende Originalarbeiten von Georg Frobenius zu nennen:

• Ferdinand Georg Frobenius: „Über lineare Substitutionen und bilineare Formen“, Crelles Journal, Band 84, 1878, Seiten 1-63. Darin § 6 (Aequivalenz), Abschnitt 2, Seite 21 und § 7 (Ähnlichkeit). Frobenius verweist auf Ergebnisse von Weierstraß und Kronecker in: Monatsberichte der Berliner Akademie des Wisssenschaften 1868 und 1874), die jedoch mit aufwendigeren Beweisen erzielt wurden.
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 146-208. (datiert: Zürich, April 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius und Ludwig Stickelberger: „Über Gruppen von vertauschbaren Elementen“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 217-262. (datiert: Zürich, Juli 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten (Forts.)“, Crelles Journal, Band 88, 1880, Seiten 96-116. (datiert: Zürich, Januar 1879).

Im genannten Band 86, Seite 147, verweist Frobenius auf folgende Arbeiten:

• Karl Weierstraß: „Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen“, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monatsberichte Berlin, „B.M.“), Sitzung vom 18. Mai 1868.
• Leopold Kronecker: ebenda, 1874.
• Camille Jordan, Comptes rendus 1871, II. sém, p. 787
• Camille Jordan, Liouv. Journ. 1874, p. 35.
• Gaston Darboux, Liouv. Journ. 1874, p. 347.
• Meyer Hamburger: „Bemerkung über die Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten“ Crelles Journal, Bd. 76, 1873, S. 113-125. (Berlin, Februar 1873)

Ferner verweist Frobenius auf Arbeiten von „Herrn Smith“, die ihm erst nach Vollendung seiner Arbeit zu Gesicht gekommen seien:

• Henry John Stephen Smith: „On Systems of Linear Indeterminate Equations and Congruences“, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (Phil. Trans.) vol. 151, p. 293. (siehe auch [1])
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes I: On the Arithmetical Invariants of a Rectangular Matrix, of which the Constituents are Integral Numbers“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 236.
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes II: On Systems of Linear Congruences“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 241.

Laut Meyer Hamburger (loc. cit., Seite 124), war es Karl Weierstraß, der in der zitierten Arbeit B.M. 1868 die Definition der Elementartheiler eingeführt hat, siehe auch Karl Weierstraß.

Elementarteiler

Der Elementarteilersatz liefert die Klassifikation endlich erzeugter Moduln über einem Hauptidealring (wie bspw. einem euklidischen Ring): Solche Moduln sind nämlich gerade durch die Familie ihrer Elementarteiler, ja durch ihre Elementarteilerkette gekennzeichnet, freilich bis auf Isomorphie bzw. Assoziiertheit. Zuerst waren es natürlich Moduln über dem Ring der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, also abelsche Gruppen, für die dieser Satz erkannt wurde und häufig als „Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen“ ausgesprochen wurde.

Es ist erhellend, sich zunächst das historische Verständnis des Begriffs „Elementarteiler“ zu vergegenwärtigen, denn dieses verrät wesentlich mehr von der Aussage des Elementarteilersatzes als man zunächst – bei landläufigem Verständnis der Wortbestandteile – vermuten möchte.

Bedeutung, Bedeutungswandel und Definition

Der Begriff Elementarteiler hat einen Bedeutungswandel erfahren. Ursprünglich bezeichnete dieser Begriff – analog zum noch heute üblichen Begriff des Normalteilers – eine Untergruppe einer gegebenen Gruppe mit der Eigenschaft, elementar zu sein. Der Begriff „Theiler einer Gruppe“ (oder „Divisor einer Gruppe“) bezeichnete in den Anfängen der Gruppentheorie nämlich eine Untergruppe einer abelschen Gruppe (eines Moduls), und eine zyklische Gruppe wurde „elementar“ genannt, wird sie doch von einem Element erzeugt. Bspw. trägt noch 1898 Heinrich Weber in seinem Lehrbuch der Algebra den Begriff Untergruppe lediglich in der Fußnote nach, während er im Haupttext die Begriffe Theiler und Divisor nennt. In Ermangelung des Mengenbegriffs wurden seinerzeit noch kaum abstrakte Gruppen betrachtet, sondern stets Gruppen von Zahlen, Substitutionen oder Formen etc. Dass die wesentlichen Eigenschaften hierbei auf die Gruppenaxiome zurückführbar sind, die daher konstitutiv sind, trat freilich mehr und mehr ins Bewusstsein, wie aus Heinrich Webers Vorwort hervorgeht.

Die Kardinalität eines minimalen Erzeugendensystems einer abelschen Gruppe (einer „Basis“, wie es früher auch hieß) wurde Rang der Gruppe genannt. Gruppen vom Rang eins hießen also elementar, und „Elementarteiler einer Gruppe“ sind demnach zyklische Untergruppen.

Tatsächlich zerfällt jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $M$ nach dem Elementarteilersatz in eine direkte Summe $M=\bigoplus _{i=1}^{N}Z_{i}$ zyklischer Untergruppen $Z_{i}$, die gemäß altem Sprachgebrauch auch die „Elementarteiler der Gruppe“ hießen. Diese Untergruppen werden also jeweils von einem Element erzeugt: $Z_{i}=\langle z_{i}\rangle$, wobei $\langle z_{i}\rangle$ je nachdem, ob die Gruppe additiv oder multiplikativ notiert wird, $\mathbb {Z} \cdot z_{i}$ oder $z_{i}^{\mathbb {Z} }$ bedeuten möge. Diese Untergruppen sind nach dem Elementarteilersatz bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, das heißt, dass die Elemente $z_{i}\in M$ zwar nicht eindeutig festgelegt sind, wohl aber ihre Ordnung $\operatorname {ord} z_{i}:=\min\{h\geq 1\,|\,h\cdot z_{i}=0\}=\operatorname {ord} (Z_{i})$. Elemente gleicher Ordnung erzeugen nämlich isomorphe zyklische Gruppen und umgekehrt haben Erzeugende isomorpher zyklischer Gruppen dieselbe Ordnung. Der Elementarteilersatz besagt darüber hinaus, dass eben diese Ordnungen (bei passender Indizierung) einer Teilerkette bilden: $\varepsilon _{r}|\varepsilon _{r-1}|\varepsilon _{r-2}|\dots |\varepsilon _{1}$, wobei $\varepsilon _{i}:=\operatorname {ord} (z_{i})$ für $i=1,\dots ,r$, oder in äquivalenter Notation $(\varepsilon _{1})\subset (\varepsilon _{2})\subset \dots \subset (\varepsilon _{r-1}\subset (\varepsilon _{r})$. Für die Eindeutigkeit können triviale Faktoren $\varepsilon =1$ ignoriert werden, denn die Eins ist Teiler einer jeden ganzen Zahl und stünde ja nur für die triviale zyklische Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht, dem Null- bzw. Einselement. Aus demselben Grunde kann ebensogut die Folge der Elementarteiler $(\varepsilon _{i})_{i}$ für $i\geq r$ durch $\varepsilon _{i}:=1$ aufgefüllt werden. Die Null hingegen ist Vielfaches einer jeden ganzen Zahl, und ein Elementarteiler $\varepsilon _{i}=0$ zeigt, dass die Untergruppe $\langle z_{i}\rangle$ isomorph zu $\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /(0)$ ist. Für endlich erzeugte Torsionsmoduln $M$ tritt dieser Fall jedoch nicht ein, denn jedes Element $x$ einer Torsionsgruppe hat Torsion, das heißt: Es gibt $h\in \mathbb {Z}$ mit $h\cdot x=0$. Für den Torsionsanteil endlich erzeugter Moduln ist daher stets $\varepsilon _{i}\neq 0$, während sich für den torsionsfreien Anteil Elementarteiler $\varepsilon =0$ zu Beginn der Elementarteilerkette (für $i=1,\dots ,s$, wenn $s$ der Rang des freien Anteils ist) einfügen. Damit ist der Rang der abelschen Gruppe gleich der Länge $r$ dieser Teilerkette, wenn $r$ maximal mit $\varepsilon _{r}\not \sim 1$. So spiegelt sich der Isomorphietyp eines endlich erzeugten Moduls über einem Hauptidelaring in der Folge $(\varepsilon _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ seiner Elementarteiler $\varepsilon _{i}\in R$, die (ohne Einschränkung) von einem Glied $i\geq r+1$ an identisch $1$ wird.

Auch diese Ordnungen $\varepsilon _{i}$ wurden gelegentlich als Elementarteiler bezeichnet: Das ist gut nachvollziehbar, lassen sich doch „elementare Gruppen von vertauschbaren Elementen“ (also zyklische Gruppen) der Ordnung $\varepsilon \in \mathbb {Z}$ mit dem Paradigma $\mathbb {Z} /(\varepsilon )$ identifizieren. Jede elementare abelsche Gruppe ist mit ihrer Ordnung identifiziert.

Elementarteiler $\varepsilon _{i}$ einer endlich erzeugten abelschen Gruppe $M$ sind also genau jene Teiler der Gruppenordnung $\operatorname {Ord} M$, welche die Ordnungen der elementaren Untergruppen $Z_{i}$ angeben, in welche die Gruppe nach dem Elementarteilersatz (als direkte Summe) zerfällt. Ihr Produkt ist die Gruppenordnung, falls diese endlich ist: $\#M=\prod _{i=1}^{r}\varepsilon _{i}$. (Falls sie nicht endlich ist, so sind einige der $\varepsilon _{i}$ gleich Null. Die Gleichheit gilt nur für Torsionsmoduln.)

Allerdings muss unterschieden werden: Die Ordnungen der zyklischen Untergruppen bilden eine Teilerkette, nicht aber die Untergruppen $Z_{i}$ selbst, denn sie sind ja direkte Summanden, will sagen: Es gilt zwar $\operatorname {Ord} (Z_{r})|\operatorname {Ord} (Z_{r-1})|\operatorname {Ord} (Z_{r-2})|\dots |\operatorname {Ord} (Z_{1})$, nicht jedoch $Z_{r}\subset Z_{r-1}\subset Z_{r-2}\subset \dots \subset Z_{1}$. So mag die Verwendung des Begriffs „Elementarteilerkette“ ein Grund dafür sein, dass sich die Bedeutung des Begriffes „Elementarteiler“ auf die Ordnungen der zyklischen Untergruppen verengt hat, um Missverständnisse zu vermeiden.

Als Synonyme für die Elementarteiler werden verwendet: Invarianten oder invariante Faktoren einer Gruppe (engl.: invariant factor, elementary divisors)

Abelsche Gruppen sind Module über dem Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen. Dieser ist ein euklidischer Ring, ja sogar ein prinzipaler Ring. Tatsächlich gilt der Elementarteilersatz allgemeiner für Module über einem Hauptidealring $R$. Dazu muss jedoch der Begriff der Ordnung einer Gruppe geeignet definiert werden, weil das oben für die Ordnungsdefinition verwendeten Minimum seinen Sinn verliert: Anstelle der Ordnung $\operatorname {ord} (x)$ eines Elementes $x$ betrachtet man das von ihm erzeugte Ordnungsideal $\operatorname {Ord} (x)=\operatorname {ord} (x)\mathbb {Z}$ und verallgemeinert es folgendermaßen: $\operatorname {Ord} (x)=\{r\in R\,|\,r\cdot x=0\}=\operatorname {Ann} (x)$. Es wird auch Annullator(ideal) genannt.

Dass es sich um ein Ideal handelt, ist leicht nachzuprüfen. In Hauptidealringen ist jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\triangleleft R$ von einem geeigneten Element erzeugbar: ${\mathfrak {a}}=Ra$. Ein solches erzeugendes Element $a$ ist bis auf Assoziiertheit festgelegt, denn $a_{1}|a_{2}\Leftrightarrow Ra_{1}\supset Ra_{2}$, also $Ra_{1}=Ra_{2}\Leftrightarrow a_{1}|a_{2}\wedge a_{2}|a_{1}$.

Endlich erzeugte Torsionsmoduln über $\mathbb {Z}$ sind genau die endlichen abelschen Gruppen. Daher firmiert die Klassifikation der endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen in diesem Falle auch als Fundamentalsatz über endliche (oder endlich erzeugte) abelschen Gruppen. Die von einem Element $p\in G$ erzeugte zyklische Untergruppe $\langle p\rangle$ wurde übrigens auch als Periode von $p$ bezeichnet.

Elementarteilersatz

Der Elementarteilersatz lässt sich in verschiedene Versionen kleiden und liefert dabei folgende Aussagen:

• Die Strukturversion ist eine Klassifikation endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen. Sie stellt ferner einen Zusammenhang hang zwischen Elementarteilern und alternierenden Multilinearformen auf dem Modul her.
• Die Matrixversion ist eine Klassifikation quadratischer Matrizen aufgrund einer Äquivalenzrelation: der Assoziiertheit. Sie stellt ferner einen Zusammenhang zwischen Elementarteilern und Determinantenteilern her.

• Die Basisversion klassifiziert Untermoduln freier Moduln und gibt das Volumen der Grundmasche als eine Determinante an (und das Volumen von Grundmaschen niedrigeren Ranges).
• Die Homomorphismusversion klassifiziert folglich Kerne.

Somit liefert der Elementarteilersatz Invarianten: Invarianten eines endlicher erzeugten Moduls und einer Matrix sind die (bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmten) Elementarteiler und die Länge dieser Elementarteilerkette. Dabei hängen diese Invarianten nur von Isomororphieklasse des Moduls bzw. der Äquivalenzklasse der Matrix (in Bezug auf die arithemtische Äquivalenz ab). Die Elementarteiler heißen daher auch invariante Faktoren (engl. invariant factors).

Die Länge der Elementarteilerkette einer Matrix heißt der Rang dieser Matrix.

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Unter einer aufsteigenden Idealkette werde eine Kette von Idealen $(\varepsilon _{i})_{1\leq i\in \mathbb {N} }$ verstanden mit:

1. $(\varepsilon _{i})\subset (\varepsilon _{i+1})$,
2. $(\varepsilon _{1})\supset (0)$ und
3. $(\varepsilon _{s}+1)=(1)$ für ein $s\in \mathbb {N}$ und damit auch $(\varepsilon _{i})=(1)$ für jedes $i\leq s+1$.

Die Erzeugenden $\varepsilon$ sind bis auf Einheiten eindeutig durch das Ideal $(\varepsilon _{i})$ bestimmt. Zwei derartige Idealketten heißen gleich, wenn für jeden Index $i$ die zugehörigen Ideale gleich sind.

Beispiel: $\underbrace {(0)\subset (0)\subset \dots \subset (0)} _{r{\text{ Mal}}}\subset (1)\subset \dots$.

Der Elementarteilersatz lässt sich als eine Klassifikationsaussage verstehen, nämlich: Die Menge der (schwach) aufsteigenden Idealketten repräsentiert

• die Isomorphieklassen endlicher erzeugter Moduln über $R$ bzw.
• die Äquivalenzklassen endlicher Matrizen mit Einträgen aus $R$. Es handelt sich dabei um die Äquivalenzrelation der arithmetischen Äquivalenz von Matrizen.

Der Elementarteilersatz klassifiziert also endlich erzeugte Moduln oder – gleichbedeutend – endliche Matrizen über einem Hauptidealring.

Zur bequemen Formulierung sei deshalb

• der $R$-Modul $\bigoplus _{1\leq i\in \mathbb {N} }R/(\varepsilon _{i})=\bigoplus _{i=1}^{s}R/(\varepsilon _{i})$, wobei $(\varepsilon _{s})=(1)=R$, als der zur Idealkette $(\varepsilon _{i})_{i}$ gehörige oder von ihr induzierte $R$-Modul,
• und die Matrix $\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\varepsilon _{i}E_{i}^{i}$ als die zur Idealkette $(\varepsilon _{i})_{i}$ gehörige oder von ihr induzierte Matrix aus $\operatorname {Mat} (m\times n,R)$ bezeichnet. Dabei sei $E_{j}^{i}\in \operatorname {Mat} (m\times n,R)$ die Matrix, die überall Nullen hat, lediglich in der Stelle der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte eine Eins.

Nun ist ein Hauptidealring faktoriell, d. h., in ihm besteht also eine (bis auf Assoziiertheit) eindeutige Zerlegung in Primelemente (ZPE). Mit anderen Worten: Es ist ein ZPI-Ring, in dem jedes Ideal Hauptideal ist, insbesondere auch die Primideale.

Eine aufsteigende Idealkette $(\varepsilon _{i})_{1\leq i\in \mathbb {N} }$ kann also auch durch gekennzeichnet werden, indem für jedes Primideal $(p)$ und für jede natürliche Zahl $k\in \mathbb {N}$ der folgende Werte angegeben wird: $m_{p,k}:=\#\left\{i\in \mathbb {N} \;|\;(p^{k})\supset (\varepsilon _{i})\,\land \,(p^{k+1})\not \supset (\varepsilon _{i})\right\}$. Diese Kennzahl gibt also die Anzahl derjenigen Elementarteiler an, in denen $p$ mit der genauen Potenz $p^{k}$ aufgeht. Diese Werte $m_{p,k}$ verschwinden für fast alle Primelemente $p$ und fast alle natürliche Zahlen $k$. Zudem sind sie fast alle endlich, wenn die Null nicht als Elementarteiler erscheint: Die Häufigkeit des Wertes $\infty$ gibt die Häufigkeit der Null als Elementarteiler an.

Arithmetische Äquivalenz

Definition: text text.

Ein wichtiges Kriterium für die arithmetische Äquivalenz zweier Matrizen formuliert der Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium): Zwei Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,R)$ sind genau ähnlich $A\approx B$, wenn ihre zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,R[X])$ arithmetisch äquivalent ($A-XE\sim B-XE$) sind.

Dieses Kriterium stiftet den Zusammenhang zwischen der Eigenwerttheorie und der Elementarteilertheorie: text text text.

Matrixversion

Elementarteilersatz (Matrixversion): Jede Matrix ist arithmetisch äquivalent zu einer Matrix, die von einer wachsenden Idealkette induziert ist. Das heißt: Jede Matrix $A\in \operatorname {Mat} (m\times n,R)$ gibt es zwei Matrizen $P\in \operatorname {GL} (m\times m,R)$ und $Q\in \operatorname {GL} (n\times n,R)$, so dass $PAQ$ von einer aufsteigenden Idealkette $(\varepsilon _{i})$ in $R$ induziert wird, das heißt die folgende Gestalt hat:

${\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&\varepsilon _{2}&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&0&\varepsilon _{3}&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\varepsilon _{s}&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}$, wobei $s\leq \min\{m,n\}$ und $\varepsilon _{s}|\varepsilon _{s-1}|\varepsilon _{s-2}|\cdots |\varepsilon _{1}$.

Eigentlich wäre es (im Sinne der aufsteigenden Kette) schöner, wenn <nochmal über die Indexreihenfolge nachdenken>

mit Determinantenteilern ...

Insbesondere sind torsionsfreie endlich erzeugte Moduln frei, denn ein minimales Erzeugendensystem ist linear unabhängig.

Strukturversion

Elementarteilersatz (Strukturversion) Jeder endlich erzeugte Modul über einem Haupidealring $R$ ist isomorph zu einem von einer aufsteigenden Idealkette in $R$ induzierten Modul.

Idee: Bei Elementarteilerzerlegung $G=\bigoplus _{i=1}^{n}R/\varepsilon _{i}$ sei $a_{G}(p^{k}):=\#\left\{i\in \{1,\dots ,n\}|v_{p}(\varepsilon _{i})=k\right\}$, so das also $\varepsilon _{i}=\prod _{p}p^{v_{p}(\varepsilon _{i})}$. (So ist es auch im Artikel Hauptidealringe dargestellt.)

Insbesondere sind torsionsfreie Moduln frei, denn für sie ist $(\varepsilon _{s})=(0)$, also verschwinden alle Elementarteiler $\varepsilon _{i}=$.

Der Elementarteilersatz lässt sich offensichtlich noch in zwei weitere Versionen kleiden:

Basisversion

Elementarteilersatz (Basisversion) mit Determinantenteilern und alternierenden Multilinearformen ..

IDEE: Die Basisversion (ebenso wie die Homomorphismenversion) offenbart, dass endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen endlich präsentierbar sind.

Homomorphismenversion

Elementarteilersatz (Homomorphismenversion)

Primärzerlegung

Gewissermaßen „quer“ zur Zerlegung des Elementarteilersatzes gibt es eine weitere Zerlegung, für die der Chinesische Restsatz paradigmatisch ist. Beachte, dass Hauptidealringe faktoriell sind.

Satz: Es sei $M$ ein endlicher erzeugter $R$-Modul mit dem Annullatorideal $\operatorname {Ann} (M):=\{z\in \mathbb {Z} \,|\,\forall m\in M:z\cdot m=0\}=\{z\in \mathbb {Z} \,|\,z\cdot M=0\}=Ra$ mit $a\neq 0$ (also ein Torsionsmodul). Dabei sei $a=a_{1}\cdot a_{2}$ mit zwei teilerfremden $a_{i}\in R$, das heißt mit $Ra_{1}+Ra_{2}=R$. Dann lässt sich $M$ in eine direkte Summe $M=M_{1}\oplus M_{2}$ zweiter Untermoduln $M_{i}$ zerlegen, für die gilt: $\operatorname {Ann} (M_{1})=Ra_{1}$ und $\operatorname {Ann} (M_{2})=Ra_{2}$. Setzt man die Zerlegung von $a$ bis zu einer Zerlegung $a=\prod _{p|a}p^{v_{p}(a)}$ in Potenzen von Primelementen $p\in R$ fort, so erhält man die Primärzerlegung : $M=\bigoplus _{p|a}M_{p}$ mit $\operatorname {Ann} (M_{p})=Rp^{v_{p}(a)}$. Die Summe erstreckt sich natürlich nur über endlich viele Primelemente, nämlich jene, die $a$ teilen: $p|a$.

Anmerkung: Hat $M$ einen torsionsfreien Anteil, so kann dieser zunächst (gemäß Elementarteilersatz) abgespalten werden und sodann die Primärzerlegung angewendet werden. Der torsionsfreie Anteil ist ein freier Modul.

• Auf jede dieser Primärkomponenten $M_{p}$ lässt sich nun der Elementarteilersatz anwenden und somit ihre Elementarteilerkette bestimmen: Notwendigerweise werden sämtliche $\varepsilon _{p,i}$ Teiler von $p^{v_{p}(a)}$ sein, also Potenzen von $p$.
• Auch das umgekehrte Vorgehen ist möglich: Zerlege $M$ zuerst in seine „Elementarteiler“ (will sagen: in zyklische Untergruppen, deren Ordnungen $\varepsilon _{i}$ eine Teilerkette bilden) und anschließend zerlege jede zyklische Untergruppe in ihre Primärkomponenten.

Ob zuerst die zyklischen Untergruppen $Z_{i}<M$ (also die Elementarteiler, deren Ordungen eine Teilerkette bilden,) eines Moduls $M$ bestimmt wird und dann jede von ihnen in ihre Primärkomponenten $Z_{i}=\bigoplus _{p}Z_{(i,p)}$ zerlegt wird oder aber umgekehrt zunächst der Modul in seine Primärkomponenten $M=\bigoplus _{p}M_{p}$ und dann jede von diesen in ihre Elementarteiler $M_{p}=\bigoplus _{i}M_{(p,i)}$, ist gleichgültig: Beides läuft auf isomorphe Zerlegungen, das heißt auf Zerlegungen in primärzyklische Untergruppen, die paarweise einander isomorph sind: $Z_{(i,p)}\cong M_{(p,i)}$.

Text der Überschrift

$M$	zugehöriger Elementarteiler $\varepsilon$	Primärzerlegung →	$M_{p_{1}}$	$M_{p_{2}}$	$\cdots$	$M_{p_{s}}$	Überschrift
Zerlegung in zyklische Untergruppen („Elementarteiler“) ↓	$(\varepsilon _{i})=\operatorname {Ann} (Z_{i})=\operatorname {Ord} (z_{i})$	↓ oder →	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Beispiel
$Z_{1}$	$\varepsilon _{1}\sim \prod _{p}(\dots )$ Es ist $(\varepsilon _{1})=\operatorname {Ann} (M).$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{2}$	$\varepsilon _{2}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{3}$	$\varepsilon _{3}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\vdots$	$\varepsilon _{i}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{r}$	$\varepsilon _{r}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\{0\}$	$\varepsilon _{r+1}\sim 1$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\vdots$	$\varepsilon _{r+2}\sim 1$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel

Da $R/(p)$ für ein Primelement $p\in R$ ein Körper ist, lassen sich zum Beweis der Sätze der Elementarteilertheorie die Primärzerlegung zusammen mit Ergebnissen der Linearen Algebra verwenden. So lassen sich bspw. die Ulmschen Invarianten betrachten: $U(i,p,M):=\dim _{R/pR}\left(p^{k-1}M/p^{k}M\right)$.

Elementarteiler von Primärmoduln

Beweis mit Mitteln der linearen Algebra möglich. Ulmsche Invarianten. Heckescher Beweis. etc.

Induktiver Beweis über reine Untermoduln

Nach Heinz Prüfer lässt sich der Elementarteilersatz auch durch Induktion über so genannte reine Untermoduln führen.

Literatur

• Nathan Jacobson: Basic Algebra. Seite 188 letzte drei Aufgaben.
• Irvin Kaplansky: Infinite Abelian Groups, Ann Arbor, The University of Michigan Press, 1954, 1969 (Revised Edition).
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1988.
• Heinz Prüfer (Mathematiker):
  • Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen, Math. Zeit., Band 17 (1923), Seiten 35-62. DigiZeitschriften online
  • Theorie der abelschen Gruppen, I, Grundeigenschaften, Math. Zeit., Band 20 (1924), Seiten 165-187. DigiZeitschriften online
  • Theorie der abelschen Gruppen, II, Ideale Gruppen, Math. Zeit., Band 22 (1925), Seiten 222-249. DigiZeitschriften online

Folgerungen

Kriterium für Zyklizität

Für endliche zyklische Gruppen (Module über $\mathbb {Z}$ oder allgemeiner über euklidischen Ringen oder gar Hauptidealringen) sind Annullator(ideal) und Ordnung(sideal) gleich:

$G=\langle x\rangle \Rightarrow \operatorname {Ann} (G)=\operatorname {Ord} (G)\;,$

wobei $\operatorname {Ann} (G):=\operatorname {min} \{0\neq r\in \mathbb {N} |\forall x\in G:rx=0\}$ und $\operatorname {Ord} (G):=(G:1)=\#G$. Bei multiplikativ notierten abelschen Gruppen spricht man den Annullator auch als den Exponenten der Gruppe an. Der Elementarteilersatz liefert auch die Umkehrung: Stimmen Ordnung und Annullator überein, so ist die Gruppe zyklisch. Der Elementarteilersatz liefert überdies eine allgemeinere Aussage: Jede abelsche Gruppe ist isomorph einem direkten Produkt zyklischer Gruppen, deren Ordnungen eine Teilerkette bilden. Dabei ist die Teilerkette (bis auf Einheiten, also im Falle von Moduln über $\mathbb {Z}$ bis auf $\pm 1$) eindeutig bestimmt, insbesondere auch ihre Länge. Zyklische Moduln sind gerade dadurch gekennzeichnet, dass ihre Elementarteilerkette die Länge 1 hat. Anmerkung: Dies sind sämtlich Torsionsgruppen. Nimmt man auch torsionsfreie Anteile hinzu und gibt ihnen die Ordnung 0 (Die Null ist Vielfaches einer jeden Zahl), so gelangt auch die unendliche Gruppe $\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /(0)$ in den Blick.

Die Aussagen des Elementarteilertheorie gelten nicht nur für Moduln über dem Ring $\mathbb {Z}$ (also abelsche Gruppen), sondern für beliebige Moduln über Hauptidealringen. Typisches Beispiel ist die Polynomalgebra $K[X]$ in einer Unbestimmten $X$ über einem Körper $K$.

Torsionsfreiheit und Freiheit

Nachdem Elementarteilersatz sind torsionsfreie Moduln über Hauptidealringen frei. Nach dem Artikel über flache und über torsionsfreie Moduln fallen also für Moduln über einem Hauptidealring $R$ die Begriffe „frei“, „projektiv“, „flach“ und „torsionsfrei“ zusammen.

Tatsächlich ist $R$ Dedekind-Ring, so dass aus Torsionsfreiheit die Flachheit folgt. Ferner sind endlich erzeugte Moduln über $R$ nach der Basisversion des Elementarteilersatzes endlich präsentabel, so dass aus der Flachheit die Projektivität folgt. Über Hauptidealringen folgt aus der Projektivität die Freiheit.

Anwendungen

Der Elementarteilersatz besitzt eine Reihe interessanter Anwendungen. Umgekehrt ordnen sich eine Reihe bekannter Ergebnisse aus verschiedenen Bereichen ihm unter. Hier seien aufgeführt:

• Fall $R=\mathbb {Z}$
  • Kriterium für endliche zyklische Gruppen
  • Zyklizität endlicher Untergruppen der Einheitengruppe von Körpern
  • Existenz primitiver Einheitswurzeln bzw. einer Primitivwurzel modulo p
• Fall $R=K$: Klassifikation endlicher erzeugter Vektorräume anhand ihrer Dimension.
• Fall $R=K[X]$
  • Struktur von Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension $n<\infty$ und $n$ reihigen quadratischen Matrizen
  • Satz über die Existenz einer Normalbasis einer zyklischen Galoiserweiterung
  • Rekursive Folgen
  • Lösungen linearer DGl erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
  • Partialbruchzerlegung

Endlich erzeugte Moduln über Z: Abelsche Gruppen und Kriterium für Zyklizität

Im Falle $R=\mathbb {Z}$ heißt der Elementarteilersatz auch Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Beschränkt man sich dabei auf endlich erzeugte Torsionsmoduln, so ist es der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.

Es ergeben sich Kriterien für Zyklizität endlicher abelscher Gruppen, denn für eine endliche abelsche Grupppe $G$ sind gemäß Elementarteilersatz (und Primärzerlegung) äquivalent:

• $G$ ist zyklisch.
• Annullatorideal (ihr Exponent) und Ordnung(sideal) von $G$ sind gleich.
• Zu jedem Teiler $d|(G:1)$ der Gruppenordnung gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $d$.
• Zu jedem Primzahlpotenzteiler $p^{m}|(G:1)$ der Gruppenordnung gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p^{m}$.
• Zu jedem maximalen Primzahlpotenzteiler $p^{m}|(G:1)$ (also mit $p^{m+1}\not |(G:1)$) gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p^{m}$.
• Zu jedem Primteiler $p|(G:1)$ gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p$.
• Zu jedem Primteiler $p|(G:1)$ gibt es genau $p-1$ Elemente aus $G$ mit der Ordnung $p$.
• Für jedes $0<k\in \mathbb {N}$ ist $\#\{x\in G\;|\;x^{k}=1\}\leq k$.

Zyklizität endlicher Untergruppen der Einheitengruppe von Körpern

Satz: Jede endliche Untergruppe $G\leq K^{\times }$ der multiplikativen Gruppe $K^{\times }$ eines Körpers $K$ ist zyklisch. Zum Beweis wähle man $h\in \mathbb {N}$ wie folgt:

$h=\operatorname {min} \{h\in \mathbb {N} \backslash \{0\}\,|\,\forall x\in G\colon x^{h}=1\}=:\operatorname {ann} (G)$

Diese Zahl wird bei multiplikativ notierten abelschen Gruppen auch der Exponent der Gruppe $G$ genannt. Sie erzeugt das Annullatorideal der Gruppe $G$ betrachtet als $\mathbb {Z}$-Modul: $(h)=\operatorname {Ann} (G)$. Dann ist jedes Gruppenelement aus $G$ Nullstelle des Polynoms $X^{h}-1$. Da dieses Polynom (schon in einem Integritätsring, also erst recht in einem Körper) einerseits höchstens $h$ Nullstellen besitzt, andererseits der Exponent $h$ ein Teiler der Gruppenordnung $n:=(G:1)\in (h)$ ist, folgt die Gleichheit: $n:=(G:1)\leq h|n$, also $h=n$. Vor dem Hintergrund der Elementarteilertheorie ist dies gerade das Kriterium ($\operatorname {char} M=\operatorname {ann} M$) für die Zyklizität.

Ohne Berufung auf den Elementarteilersatz und sein Kriterium für Zyklizität kann der Beweis auf folgende Weisen zu Ende geführt werden. Dazu vergegenwärtige man sich zunächst, dass obige Überlegung natürlich auch auf jede Untergruppe $U<G$ zutrifft: Die Gruppenordnung $(U:1)$ stimmt mit dem Annullator (Exponent) der abelschen Gruppe (betrachtet als Modul über $\mathbb {Z}$) überein.

1. Nachvollzug der Primärzerlegung: Zerlege $h=\prod _{i}p_{i}^{v_{i}}$ in Primfaktoren, setze $h_{i}:={\frac {h}{p_{i}}}$ und finde $x_{i}\in G$ mit $x_{i}^{h_{i}}\neq 1$. Das ist möglich, weil $X^{h_{i}}-1$ nicht mehr als $h_{i}$ Nullstellen haben kann. Für $y_{i}:=x_{i}^{\frac {h}{p_{i}^{v_{i}}}}$ gilt somit $(\langle y_{i}\rangle :1)=:\operatorname {ord} y_{i}=p_{i}^{v_{i}}$, denn $y_{i}^{p_{i}^{v_{i}-1}}=x_{i}^{h_{i}}\neq 1=x_{i}^{h}=y_{i}^{p_{i}^{v_{i}}}$. Für das Produkt $y:=\prod _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}$ gilt nun: $\operatorname {ord} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ord} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ord} y_{i}=h.$ – Tatsächlich erhält man auf diese Weise die Primärzerlegung der Gruppe $G$ in $p_{i}$-primäre Torsionsmoduln: $G=\bigoplus _{i}\langle y_{i}\rangle \cong \bigoplus _{i}\mathbb {Z} /(p_{i}^{v_{i}})$ – Für die beiden folgenden Beweise genügt als Voraussetzung über die Gruppe $G$: Zu jedem Teiler $d|n:=(G:1)$ enthält die Untergruppe (!) $U:=\{x\in G\,|\,x^{d}=1\}$ höchstens $d$ Elemente. Es bezeichne $f(m):=\#\{x\in G|\operatorname {ord} x=m\}$.
2. Nutzung der Möbiussche Umkehrformel: Für Teiler $d|n:=(G:1)$ der Gruppenordnung gibt dann die Summe $F(d):=\sum _{m|d}f(m)$ die Anzahl der Nullstellen von $X^{d}-1$ in $G$ an. Dabei ist $F(d)=d$, denn das Polynom $X^{n}-1$ zerfällt schon in der betrachteten Gruppe $G$ in Linearfaktoren $\prod _{x\in G}(X-x)$, also auch seine Polynomteiler $X^{d}-1|X^{n}-1$. Nach der Möbiusschen Umkehrformel ist also $f(m)=\sum _{d|m}F({\frac {m}{d}})\mu (d)=\sum _{d|m}{\frac {m}{d}}\mu (d)=\varphi (m)$, was für $m=n$ zu zeigen war. – Der strukturelle Hintergrund dieser Argumentation tritt deutlicher hervor (und die Möbiussche Umkehrformel in den Hintergrund), wenn man die Reihenfolge der Argumente ändert und dazu die zahlentheoretische Funktion $f$ gleich mit Hilfe der Eulerschen Phi-Funktion notiert, wie in der folgenden Argumentation:
3. Nachweis, dass die Kette der Elementarteiler die Länge 1 hat: Für eine endliche abelsche Gruppe $G$ der Ordnung $n:=(G:1)$ bezeichne $\kappa _{G}(d)$ die Anzahl ihrer zyklischen Untergruppen der Ordnung $d$. Da jedes Element von $G$ eine zyklische Gruppe erzeugt, deren Ordnung $d$ ein Teiler von $n$ ist und die genau $\varphi (d)$ (Eulersche Phi-Funktion) erzeugende Elemente enthält, gilt $f(d)=\kappa _{G}(d)\varphi (d)$ für jeden Teiler $d|n$, und durch Summation erhält man $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)$. Wenn es sich bei $G$ um eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines Körpers handelt, so ist $\kappa _{G}(d)\in \{0,1\}$, d. h., es kann zu einem Teiler $d|n$ höchstens eine solche zyklische Untergruppe geben, da $X^{d}-1$ höchstens $d$ Nullstellen hat. Also folgt in diesem Falle $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)\leq \sum _{d|n}\varphi (d)=n$, mithin $\forall d|n\colon \kappa _{G}(d)=1$, was für $d=n$ zu zeigen war.

Dabei wurde die Summationsformel $\sum _{d|n}\varphi (d)=n$ benutzt: Ihr elementarer Beweis enthält also im Kern ein Kriterium für die Zyklizität einer endlichen abelschen Gruppen der Ordnung $n$: Gibt es zu jedem ihrer echten Teiler $d|n$ genau eine zyklische Untergruppe dieser Ordnung, so ist sie selbst auch zyklisch (vgl. Frey). Ein anderer elementarer Beweis dieser Summationsformel nutzt hingegen die Möbiussche Umkehrformel (siehe Vinogradov). – Wendet man die Möbiussche Umkehrformel auf die obige Gleichung $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)$ an, so erhält man $\kappa _{G}(n)\cdot \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}$. Zusammen mit $\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=\varphi (n)$ ergibt sich $\kappa _{G}(n)=1$.

Es ist hiermit zugleich erneut (ohne Nutzung der Elementarteilertheorie) der allgemeine Satz gezeigt: Verfügt eine endliche Gruppe der Ordnung $n$ zu jedem Teiler $d|n$ über höchstens $d$ Elemente mit $X^{d}=1$, so ist sie zyklisch.

Beispiele hierfür sind die folgenden Anwendungen:

Existenz primitiver Einheitswurzeln

Angewandt auf die Untergruppe $\mu _{n}$ der $n$-ten Einheitswurzeln, falls $\operatorname {Char} K\not |\;n$, d. h., falls $n\cdot 1_{K}\neq 0_{K}$: Es gibt $\varphi (n)$ primitive Einheitswurzeln. Hierbei wird benutzt, dass $X^{n}-1$ separabel ist. Dabei beachte, dass die Polynome $X^{n}-1$ und $X^{p^{k}n}-1=(X^{n})^{p^{k}}-1^{p^{k}}=(X^{n}-1)^{p^{k}}$ aus dem Polynomring $K[X]$ für $\operatorname {Char} K=:p\not |\;n$ dieselben Nullstellen haben, mit dem einzigen Unterschied, dass es für das zweite Polynom $p^{k}$-fache Nullstellen sind.

Existenz von Primitivwurzeln (modulo p)

Speziell für die Einheitengruppen endlicher Primkörper $K=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$ ergibt sich der Satz über die Existenz von Primitivwurzeln modulo $p$, wobei $n=p-1$ zu setzen ist.

Moduln über R = K: Vektorräume, Dimension und Rang als Invarianten

Im Falle eines Körpers als Hauptidealring erhält man bekannte Ergebnisse aus der linearen Algebra:

• die Klassifikation von Vektorräumen durch ihre Dimension und
• die Klassifikation quadratischer Matrizen (bzw. von Vektorraum-Endomorphismen) durch ihren Rang.

Denn: Körper sind Hauptidealringe mit nur zwei Idealen: Da ein Körper $K=\{0\}\;{\stackrel {\bullet }{\cup }}\;K^{*}$ neben der Null nur Einheiten enthält, sind die beiden trivialen Ideale $(0)$ und $(1)=K$ die einzigen Ideale. Das Nullideal ist maximal und Primideal. Als Elementarteiler ist nur die Null von Interesse und liefert nach der Strukturversion einen eindimensionalen freien Anteil. Ein endlich erzeugter Vektorraum über $K$ ist also durch den Rang des freien Anteils bis auf Isomorphie gekennzeichnet, und dieser heißt bekanntlich die Dimension des Vektorraums.

Die Basisversion liefert den bekannten Basisergänzungssatz.

Die Homomorphismusversion liefert für eine $K$-lineare Abbildung $T:V\to W$ die bekannte Beziehung $\dim \ker f+\dim \operatorname {bild} f=\dim V$.

Für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n,K)$ liefert die Matrixversion des Elementarteilersatzes eine Äquivalenzrelation der Assoziiertheit:

$A\sim B:\Longleftrightarrow \exists Q,P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon A=QBP$

Die Äquivalenzklassen sind gekennzeichnet durch den Rang einer Matrix, das heißt es sind äquivalent:

• $A\sim B$
• $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B$

Repräsentanten für die Äquivalenzklassen sind Matrizen mit lauter Nullen und genau $\operatorname {rang} A$ Einsen in der Hauptdiagonale:

$A\sim {\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

Die Äquivalenzklassen von Matrizen $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)=:\mathbf {R}$ gleichen Ranges sind sehr groß. Das spiegelt sich darin wider, dass die Elementarteiler für Körper $R=K$ trivial (1 oder 0) sind und die Äquivalenzklassen „nur“ Ergebnisse aus der linearen Algebra zurückliefern, nämlich die Klassifikation endlichdimensionaler Vektorräume durch ihre Dimension.

Interessanter ist in diesem Falle eine feinere Klassifikation, welche von der Äquivalenzrelation der Ähnlichkeit geliefert wird:

$A\approx B:\Longleftrightarrow \exists P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon A=PBP^{-1}$.

Ähnliche Matrizen stellen bekanntlich denselben Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen dar.

Ein Licht auf die Ähnlichkeitsklassen wird bemerkenswerterweise durch die nun folgende Anwendung $R=K[X]$ geworfen. Dies ist vor allem der Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium) zu danken. Aus diesem Grund versteht man in der Regel – in abkürzender Sprechweise – unter den Elementarteilern einer Matrix $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)=:\mathbf {R}$ nicht die obigen trivialen Elementarteiler (nur Einsen und Nullen), sondern die Elementarteiler der zugehörigen so genannten charakteristischen Matrix $A-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\mathbf {R} [X]$: Diese sind also Polynome aus dem Polynomring $K[X]$, einem Hauptidealring. Sie sind nicht a priori trivial und enthalten tieferliegende Information über die Matrix $A$. Dies ist Gegenstand der nun folgenden Anwendung.

Torsionsmoduln über R = K[X]: Zerlegung quadratischer Matrizen und von Vektorraum-Endomorphismen

Wählt man als Hauptidealring $R$ die Polynomalgebra $R=K[X]$ über einem Körper $K$, so liefert die Strukturversion des Elementarteilersatzes – angewandt auf endlich erzeugte Torsionsmoduln – strukturelle Erkenntnisse über einen $K$-Vektorraum $V$ endlicher Dimension $n:=\dim V$ und seine Endomorphismen: Denn ein endlich erzeugter $K[X]$-Torsionsmodul $V$ ist ein Vektorraum endlicher Dimension über $K$ mit einem ausgezeichneten Endomorphismus $V\to V\colon v\mapsto X\cdot v$. Umgekehrt induziert jeder Endomorphismus $f$ auf einem $K$ Vektorraum $V$ auf diesem eine Struktur als $K[X]$-Modul durch $X\cdot v:=f(v)$. Die Struktur eines endlich erzeugten $K[X]$-Moduls $V$ zu beschreiben, heißt also, die Struktur des $K$ Vektorraumes $V$ in Bezug auf den Endomorphismus $v\mapsto X\cdot v$ zu beschreiben.

In dieser Perspektive besagt der Satz von Cayley-Hamilton, dass der charakteristische Divisor (das charakteristischen Polynom) eines Endomorphismus (bzw. einer Matrix) ein Vielfaches des zugehörigen Annullatorideals (des Minimalpolynoms) ist und daher ebenfalls den Endomorphismus (die Matrix) annulliert.

Dabei hat das Minimalpolynom $\mu _{f}(X)=\epsilon _{r}(X)$ den höchsten Grad in der Kette der Elementarteiler $\varepsilon _{i}(X)|\varepsilon _{i+1}(X)$ aus $R=K[X]$, annulliert daher den gesamten Raum und ist it dieser Eigenschaft von minimalem Grad. Das Produkt $\prod _{i=1}^{r}\varepsilon _{i}(X)$ der Elementarteiler gerade das charakteristische Polynom $\chi _{f}(X)$ vom Grad $\deg \chi _{f}(X)=\dim _{K}V$ ist. Zu jedem Elementarteiler $\varepsilon _{i}(X)$ gehört ein zyklischer $K[X]$-Untermodul des $K[X]$-Moduls $V$: Dies sind also $f$-invariante $K$-Unterräume $V_{i}$ des Vektorraumes $V$, die dadurch gekennzeichnet sind, dass sie als $K[X]$-Moduln zyklisch sind: Minimalpolynom $\mu _{i}(X):=\mu _{f|_{V_{i}}}(X)$ und charakteristisches Polynom $\chi _{i}(X):=\chi _{f|_{V_{i}}}(X)$ der auf $V_{i}$ eingeschränkten Abbildung $f|_{V_{i}}$ sind also gleich $\varepsilon _{i}(X)$ und haben den Grad $\deg \mu _{i}(X)=\deg \chi _{i}(X)=\deg \varepsilon _{i}(X)=\dim _{K}V_{i}=:n_{i}$. Dabei ist die Summe $\sum _{i=1}^{r}n_{i}=\deg \chi (X)=\dim _{K}V=n$.

Die Darstellungsmatrix derartiger zyklischer Endomorphismen ist (bei geeigneter Basiswahl) die Frobeniussche Begleitmatrix zum Polynom $\mu _{i}(X)=\chi _{i}(X)$.

Hat man zuvor die Primärzerlegung des $K[X]$-Moduls $V$ in seine Primärkomponenten $V_{p}$ vorgenommen, so lässt sich (ohne Einschränkung der Allgemeinheit also) annehmen, dass jedes $\mu _{i}=\chi _{i}=\varepsilon _{i}$ eine Potenz $\mu _{i}(X)=p_{i}(X)^{m_{i}}$ eines irreduzible Polynoms $p_{i}(X)$ ist.

Wenn ein Elementarteiler $\mu _{i}(X)=\chi _{i}(X)=(X-\alpha _{i})^{n_{i}}\in K[X]$ Potenz eines Linearpolynoms ist, so handelt sich beim zugehörigen Teilraum $V_{i}$ um den Hauptraum zum Eigenwert $\alpha _{i}$ von der Dimension $\dim V_{i}=n_{i}$. Ist dabei $n_{i}=1$, so ist es der Eigenraum zum Eigenwert $\alpha _{i}$, denn es gilt für jedes $v\in V_{i}$: $X\cdot v=f(v)=\alpha _{i}\cdot v$, mit anderen Worten: $V_{i}=\ker(f-\alpha _{i})$. <STIMMT NOCH NICHT GANZ. Algebraische und geometrische Vielfachheit unterscheiden ...>

Ist $K$ algebraisch abgeschlossen, so ist jedes irreduzible Polynom linear.

Dieser Endomorphismus $v\mapsto X\cdot v=f(v)$ wird – nach Wahl einer willkürlich gewählten Basis – durch eine quadratische Matrix dargestellt. So spiegeln sich die strukturellen Einsichten in dieser Matrix wider. Dabei wird die Wahl einer anderen Basis eine ähnliche Darstellungsmatrix liefern, also aus derselben Ähnlichkeitsklasse.

So wird sich die Strukturversion des Elementarteilersatzes in Ähnlichkeitsklassen von Matrizen widerspiegeln, die in der Diagonalen aus Frobeniusschen Begleitmatrizen bestehen.

Nun betrachtet die Matrixversion des Elementarteilersatzes eine Klassifikation der quadratischer Matrizen $A(X),B(X)\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ durch die Äquivalenzrelation der arithmetischen Äquivalenz („$\sim$“):

$A(X)\sim B(X):\Longleftrightarrow \exists P(X),Q(X)\in \operatorname {GL} (n,K[X])\colon A(X)=P(X)B(X)Q(X)$.

Der Satz von Frobenius erkennt nun einen wichtigen Zusammenhang zwischen der Ähnlichkeit von Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ und der arithmetischen Äquivalenz der zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\mathbf {R} [X]$: Er besagt nämlich, dass die Ähnlichkeit zweier Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ gleichbedeutend mit der arithmetischen Äquivalenz der zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\operatorname {Mat} (n\times n,K)[X]$ ist. Die beiden folgenden Aussagen sind nach diesem Satz (bzw. der Definition arithmetischer Äquivalenz) äquivalent:

• $A\approx B$
• $\exists P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon AP=PB$.
• $A-XE\sim B-XE$
• $\exists P,Q\in \operatorname {GL} (n,K[X])\colon AQ=PB$

Die Determinante der charakteristischen Matrix $A-XE$ heißt charakteristisches Polynom der Matrix $A$ und hängt also nur von ihrer Ähnlichkeitsklasse ab. Die Zerlegung des charakteristischen Polynoms in irreduzible Faktoren liefert die Primärzerlegung und birgt aus Sicht des Elementarteilersatzes die Zerlegung in zyklische Unterräume.

Nullstellen $\alpha$ des charakteristischen Polynoms sind Eigenwerte, weil für sie die Matrix $A-\alpha E$ nicht regulär ist, die dargestellte Abbildung also einen nicht verschwindenden Kern hat: Dieser besteht aus Eigenwerten zu $\alpha$.

Basisversion: <text text>

Homomomorphismen von Moduln über Polynomringen

Es seien $V$ ein (endlich erzeugter) Modul über dem Polynomring $K[X]$ und $W$ ein (endlich erzeugter) Modul über dem Polynomring $K[Y]$. Die Unterscheidung der beiden Unbestimmten $X$ und $Y$ dient nur der augenfälligen Unterscheidung der beiden Endomorphismen $V\to V,\,v\mapsto X\cdot v$ und $W\to W,\,w\mapsto Y\cdot w$.

Ein Homomomorphismus $T\colon V\to W$ ist offenbar ein $K$-Vektorraum-Homomorphismus $V\to W$ mit der Eigenschaft $T(X\cdot v)=Y\cdot T(v)$, also auch $T(X^{i}\cdot v)=Y^{i}\cdot T(v)$ und folglich $T(f(X)\cdot v)=f(Y)\cdot T(v)$.

Sind $V,W$ als $K$-Vektorräume gleich, so ist ein Homomorphismus $T\colon \sideset {_{K[X]}}{}{V}\to \sideset {_{K[Y]}}{}{V}$ als ein Endomorphismus der $K$-Vektorräume zu verstehen, der die Eigenschaft hat: $T(X\cdot v)=Y\cdot T(v)$. Im Falle von $X=Y$ (soll heißen: gleicher Abbildung $X\cdot v=Y\cdot v$ für alle $v\in V$) ist also $T$ mit $X$ vertauschbar: Beide sind vertauschbare $K$-Vektorraumhomomorphismen auf $V$. Ein $K[X]$-Endomorphismus auf $V$ ist also ein $K$-linearer Endomorphismus auf $V$ der mit einem anderen (nämlich dem durch $X$ induzierten) vertauschbar ist. Die Vertauschbarkeit zweierEndomorphismen lässt sich also in der Sprache von $K[X]$-Endomorphismen beschreiben.

Homomorphismusversion: <text text>

Existenz einer Normalbasis für zyklische Körpererweiterungen

Endliche Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis. Der Beweis für den Fall einer zyklischen Galoiserweiterung $L/K$ ergibt sich als Folge der Theorie von Moduln über euklidischen oder allgemeiner Hauptidealringen. Die Argumentation ist analog derjenigen zum Beweis, dass endliche Untergruppen der Einheitengruppen von Körpern zyklisch sind. Als wesentliches Argument tritt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind an die wesentliche Stelle des Satzes über die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms. Der Beweis ist beim Zeichen „◀“ erbracht, wenn das Zyklizitätskriterium genutzt werden kann. Wenn es nicht genutzt werden soll, so kann der Beweis durch Primärzerlegung zu Ende geführt werden, wie nach dem Zeichen dargestellt.

Beweis, dass Länge der Elementarteilerkette gleich 1: Gegenüberstellung der Beweisführungen

Satz: Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers sind zyklisch.	Satz: Zyklische Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis.
Voraussetzungen: Es sei $U<K^{\times }$ endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers. Es sei $n:=(U:1)$, so dass nach dem Satz von Lagrange $x\in U\Rightarrow x^{n}=1$. Also ist der Annullator (Exponent) $h:=\operatorname {ann} (U):=\operatorname {min} \{k\geq 1|\forall x\in K:x^{k}-1=0\}$ ein Teiler von $n$.	Voraussetzungen: Es sei $L/K$ eine zyklische Erweiterung vom Grade $[L:K]=n$ mit Galoisgruppe $G=G(L/K)$, so dass $(G:1)=n$ und $K=L^{\sigma }=L^{G}$ für ein $\sigma \in G$ mit $G=\langle \sigma \rangle$ und $\operatorname {ord} \sigma =n$. Es gilt dann $\sigma ^{n}=1$. Also ist das Minimalpolynom $\mu _{\sigma }(X)$ von $\sigma$ ein Teiler von $X^{n}-1$, mithin $\deg \mu _{\sigma }\leq n$.
Andererseits liefert der Satz über die Anzahl von Nullstellen die umgekehrte Implikation, also die Gleichheit von Annullator und Ordnung der Gruppe $U$: $h=n$.	Andererseits liefert der Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Umkehrung: $(G:1)\leq \deg \mu _{\sigma }$. Also gilt die Gleichheit $\deg \mu _{\sigma }(X)=n=(G:1)=\dim _{K}L$, mithin sind Minimal- und charakteristisches Polynom gleich, nämlich $\mu _{\sigma }(X)=X^{n}-1=\chi _{\sigma }(X)$.
Also ist $U$ zyklisch über $\mathbb {Z}$, das heißt es gibt ein $x\in U$ mit $U=x^{\mathbb {Z} }$. ◀	Also ist $L$ zyklisch als Modul über dem Hauptidealring $K[X]$ bezogen auf $\sigma$ mit $X^{n}-1$ als Minimalpolynom. Das heißt, es gibt ein $y\in L$ mit $L=K[X]\cdot y=\bigoplus _{i=0}^{n-1}K\cdot \sigma ^{i}(y)$. Damit ist die gesuchte Normalbasis gefunden. ◀
Wenn die Gleichheit von Annullator (Exponent) und charakteristischem Divisor (Ordnung) als Kriterium für Zyklizität nicht zur Verfügung stehen, kann der Beweis durch Primärzerlegung wie folgt zu Ende geführt werden.	Wenn die Gleichheit von Annullator (Minimalpolynom) und charakteristischem Divisor (Charakeristischem Polynom) als Kriterium für Zyklizität nicht zur Verfügung stehen, kann der Beweis durch Primärzerlegung wie folgt zu Ende geführt werden.
Zerlege $n=h=\prod _{i}p_{i}^{v_{i}}$ in Primfaktoren, setze $h_{i}:={\frac {h}{p_{i}}}$ und finde $x_{i}\in U$ mit $x_{i}^{h_{i}}\neq 1$. Das ist möglich, weil $X^{h_{i}}-1$ nicht mehr als $h_{i}$ Nullstellen haben kann, aber $h_{i}<h=n=(U:1)$.	Zerlege $\mu (X)=\prod _{i}p_{i}(X)^{v_{i}}$ in irreduzible Faktoren, setze $\mu _{i}:={\frac {\mu (X)}{p_{i}(X)}}$ und finde $x_{i}\in L$ mit $\mu _{i}\cdot x_{i}\neq 0$ für jedes $i$. Das ist möglich, weil $\deg \mu _{i}<\deg \mu =\operatorname {ord} \sigma$.
Für die Ordnung $\operatorname {ord} y_{i}:=(\langle y_{i}\rangle :1)$ von $y_{i}:=x_{i}^{\frac {h}{p_{i}^{v_{i}}}}$ gilt somit $\operatorname {ord} y_{i}=p_{i}^{v_{i}}$, denn $y_{i}^{p_{i}^{v_{i}-1}}=x_{i}^{h_{i}}\neq 1=x_{i}^{h}=y_{i}^{p_{i}^{v_{i}}}$.	Für das Minimalpolynom $\mu _{y_{i}}(X)$ von $y_{i}:={\frac {\mu (X)}{p_{i}(X)^{v_{i}}}}\cdot x_{i}$ gilt somit $\mu _{y_{i}}(X)=p_{i}(X)^{v_{i}}$, denn ${p_{i}(X)^{v_{i}-1}}\cdot y_{i}=\mu _{i}\cdot x_{i}\neq 0=\mu \cdot x_{i}=p_{i}(X)^{v_{i}}\cdot y_{i}$
Für das Produkt $y:=\prod _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}$ gilt nun $\operatorname {ord} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ord} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ord} y_{i}=h=n\,.$	Für die Summe $y:=\sum _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}\in L$ gilt nun $\operatorname {ann} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ann} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ann} y_{i}=\mu (X)\,.$
Also ist $\mathbb {Z} \to U,\,k\mapsto y^{k}$ surjektiv mit Kern $(h)=(n)$, d. h. $U=\{y^{i}|i=0,\dots ,h-1\}$.	Also ist $K[X]\to L,\,f(X)\mapsto f(X)\cdot y$ surjektiv mit Kern $\mu (X)=X^{n}-1$, d. h. $L=\bigoplus _{i=0}^{n-1}K\sigma ^{i}(y)$.

Hintergrund: Diese Polynomalgebra $R:=K[X]$ ist ein euklidischer Ring, also ein Hauptidealring. Für das charakteristische Ideal $\operatorname {Char} L$ des $R$-Moduls $L$ gilt im Allgemeinen: $\operatorname {Ann} L{\big \vert }\operatorname {Char} L$. Nun wurde sogar gezeigt: $\operatorname {Char} L=\operatorname {Ann} L$. Diese Bedingung ist gleichwertig damit, dass die Länge der Elementarteilerkette des Moduls $L$ über $R$ gleich $1$ ist. Dies aber bedeutet, dass der Modul zyklisch ist.

Da endliche Galois-Erweiterungen endlicher Körper zyklisch sind, ist damit der Fall endlicher Körper erledigt: Endliche Erweiterungen von Galois-Feldern besitzen eine Normalbasis.

Für endliche nicht-zyklische Erweiterungen, die notwendig unendliche Grundkörper besitzen, wird der Beweis auf andere Weise geführt.

Rekursive Folgen

Die Polynomalgebra $K[X]$ über dem Körper einem $K$ operiert auf dem Modul aller Folgen $f\colon \mathbb {N} \to K$ (auch als $(f_{i})$ mit $f_{i}:=f(i)$ notiert) durch punktweise Multiplikation mit einem $x\in K$ und durch $(X\cdot f)(i):=f(i+1)$ für jedes $i\geq 0$.

Für eine Folge $f$ sind dann offensichtlich äquivalent:

• $f$ erfüllt die Rekursionsgleichung $f_{n+k}:=x_{0}\cdot f_{n}+x_{1}\cdot f_{n+1}+\dots x_{k-1}\cdot f_{n+k-1}$
• $f$ wird vom Polynom $\mu _{f}=X^{k}-x_{k-1}X^{k-1}-\dots -x_{0}$ annulliert.

Das minimale Polynom, welches eine Folge $f$ annulliert, heißt minimales Rekursionspolynom $\mu _{f}(X)$ und ist zugleich Minimal- und charakteristisches Polynom des zyklischen Folgenraumes $K[X]\cdot f$, welcher über $K$ die Dimension $k$: Dies ist der Freiheitsgrad, der bei der Festlegung der ersten $k$ Folgenglieder $f_{0},\dots f_{k-1}$ besteht. Die nachfolgenden Glieder sind durch die Rekursion festgelegt.

Beispielsweise wird die Fibonacci-Folge vom Polynom $X^{2}-X-1$ annulliert, dessen positive Nullstelle gerade der goldene Schnitt (aurea divisio) ist: $x^{2}-x-1=0\Leftrightarrow x(x-1)=1\Leftrightarrow x:1=1:(x-1)$.

Kein Zufall, dass in der Fibonacci-Folge auch die Nullstellen dieses Polynoms schlummern, nämlich in Gestalt der Formel von Moivre-Binet.

Für ein über $K$ zerfallendes Rekursionspolynom $f(X)=\prod _{i}(X-\alpha _{i})\in K[X]$ besitzt diese Formel eine Verallgemeinerung in Abhängigkeit von ihren Wurzeln $\alpha _{i}\,(i=1,\dots ,\deg f)$.

Partialbruchzerlegung

Es sei $R$ ein Hauptidealring und $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper, betrachtet als $R$-Modul, so dass sich der Faktormodul $K/R$ bilden lässt. Dieser ist ein $R$-Modul. Allerdings ist er nicht endlich erzeugt.

Literatur

• Bartel Leendert van der Waerden
• Serge Lang

Originalarbeiten

Für den Elementarteilersatz sind folgende Originalarbeiten von Georg Frobenius zu nennen:

• Ferdinand Georg Frobenius: „Über lineare Substitutionen und bilineare Formen“, Crelles Journal, Band 84, 1878, Seiten 1-63. Darin § 6 (Aequivalenz), Abschnitt 2, Seite 21 und § 7 (Ähnlichkeit). Frobenius verweist auf Ergebnisse von Weierstraß und Kronecker in: Monatsberichte der Berliner Akademie des Wisssenschaften 1868 und 1874), die jedoch mit aufwendigeren Beweisen erzielt wurden.
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 146-208. (datiert: Zürich, April 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius und Ludwig Stickelberger: „Über Gruppen von vertauschbaren Elementen“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 217-262. (datiert: Zürich, Juli 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten (Forts.)“, Crelles Journal, Band 88, 1880, Seiten 96-116. (datiert: Zürich, Januar 1879).

Im genannten Band 86, Seite 147, verweist Frobenius auf folgende Arbeiten:

• Karl Weierstraß: „Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen“, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monatsberichte Berlin, „B.M.“), Sitzung vom 18. Mai 1868.
• Leopold Kronecker: ebenda, 1874.
• Camille Jordan, Comptes rendus 1871, II. sém, p. 787
• Camille Jordan, Liouv. Journ. 1874, p. 35.
• Gaston Darboux, Liouv. Journ. 1874, p. 347.
• Meyer Hamburger: „Bemerkung über die Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten“ Crelles Journal, Bd. 76, 1873, S. 113-125. (Berlin, Februar 1873)

Ferner verweist Frobenius auf Arbeiten von „Herrn Smith“, die ihm erst nach Vollendung seiner Arbeit zu Gesicht gekommen seien:

• Henry John Stephen Smith: „On Systems of Linear Indeterminate Equations and Congruences“, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (Phil. Trans.) vol. 151, p. 293. (siehe auch [2])
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes I: On the Arithmetical Invariants of a Rectangular Matrix, of which the Constituents are Integral Numbers“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 236.
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes II: On Systems of Linear Congruences“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 241.

Laut Meyer Hamburger (loc. cit., Seite 124), war es Karl Weierstraß, der in der zitierten Arbeit B.M. 1868 die Definition der Elementartheiler eingeführt hat, siehe auch Karl Weierstraß.

Kummersche Erweiterungen

Artikel: Kummertheorie

• Verbindung zur Lagrange-Resolvente, Noethersche Gleichung, Hilbert 90
• Galois-Resolvente Heinrich Weber, Algebra, §152.

Eisenstein-Kriterium

Schönemann: Crelle Bd 32. Eisenstein: Crelle Bd 39. Siehe Arbeit dazu von David Cox!

Symmetrische Polynome

Zum einschlägigen Artikel: Zwei Beweise zum Hauptsatz über symmetrische Polynome $A[X_{1},\dots ,X_{n}]^{S_{n}}=A[\sigma _{k}^{(n)},k=1,\dots ,n]$:

• mit Hilfe Induktion nach der Ordnung symmetrischer Polynome gemäß einem Grundgedanken von E. Waring (Meditationes algebraicae) und der Fortentwicklung von Gauß (Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factorem realis primi vel secundi gradus resolvi posse, Werke Band III, S. 36 (oder Seite 31?)) oder
• mit Hilfe von Induktion nach dem Symmetriegrad (Cauchy Exercices de mathématiques, 4ème année).

Elementarsymmetrische Polynome

(früher: Symmetrische Grundfunktionen bzw. -polynome)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.

Für den Symmetriegrad $n\geq 1$ sei $N_{n}:=\{1,\dots ,n\}$, und für eine Teilmenge $I\subset N_{n}$ bezeichne $|I|:=\#I$ die Anzahl der Elemente. Die elementarsymmetrischen Polynome zum Symmetriegrad $n$ vom homogenen (Total-)Grad $k\geq 0$ sind definiert als $\sigma _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{I\subset N_{n} \atop |I|=k}\prod _{i\in I}X_{i}\in R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}2]$.

Die Anzahl der Summanden (Monome) ist demnach gleich $\#\left\{I\;|\;I\subset N_{n}\land |I|=k\right\}={\binom {n}{k}}$, also insbesondere gleich $1$ für $k\in \{0,n\}$.

Das Polynom $\sigma _{n}^{(n)}=X_{1}\cdots X_{n}$ ist $n$-stufig multilinear, d. h. linear in jeder der $n$ Unbestimmten und folglich homogen vom Grade $n$. Die übrigen elementarsymmetrischen Polynome $\sigma _{k}^{(n)}$ sind ebenfalls homogen vom Grade $k$, aber nicht multilinear.

In $R[X_{1},\dots ,X_{n}][X]$ gilt $\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i})=\sum _{i=0}^{n}\,(-1)^{i}\sigma {(n)}_{i}X^{n-i}$. Von besonderem Interesse sind dabei $\sigma _{1}^{(n)}=X_{1}+\cdots +X_{n}$ (Spur) und $\sigma _{n}^{(n)}=X_{1}\cdots X_{n}$ (Norm).

Für $k=0$ erhält man also das leere Produkt gebildet über der leeren Indexmenge $I=\emptyset$, mithin das konstante Einspolynom $\sigma _{0}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n})=1$.

Für $k>n$ liefert dies die leere Summe, also das Nullpolynom: $\sigma _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n})=0$.

Potenzsummen

$\pi _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$. Für $k=0$ liefert dies das konstante Polynom $\pi _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n$.

Potenzproduktsummen

Nach Perron, Seite 157.

Newtonsche Formeln

Siehe Aufgabe bei v. d. Waerden, Hasse/Klobe. Siehe Text bei Perron, Weber, etc.pp.

Bemerkung 1: Elemetarsymmetrische Polynome und Potenzsummen sind algebraisch abhängig, denn für $N\geq 0$ gilt:

$\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}\sigma _{k}^{(n)}\pi _{N-k}=0$.

Für $N>n$ verschwinden einige Glieder der Summe, so dass diese sich zu $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma _{k}^{(n)}\pi _{N-k}=0$ verkürzt.

Hauptsatz für symmetrische Polynome

Siehe van der Waerden (nach Waring und Gauß) Lang (nach Cauchy), Weber (beide Beweismethoden) und Perron (vier Beweise) etc.pp.

Oder Beweis nach Furtwängler: Hasse, HA, Aufgabensammlung: 2.V.§23, Aufgabe 3, Seite 175.

Oder als Folge der Galois-Theorie.

Zyklante oder Zirkulante

Verbindung zu Matrixkriterium für Normalbasis. Die Zyklante müsste ein neues Licht auf den zyklischen Fall einer Normalbasis werfen oder aber deutlich machen, weshalb der Artinsche Beweis im zyklischen Falle endlicher Körper nicht gelingt.

Hasse/Klobe: Aufgaben zur Zyklante.

Es bezeichne $K$ einen Körper. Betrachte die quadratische Matrix in den $n$ Unbestimmten $X_{i},\,i=0,\dots ,n-1$:

$Z(X_{0},X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1}):={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&X_{2}&\cdots &X_{n-3}&X_{n-2}&X_{n-1}\\X_{n-1}&X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n-4}&X_{n-3}&X_{n-2}\\X_{n-2}&X_{n-1}&X_{0}&\cdots &X_{n-5}&X_{n-4}&X_{n-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\X_{3}&X_{4}&X_{5}&\cdots &X_{0}&X_{1}&X_{2}\\X_{2}&X_{3}&X_{4}&\cdots &X_{n-1}&X_{0}&X_{1}\\X_{1}&X_{2}&X_{3}&\cdots &X_{n-2}&X_{n-1}&X_{0}\\\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1])=\operatorname {Mat} (n\times n,K)[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1]$

Durch Einsetzen von $X_{i}\mapsto 1\cdot \delta (i,0)\in K$ (Kronecker Delta) wird $Z(1,0,0,\cdots ,0)=E$ die Einheitsmatrix, während mit $X_{i}:=1\cdot \delta (i,k)\in K$ Matrizen $N_{k}\in \operatorname {GL} (n,K)$ entstehen, die Potenzen der ersten unter ihnen sind, das heißt: Mit $N:=N_{1}$ gilt also:

• $N_{k}=N^{k}=Z(0,\dots ,0,{\stackrel {k{\text{-te Stelle}} \atop \downarrow }{1}},0,\dots ,0)$,
• $N^{n}=E$,
• $\det N=(-1)^{n-1}$ (durch Entwicklung nach erster Spalte oder letzter Zeile) und daher
• $\det N^{k}=(-1)^{(n-1)k}$.

Die Matrix $N$ ist die Frobeniussche Begleitmatrix (bzw. ihre Transponierte) zum Polynom $X^{n}-1$: Ihr Minimal- und ihr charakteristisches Polynom sind gleich: $\chi _{N}(X)=X^{n}-1=\mu _{N}(X)\in K[X]$. Nullstellen dieses Polynoms sind die $n$-ten Einheitswurzeln über $K$, die im $n$-ten Kreisteilungskörper $K[\zeta _{n}]$ von $K$ liegen, gegebenenfalls schon in $K$ selbst. Dabei bezeichne $\zeta :=\zeta _{n}$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so dass ihre Potenzen die gesamte Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln ausschöpfen und die Gleichung $\prod _{i=0}^{n-1}(X-\zeta ^{i})=X^{n}-1=(X-1)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}X^{i}$ gilt.

Daraus folgt:

$\prod _{i=1}^{n-1}(\zeta ^{k}-\zeta ^{i})=\sum _{i=0}^{n-1}\zeta ^{ki}={\begin{cases}n\cdot 1_{K}\in K,&{\text{falls }}k\equiv 0{\bmod {n}},\\0\in K,&{\text{andernfalls.}}\end{cases}}$

Da $N$ zyklisch ist und die $n$ (nur für $n\not \equiv 0{\bmod {\operatorname {Char} }}K$ notwendig verschiedenen) Eigenwerte $\zeta ^{i}\;(i=0,\dots n-1)$ besitzt, ist $N$ zu einer Matrix in Diagonalgestalt $\operatorname {diag} (\zeta ^{0},\zeta ^{1},\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{n-1})$ ähnlich. Die Ähnlichkeitstransformation liefert (bis auf passende Normierung) die Vandermonde-Matrix

$V:=V(\zeta ^{0},\zeta ^{1},\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{n-1})={\begin{pmatrix}1&1&1^{2}&\cdots &1&1&1\\1&\zeta ^{1}&\zeta ^{1\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{1\cdot (n-3)}&\zeta ^{1\cdot (n-2)}&\zeta ^{1\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{2}&\zeta ^{2\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{2\cdot (n-3)}&\zeta ^{2\cdot (n-2)}&\zeta ^{2\cdot (n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\1&\zeta ^{n-3}&\zeta ^{(n-3)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-3)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-3)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{n-2}&\zeta ^{(n-2)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-2)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{n-1}&\zeta ^{(n-1)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-1)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-1)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-1)\cdot (n-1)}\end{pmatrix}}$, jedoch nur unter der Voraussetzung, dass eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: <Nachweis? Genügt Voraussetzung? n Primzahl?>

• $V\in \operatorname {GL} (n,K[\zeta ])$ (d.h., $V$ ist regulär).
• $\det V\neq 0$.
• Das Polynom $X^{n}-1$ hat genau $n$ paarweise verschiedene Nullstellen.
• Das Polynom $X^{n}-1$ hat in seinem Zerfällungskörper keine mehrfachen Nullstellen.
• Sein Zerfällungskörper ist separabel über $K$.
• Die Charakteristik $\operatorname {Char} K=:p$ geht nicht in $n$ auf.

In diesem Fall ist also

$N=Z(0,1,0,\dots ,0)={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0&0&0\\0&0&1&\cdots &0&0&0\\0&0&0&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&0&\cdots &0&0&1\\1&0&0&\cdots &0&0&0\\\end{pmatrix}}\approx VNV^{-1}={\begin{pmatrix}\zeta ^{0}&0&0&\cdots &0&0&0\\0&\zeta &0&\cdots &0&0&0\\0&0&\zeta ^{2}&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\zeta ^{n-3}&0&0\\0&0&0&\cdots &0&\zeta ^{n-2}&0\\0&0&0&\cdots &0&0&\zeta ^{n-1}\\\end{pmatrix}}$.

Auch auf diese Weise wird klar, dass $\det N=\prod _{i=0}^{n-1}\zeta ^{i}=\zeta ^{\frac {(n-1)n}{2}}=\left.{\begin{cases}(-1)^{n-1}{\text{, falls }}n{\text{ gerade,}}\\1^{\frac {n-1}{2}}{\text{, falls }}n{\text{ ungerade.}}\end{cases}}\right\}=(-1)^{n-1}$.

Mit dem Polynom $g(X)=\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot X^{k}\in K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1][X]$ gilt also $Z:=Z(X_{0},X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1})=g(N)\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1])$.

Nun gilt für jedes Polynom $f\in K[X]$ und für beliebige Matrizen $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ und $B\in \operatorname {GL} (n,K)$ die Beziehung: $B\cdot f(A)\cdot B^{-1}=f(BAB^{-1})$.

Die Eigenwerte ähnlicher Matrizen $A$ und $A'=BAB^{-1}$ stimmen überein und stehen (ohne Einschränkung) in der Hauptdiagonalen von $A'$. Für $i=1,\dots ,n$ seien $\alpha _{i}$ die Eigenwerte von $A$ (also mit Vielfachheit genannt), so sind daher $f(\alpha _{i})$ die Eigenwerte von $f(A)$, und es gilt $\det A=\prod _{i}\alpha _{i}$ und $\det f(A)=\prod _{i}f(\alpha _{i})$.

Die Zyklante $Z(X_{0},\dots ,X_{n-1})$ hat also die $n$ Eigenwerte $g(\zeta ^{i})=\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot \zeta ^{ik}\in K[X_{i},i=0,\dots ,n-1]$, und zwar für jedes $i\in \{0,\dots ,n-1\}$ einen.

Es ist also

${\begin{aligned}\det Z&=\det g(N)=\det g(VNV^{-1})\\&=\det g(\operatorname {diag} (\zeta ^{i},i=0,\dots ,1))=\prod _{i=0}^{n-1}g(\zeta ^{i})\\&=\prod _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot \zeta ^{ik}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(\prod _{i=0}^{n-1}\zeta ^{ik}\cdot X_{k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{(n-1)k}\cdot X_{k}^{n}\\&=\left.{\begin{cases}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}X_{k}^{n}{\text{, falls }}n{\text{ gerade, }}\\\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}^{n}{\text{, falls }}n{\text{ ungerade.}}\end{cases}}\right\}=\sum _{k=0}^{n-1}(\pm 1)^{k}X_{k}^{n}{\text{, wobei das }}\left.{\begin{cases}{\text{Pluszeichen, falls }}n{\text{ ungerade, }}\\{\text{Minuszeichen, falls }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}\right\}{\text{ zu wählen ist.}}\end{aligned}}$

Der Teiler $\sum X_{k}$ ist leicht zu erkennen, indem man zu einer ausgewählten Zeile alle übrigen addiert und diese nach Laplace entwickelt.

Die Beweise von Lang und Artin nutzen die Unendlichkeit des Grundkörpers, um die Existenz einer Nullstelle für das Determinantenpolynom der regulären Matrix $[X_{\sigma \tau }]_{\tau }^{\sigma }$ sicherzustellen.

Lässt sich die Existenz solcher Nullstellen auf bei endlichem Grundkörper unter bestimmten Voraussetzungen erzwingen? Wann genau schlägt die Argumentation mit dieser Matrix fehl?

Diese reguläre Matrix ist im Falle abelscher Erweiterungen symmetrisch und im Falle zyklischer Erweiterungen hängt sie mit der Zyklante zusammen. Dazu allerdings ist es besser, die reguläre Matrix $[X_{\sigma ^{-1}\tau }]_{\tau }^{\sigma }$ zu betrachten, die durch diejenige Permutation auf $G$ entsteht, welche die Inversion $\sigma \mapsto \sigma ^{-1}$ erzeugt. Auf diese Weise nämlich wechselt das Einselement $\sigma ^{0}$ von der Nebendiagonale in die Hauptdiagonale. Die Symmetrie besteht dann freilich zur Nebendiagonale, nicht zur Hauptdiagonale, die Matrix ist also eine persymmetrische Matrix:

${\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\cdots &\sigma ^{n-3}&\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}\\\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\cdots &\sigma ^{n-4}&\sigma ^{n-3}&\sigma ^{n-2}\\\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\cdots &\sigma ^{n-5}&\sigma ^{n-4}&\sigma ^{n-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\sigma ^{3}&\sigma ^{4}&\sigma ^{5}&\cdots &\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&\sigma ^{3}&\sigma ^{4}&\cdots &\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\sigma ^{1}\\\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}&\cdots &\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}&\sigma ^{n}(=\sigma ^{0})\end{pmatrix}}$

Fasst man, wie im Beweis von Serge Lang, die Automorphismen $\sigma ^{i}$ als Unbestimmte $X_{i}$ auf, so handelt es sich also um die Zyklante, deren Determinante oben unter der Voraussetzung berechnet wurde, dass für die Charakteristik des Körpers gilt: $\operatorname {Char} K=:p\not \mid n$.

Der kritische Fall

Der Beweis von Lang grundsätzlich auch für zyklische Erweiterungen, er gerät jedoch in Gefahr bei endlichem Grundkörper: Lässt sich dann eine Nullstelle in ihm finden? in diesem Fall ist die Charakteristik notwendig positiv: $p:=\operatorname {Char} K$.

Kritisch ist insbesondere der Fall $n=p^{r}$. Welche Gestalt hat dann die Determinante der Zyklante? Ist sie vom Nullpolynom verschieden, die Zyklante regulär? Nach obigen Formeln ist dann

• $\det N=1$ und $\det N^{p^{r}}=1$.
• $\det Z=\sum _{k=0}^{p^{r}-1}X_{k}^{p}=\left(\sum _{k=0}^{p^{r}-1}X_{k}\right)^{p^{r}}$,

da die Primzahl entweder ungerade ist oder aber bei $p=2$ die Gleichheit $1=-1$ besteht. Diese Formeln lassen sich im Übrigen auch direkt herleiten. Dabei ist $1\in K$ die einzige, also eine $p^{r}$-fache Nullstelle von $X^{p^{r}}-1$.

Zusammenhang der Beweise nach Lang und Artin

Zugleich enthüllt die Zyklante, wie Artins und Langs Beweis zusammenhängen: Das Lagrangesche Interpolationspolynom $p(X)=\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}X^{i}\in L[X]$ aus Artins Beweis ist nämlich die Lösungen des Ansatzes mit der Vandermonde-Matrix $V=V(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n-1})$, wenn für die Stützstellen die Konjugierten $\sigma (\alpha )=\alpha _{i}$ eines primitiven Elements $\alpha =\alpha _{0}$ mit Minimalpolynom $\mu (X)$ gewählt werden:

$V\cdot {\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n-2}\\p_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}$

und für die konjugierten Interpolationspolynome $\sigma (p(X))=:p^{\sigma }(X)=\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}^{\sigma }X^{i}$ entsprechend:

$V\cdot {\begin{pmatrix}p_{0}^{\sigma }\\p_{1}^{\sigma }\\\vdots \\p_{n-2}^{\sigma }\\p_{n-1}^{\sigma }\end{pmatrix}}={\big (}\delta (\sigma ,\tau {\big )}^{\tau \in G}$

wobei $V:=V(\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n-1})=V\left((\tau (\alpha ))^{\tau \in G}\right)={\big (}1,\alpha ^{1},\alpha ^{2},\cdots ,\alpha ^{n-3},\alpha ^{n-2},\alpha ^{n-1}{\big )}^{\tau \in G}={\big [}\tau (\alpha ^{i}){\big ]}_{0\leq i\leq n-1}^{\tau \in G}$

Für weitere interessante Dinge zur Zirkulante wie Fourier-Transformation etc. siehe den Artikel Zyklische Matrix.

Resultante

Siehe auch Oskar Perron, Algebra 1: $\deg \operatorname {ggT} (f,g)+\operatorname {Rang} (\operatorname {Sylvestermatrix(f,g)} )=\deg f+\deg g$. Für $\deg \operatorname {ggT} (f,g)>0$ folgt Resultantenkriterium. (Beweis von Perron in Sitzungsberichte der Bayer. Akademie 1928). $R(f,g)$ ist multiplikativ in beiden Argumenten, dazu mit Faktor $(-1)^{\deg f\cdot \deg g}$ (anti)symmetrisch.

Jacobson, Basic Algebra, Abschnitt 5.4 (Tarski).

Hasse/Klobe, HA2, 2.III.§11, Aufgabe 22 (elementarsymmetrische Funktionen), 23 (Resultante) und 24 (Determinantenkriterium) für $(f(X),g(X))=1$.

Diskriminante

Auch zur Diskriminante (und ihrer Normierung) vergleiche Perron.

Eine Diskriminante (lat.: discriminare, trennen, unterscheiden) ist eine Kennzahl, die einen mathematischen Untersuchungsgegenstand klassifiziert und damit eine hilfreiche Fallunterscheidung gestattet. Berühmt-berüchtigtes Beispiel ist der Diskriminante quadratischer Gleichungen $x^{2}+px+q=0$: An ihr lässt sich ablesen, ob die Gleichung genau zwei verschiedene reelle Lösungen $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ besitzt oder nur eine $x_{1}=x_{2}\in \mathbb {R}$ oder gar keine reelle Lösung (sondern komplexe Lösungen $x_{1},x_{2}\in \mathbb {C}$).

Diskriminante eines Polynoms

Diese obige elementare Beispiel zur Mitternachtsformel zeigt bereits Wesentliches: Ohne die Wurzeln (Lösungen) einer Gleichung zu kennen, möchte man anhand der Diskriminante Aussagen über die Lösungen treffen können: Sind sie paarweise voneinander verschieden oder fallen zwei in einer zusammen?

$f(X)=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+a_{1}X^{n-1}+\dots +a_{n-1}X+a_{n}\in K[X]$

Zerfällt das Polynom in einem Erweiterungskörper $L$ von $K$ in Linearfaktoren $f(X)=\prod _{i}(X-x_{i})$, so sind diese $x_{i}\in L$ also Lösungen der Gleichung $f(x)=0$ in $L$. Dabei sind die Koeffizienten $a_{i}$ symmetrische Polynome in den Lösungen: $a_{i}=(-1)^{i}\sigma _{i}(x_{1},\dots x_{n})$.

Ob zwei Lösungen $x_{k},x_{l}$ zusammenfallen (also gleich sind $x_{k}=x_{l}$), lässt sich an folgendem Differenzenprodukt ablesen: $\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})$. Es verschwindet, sobald nur zwei der $x_{i}$ gleich sind. Dieses Produkt lässt sich aufspalten in zwei Faktoren: $\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\cdot \prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})$. Beide Faktoren unterscheiden sich möglicherweise um ihr Vorzeichen: $\prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})$, je nachdem ob $4|n(n-1)=n^{2}-n$ oder nicht. Also ist

${\begin{aligned}\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})&=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\cdot \prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\left(\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\right)^{2}\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\left(\prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})\right)^{2}\end{aligned}}$

Man definiert die Diskriminante als Polynom in den Unbestimmten $X_{1},\dots ,X_{n}$ als $D(X_{1},\dots ,X_{n}):=\left(\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j})\right)^{2}=\prod _{i<j}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2}$.

Für die Vandermonde-Determinante gilt die Polynomidentität in den Unbestimmten $X_{i}\;(i=1,\dots ,n)$: $\det V(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\det V((X_{i}))=\det {\begin{pmatrix}1&X_{1}&X_{1}^{2}&\cdots &X_{1}^{n-1}\\1&X_{2}&X_{2}^{2}&\cdots &X_{2}^{n-1}\\1&X_{3}&X_{3}^{2}&\cdots &X_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&X_{n}&X_{n}^{2}&\cdots &X_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})$

Also gilt $D((X_{i}))=\left(\det V((X_{i}))\right)^{2}$, so dass $\prod _{i\neq j}(X_{i}-X_{j})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot D(X_{i})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot (\det V(X_{i}))^{2}$

Andererseits ist $\left(\det V((X_{i}))\right)^{2}=\det \left(V(X_{i})^{t}\cdot V(X_{i})\right)=\det \left(\pi _{i+j}^{(n)}\right)_{0\leq j<n}^{0\leq i<n}$, wobei $\pi _{i}^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}X^{i}$ die $i$-te Potenzsumme in $n$ Unbestimmten bezeichne.

Es ist also $D(X_{i})=\left(\det V(X_{i})\right)^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot \prod _{i\neq j}(X_{i}-X_{j})=\det \left(\pi _{i+j}^{(n)}\right)_{0\leq j<n}^{0\leq i<n}=\det {\begin{pmatrix}\pi _{0}^{(n)}&\pi _{1}^{(n)}&\pi _{2}^{(n)}&\cdots &\pi _{n-1}^{(n)}\\\pi _{1}^{(n)}&\pi _{2}^{(n)}&\pi _{3}^{(n)}&\cdots &\pi _{n}^{(n)}\\\pi _{2}^{(n)}&\pi _{3}^{(n)}&\pi _{4}^{(n)}&\cdots &\pi _{n+1}^{(n)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\pi _{n-1}^{(n)}&\pi _{n}^{(n)}&\pi _{n+1}^{(n)}&\cdots &\pi _{2n-2}^{(n)}\end{pmatrix}}$

Die Diskriminante ist offensichtlich ein symmetrisches Polynom $X_{i}$.

Galois-Theorie

zum einschlägigen Artikel ergänzende Idee: Klassischer Zugang kommt vom Hauptsatz über die elementarsymmetrischen Polynome („symmetrischen Grundfunktionen“) her. Dabei werden Polynomalgebren in $n$ Unbestimmten betrachtet, wobei $n$ der Grad der betrachteten Gleichung ist.

Der Artinsche Ansatz betrachtet den Polynomring in einer Unbekannten und seinen Quotientenring. Lemma von Dedekind etc.pp.

Van der Waerden die relativen Körperhomomorphismen. (Satz vom primitiven Element)

Die Beweise für die Existenz einer Normalbasis spiegeln beide Perspektiven wider: Lang (mehrere Unbestimmte) versus Artin (eine Unbestimmte, Lagrangesche Interpolation), van der Waerden (Tensorprodukt zweier isomorpher Körper).

Die Existenz einer (!) Galoissche Resolvente ist modern gesprochen der Satz von der Existenz eines primitiven Elements (Satz vom primitiven Element, den Hasse auch den Abelschen Satz nennt und der früher auch mit dem Hauptsatz über symmetrische Funktionen bewiesen wurde (Hasse, S. 80)): Eine Galoissche Resolvente ist das Minimalpolynom eines primitiven Elementes und damit ein normales Element und normales Polynom. Vgl. Hasse und v.d.Waerden im Paragraphen unmittelbar vor demjenigen zur Normalbasis.

Hasse verweist auf A. Loewys Zugang (Hasse, HA2, Fußnote auf Seite 114), der das Gruppoid der relativen Isomorphismen (nicht Automorphismen) betrachte und daraus bereits die Galoistheorie herleitet.

Zushg mit symmetrischen Grundfunktionen (elementarsymmetrischen Polynomen): Siehe Hasse, HA2, Seiten 150 und 153 (Beweise von Ph. Furtwängler). Siehe Aufgabensammlung, 2.V.§23, Aufgaben 3 ff.

Beweis des Satzes vom primitiven Element mit Hilfe des Hauptsatzes über die elementarsymmetrischen Polynome, gemäß einer Aufgabe aus Hasse/Klobe, 2.V.§23.

Interessante Passagen bei Hasse, HA2:

• S. 124, Mitte.
• S. 113f. unten (kleingedruckt) zu Satz 114.
• überhaupt Sätze 110 bis 114.

Idee einer Gliederung:

• Operationen von Gruppen auf Moduln (G-Moduln) (Transitivitätsgebiete, Imprimitivität, Bahnenformel)
• Unabhängigkeitssatz von Dedekind und Lineare Algebra liefern Hauptsatz der Galoistheorie
• Konjugierte Untergruppen entsprechen konjugierten Zwischenkörpern.
• Also entsprechen den in $G$ normalen Untergruppen $N$ (lies: den Normalteilern von $G$) die über $K$ normalen Zwischenkörper ${\displaystyle }$, das heißt die Zerfällungskörper gewisser Polynome.
• (Für $N=\{1\}$ ist es gerade $L$ selbst als Zerfällungskörper einer sogenannten Galois-Resolvente, deren Nullstellen als primitive Elemente geeignet sind.)
• Für jedes $y\in L$ sei $G(y,K)=G(L/K[y])$. Sein Minimalpolynom ist dann ... Ferner sind äquivalent:
  • $y$ normal über $K$
  • $G(y,K)\subset G(L/K)$ Normalteiler
  • $\mu _{y}(X)$ Galois-Resolvente.
• Setzt man $\alpha \in \operatorname {ErzElt} (Z/K):\Leftrightarrow Z=K[\alpha ]$ und $\beta \in \operatorname {XYZ} (U,G):\Leftrightarrow \#U\beta =(U:1)$ so gilt: ...
• Beziehungen mit dem Index $(G:U)$
• Deutung als Transitivitätsgebiete, Imprimitivitätsgebiete, siehe vdW und Hasse, Satz 114, Seite 114ff.
• Satz vom primitiven Element. Separabilität
• Deutung der Gaußschen Perioden als Erzeugung eines primitiven Elementes für bestimmte Zwischenerweiterungen (oder?) Siehe auch vdW im Paragraphen vor „Normalbasis“.
• Die historische Perspektive betrachtet die Galois-Gruppe $G(f,K)$ eines separablen Polynoms $f$ über dem Grundkörper $K$ als Untergruppe der Permutationsgruppe $\operatorname {Perm} (N_{f})$ auf seiner Nullstellenmenge $N_{f}\subset W$ in einem Wurzelkörper $W:=\operatorname {Zerf} (f,K)$, definiert wie bei Hasse (Satz 107) oder Helmut Koch.
• Die moderne Perspektive betrachtet die Galois-Gruppe $G(L/K)$ einer separablen Körpererweiterung $L/K$.
• Der Satz vom primitiven Element (oder von der Galois-Resolvente) bringt Licht in den Zusammenhang für $L=W$, nämlich in Gestalt von Helmut Koch, 7.6, Satz 8 (Seite 66f.): $G(L/K)\to G(f,K),\,\sigma \mapsto \sigma |_{N_{f}}\in \operatorname {Perm} (N_{f})$. Für $N_{f}=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m}\}$ und $L:=K[N_{f}]=W$ sei Galois-Resolvente $g(X)\in K[X]$ gewählt mit $N_{g}=\{\beta =\beta _{1},\dots ,\beta _{n}\}$, so dass $L=K[\beta ]=K[\beta _{j}]$ für jedes $j=1,\dots ,n$ und $\alpha _{i}=h_{i}(\beta )$ mit geeignet bestimmten $h_{i}(X)\in K[X]$. Die Automorphismen $\sigma \in G(L/K)$ korrespondieren bijektiv mit den Substitutionen $L=K[\beta ]\to K[\beta _{j}]=L,\;\beta \mapsto \beta _{j}\;(j=1,\dots ,n)$, das heißt $\sigma _{j}(\beta ):=\beta _{j}$ und $G(L/K)=\{\sigma _{j}|j=1,\dots ,n\}$. Damit ist $\sigma _{j}(\alpha _{i})=h_{i}(\beta _{j})$.
• Ist umgekehrt $k_{j}(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]$ mit $k_{j}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=\beta _{j}$, so permutiert jeder Automorphismus $\sigma \in G(L/K)$ die Nullstellen $\alpha _{i}\in N_{f}$ so, dass $k_{j}(\sigma (\alpha _{1}),\dots ,\sigma (\alpha _{m}))=\sigma (\beta _{j})$. Für $k=k_{1}\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]$ insbesondere: $k^{\sigma _{j}}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=\beta _{j}$. (Vergleich Hasse, Satz 107)
• Hasse Satz 105 und 106 (und 107) beschreiben, wie sich die Automorphismen $\sigma \in G(K[\beta ]/K)$ Stammkörper $K[X]/(\mu _{\beta }(X))$ darstellen, nämlich offensichtlich als die Substitutionen $X\mapsto \mu _{j}(X){\bmod {(}}\mu _{\beta }(X))$, wobei $\beta _{j}=:\mu _{j}(\beta )$.

Zum Wechsel der Perspektive:

• Der zu einer Untergruppe gehörige Fixkörper bestimmt einen Teilkörper eines gegebenen „Dachkörpers“. Der Hauptsatz der Galoistheorie ist so formulierbar und mit Mitteln der LinAlg und dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind beweisbar. Offen bleiben dann aber die körpertheoretischen Begriffe der Adjunktion, Separabilität und Normalität (Zerfällungskörper), überhaupt der Zusammenhang mit Polynomen und ihren Nullstellen.
• Diese Begriffe gehen nämlich von einem Grundkörper aus: Durch Adjunktion entsteht ein Erweiterungskörper, der als Faktorring des Polynomringes nach einem Ideal zu verstehen ist, das von einem bestimmten Polynom erzeugt wird: Dessen Eigenschaften bestimmen die Eigenschaften des Faktorringes: Irreduzibilität gewährleistet einen Körper, zusätzliche Normalität liefert einen Zerfällungskörper, und schließlich zusätzliche Separabilität liefert einen Zerfällungskörper mit $[L:K]=G(L/K)$. Tatsächlich sind diese Eigenschaften äuqivalent mit dem Bestehen dieser Gleichheit.

Ferner:

• Translationssatz (Emil Artin) und Komposita von Körpern, insbesondere direkte Komposita (Helmut Koch, Kapitel 16). Oder auch Hassse („Wechsel des Grundkörpers“).

Beispiel: Aufgabe von Hasse (nach Anchoa, Madrid).

Direktes Kompositum und direkter Durschnitt von Zwischenkörpern

Ist die Galoisgruppe direkte Summe (Koprodukt) von Normalteilern $U_{i}$, so ist der Grundkörper der direkte Durchschnitt der zugehörigen normalen Fixkörper $Z_{i}$. In diesem Falle ist der Erweiterungskörper das direkte Kompositum gewisser anderer („komplementärer“) normaler Zwischenkörper $Y_{j}$, deren Fixgruppen $V_{j}$ die $\{1\}\subset G(L/K)$ als direkten Durchschnitt besitzen.

Insbesondere sind also abelsche Erweiterungen das direkte Kompositum geeigneter Teilkörper.

Galois-Gruppe eines separablen Polynoms

Die einleitenden Absätze des Abschnittes zur klassischen Ansatz der Galois-Theorie erläutern:

„Eine ‚Symmetrie der Nullstellen von Polynomen‘ ist eine Permutation der Nullstellen, so dass jede algebraische Gleichung über diesen Nullstellen auch dann noch gültig ist, nachdem man die Nullstellen mittels der Permutation vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Galoisgruppen.

Galois selbst beschrieb eine Methode, mit der eine einzelne von den Nullstellen erfüllte Gleichung konstruiert werden kann (die sog. Galois-Resolvente), so dass die Galois-Gruppe aus den Symmetrien dieser einen Gleichung besteht.“

Diese Formulierung skizziert die Definition der Galois-Gruppe $G(f,K)$ eines separablen Polynoms $f(X)\in K[X]$ über einem Grundkörper $K$. Dazu bezeichne $N_{f}:=\{\alpha =\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m}\}\subset Z$ die Menge der paarweise verschiedenen einfachen Nullstellen von $f(X)$ in einem Zerfällungskörper (Wurzelkörper) $Z=\operatorname {Zerf} (f,K)$, in dem also $f(X)=\prod _{1\leq i\leq m}(X-\alpha _{i})$ in (das Produkt der) Linearfaktoren $X-\alpha _{i}$ zerfällt. Mit $\operatorname {Perm} (N_{f})$ sei die Menge aller Permutationen der Menge $N_{f}$ bezeichnet, das heißt die Menge aller bijektiven Abbildungen $N_{f}\to N_{f}$. Sie lässt sich als die symmetrische Gruppe $S_{m}$ der Ordnung $m$ verstehen, wenn man die Permutation mit Hilfe eines $\sigma \in S_{m}$ schreibt: $\alpha _{i}\mapsto \alpha _{\sigma (i)}$. Für ein Polynom $h(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]$ in $m$ Unbestimmen $X_{i}$ und ein $\sigma \in S_{m}$ setze $h^{\sigma }(X_{1},\dots ,X_{m}):=h(X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (m)}$.

Nun betrachte man die Menge

$H(f,K):=\left\{h(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]{\big |}h(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})\in K\right\}$

der Polynome in $m$ Unbestimmten, die auf dem Nullstellentupel Werte in $K$ annehmen.

Definiere nun die Galois-Gruppe $G(f,K)$ des separablen Polynoms $f(X)$ über dem Körper $K$ wie folgt:

$G(f,K):=\left\{\sigma \in S_{m}{\big |}h(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=h^{\sigma }(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})\right\}$.

Mit $H(f,0):=\left\{h(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]{\big |}h(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=0\right\}$ lässt sich sich die Galois-Gruppe ebenso gut folgendemaßen definieren:

$G(f,K):=\left\{\sigma \in S_{m}{\big |}h\in H(f,0)\Rightarrow h^{\sigma }H(f,0)\right\}$

Es gilt der Satz (Helmut Koch, Abschnitt 7.6, Satz 7): Für ein Polynom $h(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]$ gilt:

$h(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=h^{\sigma }(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})\forall \sigma \in G(f,K)\;\Rightarrow \;h\in H(f,K)$.

Beispiel (G. Ancochea, Madrid)

(nach G. Ancochea, Madrid, aus Hasse/Klobe (3. Auflage, 1961), 2.VI.§ 17, Aufgabe 17, Seite 150,)

Es sei $\operatorname {char} K\neq 2$ und $f(X)=X^{4}+aX^{3}+bX^{2}+aX+1\in K[X]$ irreduzibel. Man bestimme (i) eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Normalität von $f(X)$ und (ii) die Galois-Gruppe $G(f,K)$.

Anleitung: Substitution $Z=X+{\frac {1}{X}}$ reduziert die Gleichung $f(X)=0$ auf zwei quadratische Gleichungen. Betrachtet man $L:=K[\beta ]$ mit $\beta :={\sqrt {a^{2}-4(b-2)}}$ und setzt $x:=(b+2)^{2}-4a^{2}$, so erhält man als Bedingung für Normalität: ${\sqrt {x}}\in L$. Dafür ist hinreichend und notwendig, dass entweder $x$ oder $y={\frac {\beta }{x}}$ ein Quadrat in $K$ ist.

Für die Galois-Gruppe ergibt sich im ersten Falle die Kleinsche Vierergruppe, im zweiten eine zyklische Gruppe der Ordnung 4.

Zum Artikel Satz vom primitiven Element

Satz

Der Satz vom primitiven Element behauptet die Existenz eines primitiven Elements $y\in L$ für eine endliche Körpererweiterung $L/K$ unter gewissen Voraussetzungen, das heißt: Unter gewissen Bedingungen gibt es ein $y\in L$ mit $L=K[y]$. Dabei gibt es verschiedene Varianten des Satzes, die sich in den geforderten Voraussetzungen unterscheiden:

• (A1) Es gibt $a,c\in L$ mit $L=K[a,c]$, wobei $c$ separabel über $K$ ist.
• (A2) Es gibt $a,c_{1},\dots ,c_{s}\in L$ mit $L=K[a,c_{1},\dots ,c_{s}]$, wobei jene $c_{j}$ separabel über $K$ sind.
• (A3) Es gibt $a,c_{1},\dots ,c_{s}\in L$ mit $L=K[a,c_{1},\dots ,c_{s}]$, wobei $a$ und jene $c_{j}$ separabel über $K$ sind.
• (A4) Die Körpererweiterung $L/K$ ist separabel.

Dass es genügt, den Satz unter der ersten Voraussetzung (A1) zu beweisen, liegt auf der Hand: Die übrigen Varianten folgen durch vollständige Induktion oder unmittelbar. Eine weitere Variante behauptet, dass die Existenz eines primitiven Elements äquivalent mit der folgenden Bedingung ist:

• (B) Die endliche Körpererweiterung $L/K$ besitzt nur endlich viele Zwischenkörper.

Tatsächlich lässt sich zeigen, dass aus (A4) die Aussage (B) folgt. (Artin).

Beweis des Satzes

Die Aussage des Satzes folgt per Induktion leicht aus dem folgenden Satz: Sind $a,c$ algebraisch und $c$ darüber hinaus separabel über $K$, so ist $K[a,c]/K$ eine einfache Körpererweiterung, das heißt: Es gibt ein $y\in K[a,c]$ mit $K[y]=K[a,c]$.

Zum Beweis: Bei endlichem Grundkörper $K$ ist die multiplikative Einheitengruppe $K[a,c]^{\times }$ zyklisch, nämlich von einer einer primitiven Einheitswurzel $\zeta$ erzeugt. Dieses eignet sich somit als primitives Element $y:=\zeta$. Damit bleibt der Satz im Folgenden lediglich für unendliche Grundkörper $K$ zu beweisen.

Dafür bezeichne $r$ die Mächtigkeit der Nullstellenmenge $N_{f}:=\{a_{1},\dots ,a_{r}\}$ des Minimalpolynoms $f(X)$ von $a$. Dabei ist $r\leq m:=\deg f$, da die Nullstellen nicht notwendig einfach sind. Es bezeichne $n$ die Mächtigkeit der Nullstellenmenge $N_{g}:=\{c_{1},\dots ,c_{n}\}$ des Minimalpolynoms $g(X)$ von $c$. Da diese Nullstellen einfach sind, sind sie paarweise verschieden, und es gilt $n=\deg g$. Die Indizierung beginne jeweils mit $a_{1}=a$ bzw. $c_{1}=c$.

Für jedes der endlich vielen Paare $(i,j)$ mit $1\leq i\leq r$ und $2\leq j\leq n$ bestimmt die Gleichung $Xc+a=Xc_{j}+a_{i}$ höchstens eine Lösung $x_{i,j}\in K$. Wählt man $x\in K\backslash \{x_{i,j},i,j\}\neq \emptyset$, also ungleich allen diesen $x_{i,j}$, so folgt $y:=xc+a\neq xc_{j}+a_{i}$ für alle $r(n-1)$ Paare $(i,j)$ mit $1\leq i\leq r,2\leq j\leq n$.

Dabei gilt $f(y-xc)=f(a)=0=g(c)$, und da $f(y-xX)$ und $g(X)$ nach Wahl von $x$ nur diese eine gemeinsame Nullstelle $c$ haben, ist ihr größter gemeinsamer Teiler $\operatorname {ggT} _{K[y][X]}{\big (}g(X),f(y-xX){\big )}=X-c$ in $K[y][X]$, woraus $c\in K[y]$ und mithin $a=xc-y\in K[y]$ folgen, was zu beweisen genügt.

Anmerkung 1: Der Leitkoeffizient von $f(y-xX)$ ist $(-x)^{r}$.

Anmerkung 2: Selbstverständlich kann man $x$ auch so wählen, dass die $rn$ Elemente $a_{i}+xc_{j}=:y_{i,j}$ für $1\leq i\leq r,1\leq j\leq n$ sämtlich untereinander paarweise verschieden sind (also unter Einbeziehung von $j=1$).

Anmerkung 3: Ist dabei zusätzlich auch $a$ separabel, also $r=\deg f=m$, so zerfällt das Polynom $f(y-xX)$ in einem Zerfällungskörper $\operatorname {Zerf} (f(X),K[y])$ folgendermaßen: $f(y-xX)=\prod _{i=1}^{n}(y-xX-a_{i})=\prod _{i=1}^{n}\left(y-(xX+a_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}((a+xc)-(a_{i}+xX))$. Daran lässt sich wiederum ablesen, dass $f(y-xX)$ und $g(X)$ nur die eine gemeinsame Nullstelle $X=c$ haben. Ferner wird deutlich, dass dann auch $y$ separabel ist: Die $mn$ Elemente $y_{i,j}\;(1\leq i\leq m,1\leq j\leq n)$ sind sämtlich paarweise verschieden und über $K$ konjugiert. Ihr Minimalpolynom über $K$ lautet $\mu _{y}(X)=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}(X-y_{i,j})=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}(X-(a_{i}+xc_{j}))$. Tatsächlich hat es Koeffizienten aus $K$, denn zunächst liegt $\phi (X,Y):=\prod _{j=1}^{n}(X-(Y+xc_{j}))\in K[X,Y]$, da es unter der Galois-Gruppe des Zerfällungskörpers von $g(X)$ über $K$ invariant ist. Aus entsprechendem Grunde liegt auch $g(X)=\prod _{i=1}^{m}\phi (X,a_{i})\in K[X]$.

Folgerungen aus dem Satz

Folgerung: Sind im Satz $a$ und $c$ separabel, so ist die einfache Erweiterung $K[a,c]=K[y]$ separabel über $K$ vom Grade $mn$.

Im Zerfällungskörper $W:=\operatorname {Zerf} (\mu _{y}(X),K)$ des Minimalpolynoms $\mu _{y}(X)$ von $y$ sind (per definitionem) alle Wurzeln $y_{i,j}$ enthalten und über $K$ konjugiert, das heißt: Sie liegen in der Bahn $G(W/K)(y)$ der Galois-Gruppe $G(W/K)$. Diesen Zerfällungskörper erhält man durch Adjunktion $W=K[y_{i,j},\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n]$.

Darauf lässt sich der Satz vom primitivem Element anwenden: Wählt man nämlich $x_{i,j}\in K$ so, dass sämtliche Permutationen $\sigma \in S_{m},\tau \in S_{n}$ zu untereinander paarweise verschiedenen $z_{\sigma ,\tau }:=\sum _{1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq n}x_{i,j}\,y_{\sigma (i),\tau (j)}$ führen, so erzeugt jedes der $z_{\sigma ,\tau }$ den Zerfällungskörper: $W=K[z_{\sigma ,\tau }]$. Dabei kann ohne Einschränkung eines der $x_{i,j}$ gleich Eins gewählt werden, bspw. $x_{1,1}=1$. Denn ein Element $z\in W$ ist nach dem Hauptsatz der Galoistheorie genau dann normal mit $W=K[z]$, wenn seine Bahn unter $G$ genau $(G:1)$ Elemente hat, seine Standgruppe also gleich $\{1\}$ ist. Nun permutiert jeder Automorphismus $\rho \in G(E/K)$ die Wurzeln $a_{i}$ und $c_{j}$, liefert also Permutationen $\sigma \in S_{m}$ und $\tau \in S_{n}$, so dass die diese Bedingung gewährleistet ist.

Hieran lässt sich ablesen: Sind $a$ und $c$ normal über $K$ so ist es auch $K[a,c]=K[y]$. Dann nämlich erübrigt sich die Adjunktion der von $y$ verschiedenen $y_{i,j}$ und es ist $W=K[y]$ und $(G:1)=[K[y]:K]=mn$. Zur Bestimmung eines Automorphismus $\rho \in G$ genügt dann nämlich schon, die Substitutionen $a\mapsto a_{i}=a_{\sigma (1)}$ und $c\mapsto c_{j}=c_{\tau (1)}$ anzugeben. Ist aber nichts über die Normalität von $a$ oder $c$ bekannt, so lässt sich nur folgern, dass $mn|(G:1)|m!n!$.

Zusammenhang zur Galois-Resolvente

Definition: Eine Galois-Resolvente der Gleichung $\mu _{y}(X)=0$ ist das Minimalpolynom $\mu _{z}(X)$ eines solchen primitiven Elements $z$, welches den Zerfällungskörper von $\mu _{y}(X)$ erzeugt. Da jede $y_{i,j}\in K[z]$ liegt, sind sie als ganzrationale Ausdrücke von $z$ darstellbar: $y_{i,j}=h_{i,j}(z)$. Allgemeiner heißt ein irreduzibles, separables Polynom $q(X)\in K[X]$ eine Galois-Resolvente eines Polynoms $f(X)$ über $K$, wenn es Minimalpolynom eines primitiven Elements $z$ für den Zerfällungskörper $W:=\operatorname {Zerf} (f(X),K)$ von $f(X)$ über $K$ ist.

Daher ist die Existenz einer Galois-Resolvente mit der Existenz eines primitiven Elements äquivalent.

Die Nullstellen $a_{i}$ von $f(X)$ sind dann über $K$ ganzrationale Ausdrücke von $z$: $a_{i}=h_{i}(z)$ mit $h(X)\in K[X]$. Umgekehrt gilt $z=H(a_{1},\dots ,a_{r})$ mit einem Polynom $H(X_{1},\dots ,X_{r})\in K[X_{1},\dots ,X_{r}]$, und für $\rho \in G(W/K)$ gilt folglich $\rho (z)=H^{\rho }(a_{1},\dots ,a_{r})=H(\rho (a_{1}),\dots ,\rho (a_{r}))=(a_{\rho (1)},\dots ,a_{\rho (r)})$, wenn man die Automorphismen $\rho \in G(W/K)$ zugleich als Permutationen $\rho \in S_{r}$ der Wurzeln auffasst, was der historischen Perspektive entspricht.

Da indes eine Galois-Resolvente $q(X)$ bei der Lösung der zugehörigen Wurzelgleichung $f(X)=0$ nicht behilflich ist, hat sich die Bedeutung der Galois-Resolvente in der heute üblichen Perspektive auf das zugehörige primitive Element und die von ihr erzeugte einfache Körpererweiterung konzentriert.

Historische Perspektive: Galois-Resolvente und -Theorie

Helmut Hasse bezeichnet den Satz unter Hinweis auf seinen „Entdecker“ als den Abelschen Satz. In einer Fußnote zum Beweis bemerkt Hasse: „Dieser Beweis wurde bisher fast immer unter Anwendung des Satzes von den symmetrischen Funktionen [...] geführt. Der Grundgedanke des im Text gegebenen, ohne jenen Satz auskommenden Beweises wurde aber schon von Galois zu dem entsprechenden Zwecke verwandt.“

Eine Galois-Resolvente einer Gleichung $f(X)=0$ ist (nach Definition) ein irreduzibles Polynom $g(X)$ (bzw. eine irreduzible Gleichung $g(X)=0$) mit einer der folgenden äquivalenten Eigenschaften, die den Zerfällungskörper $\operatorname {Zerf} (f(X),K)$ von $f(X)$ über $K$ betreffen:

• $\operatorname {Zerf} (f(X),K)\simeq K[X]/(g(X))$. (In historischen Worten: „Der Stammkörper von $g(X)=0$ ist der Wurzelkörper von $f(X)=0$.“)
• Für eine Wurzel $\beta$ von $g(X)=0$ gilt: $\operatorname {Zerf} (f(X),K)=K[\beta ]$.
• Für jede Wurzel $\beta$ von $g(X)=0$ gilt: $\operatorname {Zerf} (f(X),K)=K[\beta ]$.
• Jede Wurzel von $f(X)=0$ ist dann als „ganzrationale Funktion“ einer Wurzel von $g(X)=0$ (und damit jeder ihrer Wurzeln) ausdrückbar.

Damit ist insbesondere der Stammkörper einer Galois-Resolvente ihr eigener Zerfällungskörper („Wurzelkörper“): Es genügt eine beliebige der Wurzeln zu adjungieren, da sich mit ihr alle übrigen ganzrational ausdrücken lassen. Polynome mit dieser Eigenschaft heißen galoissch oder normal (vgl. unten).

Zur Erläuterung des erwähnten „entsprechenden Zwecks“ beachte man nun, dass für eine Galois-Erweiterung $L/K$ die Existenz eines primitiven Elementes $x\in L$ (mit $L=K[x]$) und die Existenz einer Galois-Resolvente $g(X)\in K[X]$ im Wesentlichen dasselbe besagen, denn mit dem Minimalpolynom $\mu _{x}(X)$ eines primitiven Elementes $x\in L=K[x]$ ist eine Galois-Resolvente gefunden und umgekehrt ist jede Nullstelle $x\in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}=\{x\in L|g(x)=0\}$ einer Galois-Resolvente $g(X)\in K[X]$ als primitives Element geeignet. Ein solches primitives Element erzeugt bereits den Zerfällungskörper der Galois-Resolvente, denn dieses irreduzible Polynom ist per definitionem galoissch, das heißt, dass mit Adjunktion nur einer der Nullstellen $\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ auch alle übrigen Nullstellen im entstandenen Erweiterungskörper enthalten sind: $K[x]=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ für beliebige Wahl von $x\in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}$.

Ein irreduzibles separables Polynome, dessen Nullstellen $x_{i}$ diese Eigenschaft haben, heißt galoissch (oder normal), und entsprechend heißt ein Element $x\in L$ galoissch (oder normal), dessen Minimalpolynom $\mu _{x}(X)$ galoissch ist. Für solch ein Element $x\in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ fallen der zugehörige Stammkörper $K[x]\cong K[X]/(\mu _{x}(X))$ und der Zerfällungskörper $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ zusammen.

Ist $L$ Zerfällungskörper eines über $K$ irreduziblen separablen Polynoms $g(X)\in K[X]$ vom Grad $\deg g=n$, so ist $L/K$ eine Galois-Erweiterung. Die Galois-Gruppe $G(g,K)$ des Polynoms $g$ ist definiert als diejenige Untergruppe $G(g,K)<S_{n}\simeq \operatorname {Perm} (\{x_{1},\dots ,x_{n}\})$ aller Permutationen $\sigma$ auf seiner Nullstellenmenge $N_{g}:=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$, die durch folgende Eigenschaft gekennzeichnet ist:

$\sigma \in G(f,K)\;:\Longleftrightarrow \;\forall f(X_{1},\dots ,X_{n})\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:\;{\Big [}f(x_{1},\dots ,x_{n})=0\,\Rightarrow \,f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=0{\Big ]}\,.$

Setzt man $H(N_{g},K):=\left\{h(X_{1},\dots ,X_{n})\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]{\Big \vert }h(x_{1},\dots ,x_{n})\in K\right\}$, so gilt offensichtlich:

$\sigma \in G(f,K)\;\,\Longleftrightarrow \;\forall h\in H(N_{g},K):\;h(x_{1},\dots ,x_{n})=h(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$

Daraus folgt zunächst $(G(g,K):1)|n!=(S_{n}:1)$.

Wählt man hierbei $g(X)$ galoissch (normal) – also eine Galois-Resolvente $g(X)$ für $L/K$, was nach dem Satz vom primitiven Element möglich ist –, so lässt sich sogar $(G:1)=n=\deg g=[L:K]$ folgern, weil jeder Automorphismus $\sigma \in G(L/K)$ auf $L=K[x]$ bereits durch das Bild $\sigma (x)\in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ festgelegt ist.

Da die Koeffizienten des Polynoms $g(X)$ die elementarsymmetrischen Polynome seiner Nullstellen sind und symmetrische Polynome nach dem Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome (sogar in eindeutiger Weise) als Polynome in den elementarsymmetrischen Polynomen dargestellt werden können, enthält $H(N_{g},K)$ die symmetrischen Polynome.

Die Galois-Gruppe $G(g,K)$ eines Polynoms hängt vom gewählten Polynom $g(X)\in K[X]$ ab. Doch lässt sich zeigen, dass sie im Falle einer Galois-Erweiterung $L/K$ isomorph zu deren Galois-Gruppe $G(L/K):=\operatorname {Aut} (L/K)$ ist. Daher hängt ihre Isomorphieklasse nicht von der Wahl des Polynoms $g$ ab, und es folgt $\left(G(L/K):1\right)=n=[L:K]$.

Wurde in älterer, „klassischer“ Literatur der Weg über die „symmetrischen Grundfunktionen“ (sprich: elementarsymmetrischen Polynome) und die Galois-Resolvente beschritten, so rückte Bartel Leendert van der Waerden in seinem Lehrbuch „Moderne Algebra“ (Erstauflage 1930/1931 in Springer Grundlehren) die Galois-Gruppe $G(L/K)$ und den Satz vom primitiven Element in den Vordergrund. Er hatte in diesem Lehrbuch Vorlesungen aus den 1920er Jahren von Emmy Noether in Göttingen und von Emil Artin in Hamburg verwendet.

Emil Artin selbst veröffentlichte nach seiner Emigration einen Zugang zur Galois Theory im Jahre 1942. Schon dessen erstes grundlegendes Kapitel „Lineare Algebra“ kündigt den Wandel der Perspektive an. Artin zeigte mit Hilfe des Unabhängigkeitssatz von Dedekind und eines ähnlichen Argumentes – angewandt auf die Spurabbildung $\operatorname {Spur} _{L/K}$ –, dass die Gleichheit $(G(L/K):1)=[L:K]$ besteht, sobald der Grundkörper $K$ Fixkörper eine Gruppe von Automorphismen auf einem Erweiterungskörper $L$ ist. Solche Erweiterungskörper nennt Artin galoissch über dem Grundkörper. Er zeigt im Nachhinein, dass Erweiterungskörper diese Eigenschaft genau dann erfüllen, wenn sie Zerfällungskörper eines über dem Grundkörper $K$ separablen Polynoms sind. Am Ende dieses Buches steht der Beweis der Existenz einer Normalbasis, und auch dieser beruht auf der Determinantentheorie der Linearen Algebra.

Literatur (Ergänzungen)

• Emil Artin: Galois Theory. In: Lectures delivered at the University of Notre Dame, Indiana. 1942, abgerufen am 27. Oktober 2022 (edited and supplemented with a Section on Applications by Dr. Arthur N. Milgram, Notre Dame).  – Eine Übersetzung ins Deutsche erfolgte 1968:
• Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Berlin (u. a.) 1968.

Zentralisator

Ergänzung im einschlägigen Artikel:

Zentralisator in Ringen

Es sei $R$ ein assoziativer Ring, $s\in R$. Der Zentralisator von $s$ in $R$ ist definiert als die Menge aller mit $s$ vertauschbaren Ringelemente: $Z_{R}(s):=\{r\in R\,|sr=rs\}\,.$ Offenkundig ist stets $\{0,s,s^{2},s^{3},\dots \}\subset Z_{R}(s)$. Enthält der Ring $R$ überdies eine $1$ (und ist somit unitär), so ist $Z_{R}(1)=R=Z_{R}(0)$, also auch $\{0,1,s,s^{2},s^{3},\dots \}\subset Z_{R}(s)$ für jedes $s\in R$.

Der Zentralisator einer Teilmenge $S\subset R$ in $R$ ist definiert als

$Z_{R}(S):=\{r\in R\,|\,\forall s\in S:sr-rs=0\}=\bigcap _{s\in S}Z_{R}(s)\,.$

Insbesondere heißt $Z(R):=Z_{R}(R)$ das Zentrum des Ringes $R$.

Die Kommutatorklammer, definiert durch $[a,b]:=ab-ba$ für $a,b\in R$, ist offensichtlich bilinear über $\mathbb {Z}$, d. h., für $a_{i},b_{i}$ gelten:

• $[a_{1}\pm a_{2},b]=[a_{1},b]\pm [a_{2},b]$
• $[a,b_{1}\pm b_{2}]=[a,b_{1}]\pm [a,b_{2}]$

Ferner gilt für $a,b,s\in R$:

• $[a,s]=0=[b,s]\Longrightarrow [ab,s]=a[b,s]=0$.

Daher ist der Zentralisator $Z_{R}(S)$ stets ein Teilring von $R$.

Zentralisator eines Moduls

Es bezeichne $M:=\sideset {_{A}}{}{M}$ einen Links-Modul (bzw. $M:=\sideset {}{_{A}}{M}$ einen Rechts-Modul) über dem Ring $A$, also eine abelsche Gruppe, auf welcher der Ring $A$ von links (bzw. von rechts) operiert. Betrachte zunächst $M$ als einen $\mathbb {Z}$-Modul (also als abelsche Gruppe): Es bezeichne $\operatorname {End} (M)=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)=:R$ dem Ring der Endomorphismen der abelschen Gruppe $M$. Jede Links- (bzw.Rechts-) Multiplikation mit einem Ringelement $a\in A$ (also $\lambda _{a}\colon M\to M,m\mapsto \lambda _{a}(m):=am$ (bzw. $\rho _{a}\colon M\to M,m\mapsto \rho _{a}(m):=ma$)) ist ein solcher Endomorphismus. Auf diese Weise erhält man einen Homomorphismus $\lambda \colon a\mapsto \lambda _{a}$ (bzw. einen Antihomomorphismus $\rho \colon a\mapsto \rho _{a}$) $A\to R$. Dieser (Anti-)Homomorphismus ist die zum $A$-Modul gehörige, also die reguläre Darstellung des Links- (bzw. Recht-)Moduls $M$. Diese ist (per definitionem) genau dann treu, wenn dieser Homomorphismus (bzw. Anti-Homomorphismus) injektiv ist, so dass sich der Ring $A$ im Ring $R$ als Teilring wiederfindet. (Auf sich selbst als Modul $M=A$ angewendet ist dies genau dann der Fall, wenn $A$ links- (bzw. rechts-)nullteilerfrei ist.) Bezeichnet $S$ das Bild $\lambda (A)=\{\lambda _{a}|a\in R\}$ dieses Homomorphismus' (bzw. das Bild $\rho (A)=\{\rho _{a}|a\in R\}$ dieses Anti-Homomorphismus'), so wird der Zentralisator des Moduls $M$ definiert als $Z_{R}(S)$. Offensichtlich ist dies gerade derjenige Teilring des Endomorphismenrings $R=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$, welcher alle $A$-(links- bzw. rechts-)linearen Endomorphismen enthält, das heißt, es gilt $Z_{R}(S)=\operatorname {End} _{A}(M)$. Dabei sei definiert $\operatorname {End} _{A}(M):=\operatorname {End} (\sideset {_{A}}{}{M})$ bzw. $\operatorname {End} _{A}(M):=\operatorname {End} (\sideset {}{_{A}}{M})$, je nachdem, ob $M$ ein Links- oder Rechtsmodul ist. Denn tatsächlich gilt:

• $f\in Z_{R}(S)\Leftrightarrow f\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ mit der Eigenschaft: $\forall a\in A:f\circ \lambda _{a}=\lambda _{a}\circ f\Leftrightarrow f\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ mit der Eigenschaft: $\forall a\in A,m\in M:f(am)=af(m)$ bzw.
• $f\in Z_{R}(S)\Leftrightarrow f\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ mit der Eigenschaft: $\forall a\in A:f\circ \rho _{a}=\rho _{a}\circ f\Leftrightarrow f\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ mit der Eigenschaft: $\forall a\in A,m\in M:f(ma)=f(m)a$.

Nathan Jacobson definiert den Zentralisator $\Gamma$ eines Moduls und seine Operation auf dem Modul derart, dass Zentralisator und Endomorphismenring $R$ auf einander gegenüberliegenden (opponierten) Seiten operieren. Dann bilden $Z_{R}(S)$ und der Zentralisator $\Gamma$ zueinander opponierte Ringe (Gegenringe) bilden, das heißt, sie sind zueinander anti-isomorph.

Man beachte, dass zwar

• $a\in A\Rightarrow \lambda _{a}\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ bzw.
• $a\in A\Rightarrow \rho _{a}\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$,

nicht aber die stärkere Aussage für die $A$-linearen Endomorphismen:

• $a\in A\not \Rightarrow \lambda _{a}\in \operatorname {End} (\sideset {_{A}}{}{M})$ bzw.
• $a\in A\not \Rightarrow \rho _{a}\in \operatorname {End} (\sideset {}{_{A}}{M})$.

Der Kern des Homomorphismus $\lambda$ (bzw. des Anti-Homomorphismus $\rho$) heißt das Annullatorideal $\operatorname {Ann} (M)$ des Moduls $M$. Es ist also

• $\operatorname {Ann} (M)=\{a\in A\,|\,aM=0\}\triangleleft R$ bzw.
• $\operatorname {Ann} (M)=\{a\in A\,|\,Ma=0\}\triangleleft R$.

Für $a,b\in A$ und für einen Linksmodul $M$ gilt offenbar:

$\lambda _{a},\lambda _{b}\in Z_{R}(S)\Rightarrow ab-ba\in \operatorname {Ann} (M)\;,$

und für einen Rechtsmodul $M$ gilt Entsprechendes mit $\rho$ als regulärer Darstellung. Bei einer treuen Darstellung $\lambda$ bzw. $\rho$, also einer Einbettung $A{\stackrel {\sim }{\to }}S\subset R$ von Ringen, ergibt sich hier die gewohnte Definition des Zentralisators für Ringe.

Für die nächsten Überlegungen sei die Quotienten-Schreibweise aus der Noetherschen Idealtheorie eingeführt: Für $x,t\in M$ und einen Teilring $B\subset A$ sei

• der Linksquotient$\;\;\;\sideset {_{B}}{}{(x:t)}\;\;:=\{b\in B\,|\,bt=x\}$ im Falle eines Linksmoduls $M$ bzw.
• der Rechtsquotient $\;\;\sideset {}{_{B}}{(x:t)}:=\{b\in B\,|\,tb=x\}$ im Falle eines Rechtsmoduls $M$ definiert.

Wenn $B=A$ und die Seitigkeit des Moduls $M$ klar ist, so wird der Index fortgelassen. Das Links- (bzw. Rechtsideal) $(0:t)$ heißt das Ordnungsideal des Elementes $t$ aus dem Linksmodul (bzw. Rechtsmodul) $M$.

Für zwei Teilmengen $N,T\subset M$ und einen Teilring $B\subset A$ sei

• $\;\sideset {_{B}}{}{(N:T)}\;\;:=\{b\in B\,|\,bT\subset N\}=\{b\in B\,|\,\forall t\in T:bt\in N\}$ im Falle eines Linksmoduls $M$ bzw.
• $\;\;\;\sideset {}{_{B}}{(N:T)}:=\{b\in B\,|\,Tb\subset N\}=\{b\in B\,|\,\forall t\in T:tb\in N\}$ im Falle eines Rechtsmoduls $M$ definiert.

Es ist also

• $\;\sideset {_{B}}{}{(N:T)}\;\;=B\cap \bigcap _{t\in T}\bigcup _{x\in N}(x:t)$ für einen Linksmodul bzw.
• $\;\;\;\sideset {}{_{B}}{(N:T)}=B\cap \bigcap _{t\in T}\bigcup _{x\in N}(x:t)$ für einen Rechtsmodul.

Für einen linksseitigen (bzw. rechtsseitigen) $A$-Untermodul $N$ von $M$ ist $\sideset {_{B}}{}{(N:T)}$ ein Linksideal (bzw. $\sideset {}{_{B}}{(N:T)}$ ein Rechtsideal) in $B$.

Ist zusätzlich $T$ ein links- bzw. rechtsseitiger Untermodul von $M$, so handelt es sich bei beiden, sowohl bei $\sideset {_{B}}{}{(N:T)}$ als auch bei $\sideset {}{_{B}}{(N:T)}$, um beidseitige Ideale in $B$. Dies trifft bspw. auf $T=M,N=(0)$ zu: Es ist damit $\operatorname {Ann} (M)=\sideset {_{A}}{}{(0:M)}$ bzw. $\operatorname {Ann} (M)=\sideset {}{_{A}}{(0:M)}$. Allgemeiner ist $\operatorname {Ann} (M/N)=\sideset {_{A}}{}{(N:M)}$ bzw. $\operatorname {Ann} (M/N)=\sideset {}{_{A}}{(N:M)}$ für einen links- bzw. rechtsseitigen Untermodul $N\triangleleft M$. Im Falle $B=A$ wird meistens auf die Angabe des Index verzichtet, wenn nämlich klar ist, von welcher Seite der Ring $A$ operiert, und in diesem Sinne gilt

• $\;\sideset {_{B}}{}{(N:T)}\;\;=B\cap (N:T)$ für Linksmoduln $N\triangleleft M$ bzw.
• $\;\;\;\sideset {}{_{B}}{(N:T)}=B\cap (N:T)$ für Rechtsmoduln $N\triangleleft M$.

Ringe $A$ können als Links- oder Rechts-Moduln über sich selbst betrachtet werden, und zwar (dank der Assoziativität) sogar als Bimodul (oder Doppelmodul) über dem Paar $(A,A)$ von Ringen. Allgemeiner wird nämlich ein Modul $M$, auf dem zwei (oder gar mehrere Ringe) $A_{1},\dots ,A_{n}$ von operieren, nämlich $A_{1},\dots ,A_{r}$ von links und $A_{r+1},\dots ,A_{r+s}$ von rechts ($n=r+s$), ein $(A_{i})_{i}$-Bimodul oder -Doppelmodul ($n=2$) oder -Multimodul ($n\geq 3$) genannt, wenn die zugehörigen Darstellungen $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r},\rho _{1},\dots ,\rho _{s}$ sämtlich paarweise vertauschbar sind.

Ist $I\triangleleft A$ ein Linksideal (bzw. Rechtsideal) in $A$, so heißt

• $\;\;\;\sideset {}{_{A}}{(I:I)}:=\{b\in A\,|\,Ib\subset I\}=:N_{A}(I)$ bzw.
• $\;\sideset {_{A}}{}{(I:I)}\;\;:=\{b\in A\,|\,bI\subset I\}=:N_{A}(I)$

der Normalisator (engl. normalizer) von $I$ in $A$ und ist der größte Teilring von $A$, in welchem $I$ als ein beidseitiges Ideal liegt: $I\triangleleft N_{A}(I)$.

Bezeichnet also also $B:=N_{A}(I)$ den Normalisator eines Links- bzw. Rechtsideals $I$ und setzt man

• $K:=\sideset {}{_{B}}{(I:A)}=\{k\in B\;|\;Ak\subset I\}$ im Falle eines Linksideals $I\triangleleft A$ bzw.
• $K:=\sideset {_{B}}{}{(I:A)}=\{k\in B\;|\;kA\subset I\}$ im Falle eines Rechtsideals $I\triangleleft A$,

so liegt $I\subset K$. Ferner ist im Ring $A$ neben $I$ auch $K$ ein einseitiges Ideal (nämlich Links- bzw. Rechtsideal). Im Teilring $B$ hingegen sind beide, zunächst $I$ und folglich auch $K$, beidseitige Ideale: $K,I\triangleleft B$.

Der Zentralisator strikt zyklischer Moduln

Moduln heißen strikt zyklisch (über $A$), wenn sie $A$-Vielfaches eines Elements sind, d. h., wenn es ein Element $m\in M$ mit

• $M=Am$ im Falle von Linksmoduln $M$ bzw.
• $M=mA$ im Falle von Rechtsmoduln $M$.

Das Adverb „strikt“ weist darauf hin, dass die zyklische Erzeugung allein über $A$ geschieht, nicht zusätzlich über der $\mathbb {Z}$-Modulstruktur der abelschen Gruppe $M$. Das Erzeugnis besteht also nur aus den $A$-Vielfachen des Erzeugenden $m$. Ob darin auch $\mathbb {Z}$-Vielfache (wie $2m:=m+m$) enthalten sind, hängt von $A$ ab.

Für strikt zyklische Linksmoduln $M=Am$ (bzw. Rechtsmoduln $M=mA$; $m\in M$ ein fest gewähltes strikt erzeugendes Element) betrachte das Ordnungsideal

• $I:=(0:m):=\{a\in A|am=0\}$ bzw.
• $I:=(0:m):=\{a\in A|ma=0\}$

des strikt Erzeugenden $m$. Hinweis: Es handelt sich bei $I$ um eine Links- bzw. um ein Rechtsideal, aber nicht notwendig um ein beidseitiges Ideal. Insbesondere ist es im Allgemeinen verschieden vom beidseitigen Annullatorideal $\operatorname {Ann} (M)$, denn $am=0\not \Rightarrow \forall b\in A:abm=0\Leftrightarrow aM=0$. Also darf keineswegs $N_{A}(I)=A$ angenommen werden. Wohl aber ist $I=\operatorname {Ann} (m)=\ker \left(\lambda ^{(m)}\colon A\to M,a\mapsto am\right)$ (bzw. $\rho ^{(m)}\colon a\mapsto ma$).

Für einen strikt zyklischen Modul ist dieser Homomorphismus surjektiv und induziert eine exakte Sequenz

• $0\longrightarrow \sideset {_{A}}{}{(0:m)}\longrightarrow A\longrightarrow M\longrightarrow 0$ von Linksmoduln bzw.
• $0\longrightarrow \sideset {}{_{A}}{(0:m)}\longrightarrow A\longrightarrow M\longrightarrow 0$ von Rechtsmoduln über $A$.

Dann ist also $A/(0:m)\cong M$.

Der Surjektivität der Abbildung $\lambda ^{(m)}$ wegen muss es ein Element $e\in A$ geben, für welches eine (und damit jede) der folgenden vier äquivalenten Aussagen erfüllt ist:

1. $em=m$
2. $\forall a\in A:(ae-a)m=0$
3. $\forall a\in A:ae-a\in I:=(0:m)$
4. $\forall a\in A:ae\equiv a{\pmod {I:=(0:m)}}$

Dieses Element $e$ ist also modulo dem Linksideal $I$ ein Rechtseinselement. Entsprechendes gilt für den Fall eines Rechtsmoduls und seiner Abbildung $\rho ^{(m)}$.

Definition: Ein Linksideal (bzw. Rechtsideal), für das es ein Rechts- (bzw. Links-)-Einselement gibt, heißt modular. Für ein Linksideal $I$ und ein Element $e\in A$ sind also äquivalent:

1. $I$ ist modulares Linksideal mit Rechtseinselement $e$.
2. $A/I$ ist strikt zyklischer Linksmodul mit dem Erzeugenden $e+I$.
3. Es gibt einen strikt zyklischen Linksmodul $M=Am$ mit Erzeugendem $m=em$ und $I=(0:m)$.

Ist ein Linksideal $I$ modular mit Rechtseinselement $e$, so ist das beidseitige Ideal $\sideset {_{A}}{}{(I:A)}=\{b\in A\;|\;bA\subset I\}$ in $I$ enthalten, denn $bA\subset I\Rightarrow b=be\in I$. Ist $I'\triangleleft A$ ein beidseitiges Ideal in $A$ mit $I'\subset I$, so gilt $\forall b'\in I':b'A\subset I'\subset I$, also $I'\subset \sideset {_{A}}{}{(I:A)}$. Also ist $\sideset {_{A}}{}{(I:A)}$ das größte im modularen Linksideal $I$ befindliche beidseitige Ideal in $A$. Beachte hierbei jedoch, dass ein beidseitiges Ideal $I$, welches als Linksideal modular ist, nicht notwendig auch als Rechtsideal modular ist: Es ist dann zwar $I=\sideset {_{A}}{}{(I:A)}$, doch über $\sideset {}{_{A}}{(I:A)}$ lässt sich keine Aussage treffen, da die Existenz eines Linkseinselements für $I$ ungewiss ist.

Strikt zyklische links- bzw. rechtseitige Untermoduln in Ringen sind die links- bzw. rechtsseitigen Hauptideale.

Konstruktion einer Abbildung:

• Für einen strikt zyklischen Linksmodul $M=Am$ konstruiere nun die Abbildung

$\rho ^{*}\colon b\longmapsto \left[\lambda ^{(m)}(a)=am\longmapsto \lambda ^{(m)}(\rho _{b}^{A}(a))=\lambda ^{(m)}(ab)=abm\right]$

• Für einen strikt zyklischen Rechtssmodul $M=mA$ konstruiere nun die Abbildung

$\lambda ^{*}\colon b\longmapsto \left[\rho ^{(m)}(a)=ma\longmapsto \rho ^{(m)}(\lambda _{b}^{A}(a))=\rho ^{(m)}(ba)=mba\right]$

Definitionsbereich und Wohldefiniertheit gehen aus dem folgenden Satz hervor.

<Diagramm erstellen und an dieser Stelle einfügen>

Mit diesen Bezeichnungen gilt nämlich der Satz:

• Für strikt zyklische Linksmoduln $M=Am$ induziert die Abbildung $\rho ^{*}\colon b\longmapsto [\rho ^{*}(b)\colon am\mapsto abm]$ einen Anti-Homomorphismus $N_{A}(I)\longrightarrow Z_{R}(\lambda (A))$ mit Kern $K=\sideset {}{_{N_{A}(I)}}{(I:A)}$, wobei $I:=(0:m)$ ein modulares Linksideal ist. Also besteht ein Anti-Isomorphismus von Ringen: $N_{A}(I)/K{\stackrel {\text{anti}}{\cong }}Z_{R}(S)$.

• Für strikt zyklische Rechtsmoduln $M=mA$ induziert die Abbildung $\lambda ^{*}\colon b\longmapsto [\lambda ^{*}(b)\colon ma\mapsto mba]$ einen Homomorphismus $N_{A}(I)\longrightarrow Z_{R}(\rho (A))$ mit Kern $K=\sideset {_{N_{A}(I)}}{}{(I:A)}$, wobei $I=(0:m)$ ein modulares Rechtsideal ist. Also besteht ein Isomorphismus von Ringen: $N_{A}(I)/K\cong Z_{R}(S)$.

Zur Erläuterung:

Zur Surjektivität beachte zunächst, dass es für einen strikt zyklischen Linksmodul $M=Am$ zu jedem Endomorphismus $f\in R$ ein (nicht notwendig eindeutig) bestimmtes $b\in A$ mit $f(m)=bm$. Wählt man ein solches, so gilt: $f\in Z_{R}(S)\Leftrightarrow \forall a\in A:f(am)=af(m)=abm=\rho ^{*}(b)(a)$. Durch $\rho ^{*}(b)\colon am\mapsto abm$ ist also bei geeignet gewähltem $b$ jedes $f\in Z_{R}(S)$ und damit die Surjektivität von $\rho ^{*}$ gegeben. Dabei gilt notwendig $a\in I\Rightarrow 0=f(0)=f(am)=abm\Leftrightarrow ab\in I$, also $b\in N_{A}(I)=K$, und des Weiteren $f=0\Leftrightarrow \forall a\in A:0=f(am)=abm\Leftrightarrow \forall a\in A:ab\in I\Leftrightarrow b\in \sideset {}{_{N_{A}(I)}}{(I:A)}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}K$.

Dies zeigt gleichermaßen, dass $K=\ker \left(\rho ^{*}\colon N_{A}(I)\rightarrow Z_{R}(\lambda (A)),b\mapsto [am\mapsto abm]\right)$ und dass obiges $b\in N_{A}(I)$ nur modulo $K$ durch $f\in Z_{R}(S)$ bestimmt ist.

Es ist also für jedes $b\in N_{A}(I)$ im Falle strikt zyklischer Linksmoduln die Abbildung $\rho ^{*}(b)=f_{b}\colon M\to M,am\mapsto abm$ (bzw. im Falle strikt zyklischer Rechtsmoduln $\lambda ^{*}(b)=f_{b}\colon M\to M,ma\mapsto mba$) ein $A$-linearer Endomorphismus auf $M$: $f_{b}\in Z_{R}(S)=\operatorname {End} _{A}(M)$. Dabei ist die Abbildung $b\mapsto f_{b}$ im Falle von Linksmoduln ein Anti-Homomorphismus und im Falle von Rechtsmoduln ein Homomorphismus von Ringen: $bc\mapsto f_{bc}=f_{c}\circ f_{b}$ bzw. $bc\mapsto f_{bc}=f_{b}\circ f_{c}$.

Anmerkung: Wenn Endomorphismen $f$ auf derselben Seite von $M$ operieren, auf welcher auch der Ring $A$ auf $M$ operiert, dann handelt es sich um Anti-Homomorphismen. Werden sie auf der Gegenseite notiert, dann handelt es sich um einen Homomorphismus. Daher lässt man vorzugsweise Zentralisator $\Gamma$ und Endomorphismenring $Z_{R}(S)$ „gegenseitig“ (nicht gleichseitig) operieren, so dass sie isomorphe Ringe sind.

Anwendungen

• Ist $A$ Ring mit Rechtseinselement $e$, so ist $A=\sideset {_{A}}{}{A}=\sideset {_{A}}{}{M}$ als Linksmodul über sich selbst strikt zyklisch: $A=Ae$, also strikt erzeugt durch $m=e$, und es ist $I=(0:e)=\{a\in A\;|\;ae=0\}=(0)$, folglich $N_{A}(I)=A$ und $K=\sideset {}{_{A}}{(I:A)}=\{a\in A\;|\;Aea\subset (0)\}$ ist das Linksideal aller rechtsseitigen Annihilatoren von $e$. Folglich sind Ringe mit Rechtseinselement als Linksmoduln strikt zyklisch, und ihr Zentralisator ist anti-isomorph zu $A/K$.
• Linkseinselemente lassen entsprechende Schlüsse über den Ring als Rechtsmodul über sich selbst zu: Ihr Zentralisator ist isomorph zu $A/K$.
• Ist $A$ ein Ring mit (beidseitigem, scil.) Einselement $e=1$, so ist $Ae=A=eA$. Dann ist $I=\operatorname {Ann} (\sideset {_{A}}{}{M})=\{a\in A\;|\;aA=0\}=(0)$, folglich $N_{A}(I)=A$ und $K=(I:A)=\{a\in A\;|\;aA\subset \operatorname {Ann} (A)\}=(0)$, so dass $\rho ^{*}=\rho ^{(1)}\colon A\to \operatorname {End} (\sideset {_{A}}{}{A})$ anti-isomorph: Der Zentralisator eines Ringes $A$ mit Einselement, betrachtet als Linksmodul $\sideset {_{A}}{}{A}$, ist also anti-isomorph zum Ring selbst, zu deuten als von rechts auf sich selbst operierend:

$\rho ^{*}=\rho ^{(1)}\colon A{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {End} ^{\text{opp}}(\sideset {_{A}}{}{A}),\;b\longmapsto [a\mapsto ab]\;.$

• Ebenso ist der Zentralisator eines Ringes $A$ mit Einselement, betrachtet als Rechtsmodul $\sideset {}{_{A}}{A}$, isomorph zum Ring selbst, zu deuten als von links auf sich selbst operierend:

$\lambda ^{*}=\lambda ^{(1)}\colon A{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {End} (\sideset {}{_{A}}{A}),\;b\longmapsto [a\mapsto ba]\;.$

• Ist $M$ ein irreduzibler (oder einfacher) strikt zyklischer Linksmodul (bzw. Rechtsmodul), so ist $A/(0:m)\cong M$. Also ist $I=(0:m)$ ein modulares maximales Linksideal (bzw. Rechtsideal) in $A$. Ist $B=N_{A}(I)$, so bleiben für das linksseitige (bzw. rechtsseitige) Ideal $K\triangleleft A$ nur die Möglichkeiten $K\in \{A,I\}$, da $I\subset K$ und $I$ maximales Linksideal (bzw. Rechtsideal) in $A$. Dabei führt $K=A$ zu einem Widerspruch, hier für den Fall des Linksmoduls gezeigt: Denn nach Definition von $K=\sideset {}{_{B}}{(I:A)}$ ist $AA=AK\subset I$, also $A\subset \sideset {_{A}}{}{(I:A)}$. Da $I$ jedoch modulares Linksideal ist, ist $\sideset {_{A}}{}{(I:A)}$ das größte beidseitige Ideal in $A$, welches in $I$ liegt. Mit $\sideset {_{A}}{}{(I:A)}\subset I$ folgt $A=I$, im Widerpruch zur Maximalität $I\neq A$. Es gilt somit $K=I$, und für den Zentralisator eines einfachen, strikt zyklischen Links- bzw. Rechtsmoduls folgt $\operatorname {End} _{A}(M)=Z_{R}(S){\stackrel {\text{(anti)}}{\cong }}B/I$. Dieser Ring der linkslinearen bzw. rechtslinearen Endomorphismen eines irreduziblen Moduls $M$ ist nach dem Lemma von Schur ein Divisionsring.

Jacobson-Radikal eines assoziativen Ringes

Es sei $A$ ein assoziativer Ring, nicht notwendig mit Einselement. Zur Abkürzung setze:

• $\operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A):=\{I\subset A\;|\;I{\text{ ist modulares, maximales Linksideal in }}A\}$ bzw.
• $\operatorname {RMax} _{\text{mod}}(A):=\{I\subset A\;|\;I{\text{ ist modulares, maximales Rechtsideal in }}A\}$.

Definition: Das Jacobson-Radikal ist definiert als der Durchschnitt aller modularen, maximalen Linksideale.

$\operatorname {Jac} (A):=\bigcap _{I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)}I$

Satz: Das Jacobson-Radikal ist ein beidseitiges Ideal. Denn es gilt

$\operatorname {Jac} (A)=\bigcap _{I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)}(I:A)\qquad {\stackrel {\text{def}}{=}}\qquad \bigcap _{I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)}\;\bigcap _{a\in A}(I:a)\;,$

in Worten: Das Jacobson ist der Durchschnitt aller derjenigen beidseitigen Ideale $(I:A)$, deren jedes als das größte beidseitige Ideale in einem modularen maximalen Linksideal $I$enthalten ist.

Zur Erläuterung: Die Inklusion „$\supset$“ folgt aus $I\supset (I:A)$. – Für die umgekehrte Inklusion „$\subset$“ ist zu zeigen, dass $\operatorname {Jac} (A)\subset (I:A){\stackrel {\text{def}}{=}}\bigcap _{a\in A}(I:a)$ für jedes modulare maximale Linksdeal $I$.

Dies ergibt sich aber aus dem folgenden Lemma über $(I:a)$: Ist $I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)$ und $a\in A$, so ist entweder $(I:a)=A$ oder $(I:a)\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)$.

Zur Begründung betrachte für ein $I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)$ und ein $a\in A$ den Linksquotientenmodul $(Aa+I)/I$ und seine reguläre Darstellung $\lambda _{I}^{(a)}\colon A\to Aa\to (Aa+I)/I\,,x\mapsto xa\mapsto xa+I$ mit dem Kern $(I:a)$ gemäß der exakten Sequenz

$0\longrightarrow (I:a)\longrightarrow A{\stackrel {\lambda _{I}^{(a)}}{\longrightarrow }}(Aa+I)/I\longrightarrow 0\;.$

Es ist also $A/(I:a){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}(Aa+I)/I\,,$ und dabei sind genau zwei Fälle möglich:

1. Fall: Eines der folgenden gleichbedeutenden Kriterien ist erfüllt:
   1. $a\in I$
   2. $Aa\subset I$
   3. $A=(I:a)$
   4. $Aa+I=I$
   5. $\lambda _{I}^{(a)}=0$
2. Fall: $a\notin I$. Da $I$ maximal, erzwingt dies $Aa+I=A$, woraus folgt, dass mit $I$ auch $(I:a)\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)$ liegt.

Tatsächlich ist das Jacobson-Radikal auch der Durchschnitt aller modularen, maximalen Rechtsideale:

$\operatorname {Jac} (A)=\bigcap _{I\in \operatorname {RMax} _{\text{mod}}(A)}I\;$

Zum Nachweis wird das Sternprodukt „$*$“ betrachtet: $a*b:=a+b-ab$. Ist $1\in A$, so gilt $a*b=c\Leftrightarrow (1-a)(1-b)=1-c$. Dieses Produkt ist assoziativ ($a*b*c=a+b+c-(ab+ac+bc)+abc$), nicht distributiv, und die Null agiert als neutrales Element: $0*x=x=x*0$.

Dichtheitssatz von Nathan Jacobson

Vg. Nathan Jacobson, Structure of Rings Chapter I, §§ 2 f.

Existiert bereits: Dichtheitssatz von Jacobson.

Skizze: Voraussetzung (noch mal prüfen): Es sei $R$ ein Ring mit Eins und $M$ ein halbeinfacher Rechts-Modul über $R$. Es bezeichne $S:=\operatorname {End} _{R}(M)$ den Ring der über $R$ rechts-linearen Endomorphismen in $M$. Usw. (Einbettung von R in S). Dann liegt $R$ dicht in $S$ im Sinne der Topologie mit folgenden Umgebungsfiltern für ein $f\in S$:

Zu jeder endlichen Punktmenge $E:=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset M$ bilde $U_{E}(f):=\{g\in S\,|\,\forall x\in E:g(x)=f(x)\}$.

Mit anderen Worten: Zu jedem $f\in S$ und zu jeder endlichen Punktmenge $E\subset M$ lässt sich ein $r\in R$ finden, so dass für jeden Punkt $x\in E$ gilt: $f(x)=x\cdot r$.

Modulbegriffe

endlich erzeugbar -- endlich koerzeugbar (Jantzen, Algebra) Lemma von Nakayama (Jantzen, Algebra) direkter Durchschnitt (gem. Noether in vdWaerden)

Zentralisatorsatz

Folgt aus Skolem-Noether. Liefert Kriterium für Zerfällungskörper.

Azumaya-Algebra über einem Körper

Frage: sollte es einen Artikel namens Azumuya-Algebra geben oder drei Artikel Azumaya-Algebren über Körpern, Azumaya-Algebren über Ringen und Azumaya-Algebren über Schemata und womöglich einen übergreifende Artikel Azumaya-Algebra mit Links zu diesen dreien?

Bezug zu Artikelabschnitt Quaternion#Die Quaternionen als Algebra herstellen?

Definition von Azumaya-Algebren

REDIRECT: Zentraleinfache Algebra, zentral-einfache Algebra.

Es bezeichne $K$ einen kommutativen Körper und $A$ eine unitäre Algebra über $K$.

Vorüberlegungen:

• Da $K$ kommutativ ist, ist es gleichgültig, ob die Multiplikation mit Körperelementen $x\in K$ von rechts $a\cdot x$ oder von links $x\cdot a$ notiert wird.
• Dank der Multiplikation mit der $1\in A$ werde der Körper $K$ zugleich als Teilring von $A$ aufgefasst: $K\subset A,\;x\mapsto 1_{A}\cdot x$.
• Dann liegt nach Definition einer Algebra der Grundkörper $K$ auf jeden Fall im Zentrum der Algebra: $K\subset Z(A):=\{z\in A\mid \forall a\in a\colon z\,a=a\,z\}$ , denn für $x\in K$ ist stets $x\,a=1_{A}\,x\,a=1_{A}\,a\,x=a\,x$ .
• Die Algebra $A$ lässt sich als ein Modul über sich selbst auffassen, und zwar als Rechtsmodul oder aber als Linksmodul. Ein Rechtsideal ${\mathfrak {r}}$ in $A$ ist ein Untermodul des Rechtsmoduls, ein Linksideal ${\mathfrak {l}}$ ein Untermodul des Linksmoduls. Es gilt dann bekanntlich ${\mathfrak {r}}\,A\subset {\mathfrak {r}}$ bzw. $A\,{\mathfrak {l}}\subset {\mathfrak {l}}$.
• Aufgrund von $K\subset A$ sind Rechtsideale und Linksideale insbesondere Vektor(unter)räume über $K$ in der Algebra.
• Hat die Algebra also endliche Dimension, so wird jede Inklusions- oder Teilerkette von Rechtsidealen (bzw. Linksidealen) notwendig stationär: Im Falle absteigender Ketten ${\mathfrak {l_{0}}}\supset {\mathfrak {l_{1}}}\supset {\mathfrak {l_{2}}}\supset \dots$ spricht man von (rechts- (bzw. linksseitig)) artinschen Ringen $A$ (Ringe mit Minimalbedingung), im Falle aufsteigender Ketten ${\mathfrak {l_{0}}}\subset {\mathfrak {l_{1}}}\subset {\mathfrak {l_{2}}}\subset \dots$ von (rechts- (bzw. linksseitig)) noetherschen Ringen $A$ (Ringe mit Maximalbedingung). Man definiert:
  • Ein minimales Rechtsideal ist ein Rechtsideal ${\mathfrak {r}}\neq (0)$, welches kein weiteres nichtverschwindendes Rechtsideal enthält, sondern nur noch das verschwindende (das heißt das triviale Null-Ideal). Die gesamte Algebra $A$ ist also nur dann ein minimales Rechtsideal, wenn sie lediglich zwei Rechtsideale besitzt: das Null-Ideal $(0)$ und sich selbst.
  • Entsprechend werden minimale Linksideale definiert.
• Ein zweiseitiges oder beidseitiges Ideal ${\mathfrak {a}}$ ist zugleich Links- und Rechtsideal: $A{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {a}}\supset {\mathfrak {a}}A$.

Definition: Die Algebra $A$ heißt eine Azumaya-Algebra oder zentraleinfache Algebra, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

• $A$ hat (als Vektorraum) über $K$ endliche Dimension: $\dim _{K}A>\infty$.
• Als Modul über sich selbst betrachtet ist sie einfach, d. h., sie ist ein einfacher Ring, m. a. W., sie besitzt nur die beiden trivialen beidseitigen Ideale $A$ und $\{0\}$; vgl. die Definition für einfacher (und halbeinfacher) Ringe .
• Die Algebra $A$ ist zentral (über $K$), das heißt: Der Körper $K$ ist genau das Zentrum der Algebra: $Z(A)=K$.

Azumaya-Algebren sind also per definitionem zentrale einfache Algebren endlicher Dimension (über ihrem Zentrum (scil.)).

Der Name ehrt den japanischen Mathematiker Azumaya Gorō.

Äquivalente Charakterisierungen

Bezeichnet $A^{\mathrm {op} }$ die Gegenalgebra oder oppositionelle Algebra einer endlichdimensionalen Algebra $A$ und $\operatorname {Mat} (n,R):=\operatorname {Mat} (n\times n,R)$ den Ring quadratischer Matrizen über einem Ring $R$, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $A$ ist Azumaya-Algebra über dem Körper $K$.
• Der folgende $K$-Algebra-Homomorphismus ist ein Isomorphismus:

${\begin{array}{ccc}A\otimes _{K}A^{\mathrm {op} }&\longrightarrow &\operatorname {End} _{K}(A),\\a_{1}\otimes a_{2}&\longmapsto &[\alpha \mapsto a_{1}\cdot \alpha \cdot a_{2}]\end{array}}$

Dabei bezeichnet $\operatorname {End} _{K}$ den Ring aller $K$-linearen Endomorphismen auf $A$, betrachtet als Modul über $K$. Als Ringe sind also (gemäß linearer Algebra) isomorph: $\operatorname {End} _{K}(A)\cong \operatorname {Mat} (n,K)$, wobei $n:=\dim _{K}A$.

• Es gibt eine über $K$ zentrale Divisionsalgebra $D$ und ein $m\in \mathbb {N}$, so dass $A\cong \operatorname {Mat} (m,D)$. In Worten: Die Algebra $A$ ist einem vollen Matrizenring über einem Schiefkörper $D\supset K$ isomorph.
• Es gibt eine Körpererweiterung $L/K$ und für die Skalarerweiterung $A\otimes _{K}L$ einen Isomorphismus von $L$-Algebren $A\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {Mat} (n,L)$ für ein $n\in \mathbb {N}$.

Anmerkung zum dritten Spiegelpunkt: Dabei ergibt sich die zur Azumaya-Algebra $A$ gehörige Divisionsalgebra $D$ als der Endomorphismenring $D=\operatorname {End} _{A}({\mathfrak {r}})$ der $A$-Rechts-Modul-Endomorphismen eines minimalen Rechtsideals ${\mathfrak {r}}$ von $A$ (betrachtet als $A$-Rechtsmodul). Dies Auswahl dieses minimalen Rechtsideal spielt keine Rolle, weil sie alle zueinander isomorph sind. – Dass die Algebra $A$ zentral über $K$ ist, wird allein für die Aussage benötigt, dass auch die zugehörige Divisionalgebra $D$ zentral über $K$ ist. Wird für $A$ und $D$ auf die Eigenschaft der Zentralität verzichtet, bleibt der Satz richtig: Es ist einer der Struktursätze von Wedderburn.

Grundlegende Sätze und Eigenschaften

• Satz von Issai Schur: Endomorphismenring eines minimalen Rechtsideals (Linksideals) ist Divisionsalgebra. (Benennung des Satzes von Draxl und Jacobson überliefert)
• Satz von Artin-Wedderburn (obiger dritter Spiegelpunkt hierher)
• der Satz von Skolem-Noether

u.a.

Ähnlichkeitsklassen von Azumaya-Algebren

Die Isomorphieklasse $[\![A]\!]$ einer Azumaya-Algebra $A$ über dem Körper $K$ ist also bestimmt durch die Isomorphieklasse $[\![D]\!]$ der zugehörigen Divisionsalgebra $D$ und durch die natürliche Zahl $r>0$, so dass $A{\stackrel {\sim }{\to }}\operatorname {Mat} (r,D)$. Sieht man hierbei von der natürlichen Zahl $r$ ab, so gelangt man zu den Ähnlichkeitsklassen, die eine gröbere Äquivalenzrelation induzieren:

Definition: Zwei Azumaya-Algebren $A,B$ über dem Körper $K$ heißen ähnlich, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

1. Die jeweils zugehörigen Divisionsalgebren $D_{A}$ und $D_{B}$ sind als $K$-Algebren isomorph.
2. Für zwei geeignet gewählte natürlich Zahlen $m,n$ besteht ein $K$-Algebra-Isomorphismus

$A\otimes \operatorname {Mat} (m,K){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}B\otimes \operatorname {Mat} (n,K)\;.$

Denn es gilt $A\otimes \operatorname {Mat} (m,K){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {Mat} (m,A){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {Mat} (rm,D)$, wenn $A\cong \operatorname {Mat} (r,D)$, und entsprechend für $B,n,s$ mit $rm=sn$.

In der Ähnlichkeitsklasse $[A]$ einer Azumaya-Algebra liegt genau eine Divisionsalgebra: Diese ist gerade die zu $A$ gehörige Divisionsalgebra $D_{A}$ und kennzeichnet folglich die Ähnlichkeitsklasse.

Als ausgezeichnete Ähnlichkeitsklasse sticht dabei natürlich die besonders einfache Klasse des Körpers $K$ selbst hervor.

Beispiele

Quaternionen-Algebra

Die Algebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen ist eine Azumaya-Algebra über $\mathbb {R}$.

Verallgemeinerte Quaternionen-Algebra

Skizze: Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\operatorname {char} K\neq 2$ und $a,b\in K^{\times },a\neq b$ zwei Körperlemente, so dass $K[{\sqrt {-a}}]/K$ und eine quadratische und folglich galoissche Körpererweiterungen von $K$ ist und $b\in K^{\times }$. Betrachtet man den über $K$ vierdimensionalen Vektorraum $A:=K\oplus K\,j\oplus K\,k\oplus K\,l$ und setzt $j^{2}:=-a,\,\;k^{2}:=-b$ sowie $j\,k:=l=:-k\,j$, so ist eine Algebra über $K$ definiert. Für $x=x_{1}+j\,x_{2}+k\,x_{3}+l\,x_{4}$ setzt man ${\overline {x}}:=x_{1}-j\,x_{2}-k\,x_{3}-l\,x_{4}$, so dass $x{\overline {x}}={\overline {x}}x=x_{1}^{2}+a\,x_{2}^{2}+b\,x_{3}^{2}+ab\,x_{4}^{2}=:Q(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\Vert x\Vert ^{2}$ eine quadratische quaternäre Form mit Werten in $K$ liefert. Diese stellt genau dann die Null dar, wenn es nicht-verschwindende Quaternionen mit verschwindender Norm gibt. Wenn dies nicht der Fall ist, ist die verallgemeinerte Quaternionen-Algebra also eine Divisionsalgebra.

• Ist beispielsweise der Körper $K$ formal reell und sind $a=1=b$, so erhält man also eine Divisionsalgebra.
  • Im Falle $K=\mathbb {R}$ handelt es sich um die reelle Algebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen.

Zyklische Algebren

Die Verallgemeinerte Quaternionen-Algebra ist ein Beispiel für eine zyklische Algebra nach Noether/Hasse. Dabei sei $G$ eine zyklische Gruppe von Automorphismen auf dem Körper $L$ und $b\in L^{G}:=K$ ein Element des Fixkörpers ungleich Null. Die zyklische Algebra $(L,\rho ,b)$ gemäß Emmy Noether und Helmut Hasse ist wie folgt definiert: ...

Die verallgemeinerte Quaternionenalgebra ist gerade $(K[{\sqrt {-a}}],\rho ,b)$, wobei $\rho$ die Konjugation ${\sqrt {-a}}\mapsto -{\sqrt {-a}}$ bezeichnet, welche die Galoisgruppe der Ordnung zwei erzeugt.

Zusammenhang mit dem Normrestsymbol.

Das verschränkte Produkt nach Emmy Noether

Zyklische Algebren sind Beispiele für Azumaya-Algebren, die das verschränkte Produkt eines Körpers $L$ mit einer Gruppe $G$ von Automorphismen auf $K$ nach Emmy Noether sind. Das verschränkte Produkt $A:=(L,G,f)$ nach Emmy Noether einer Galoisschen Körpererweiterung $L/K$ mit der zugehörigen Galois-Gruppe $G=G(L/K)$ (von Automorphismen auf $L$ mit Fixkörper $K$) ist eine Azumaya-Algebra. Sie wird in folgender Weise bis auf Isomorphie definiert: Als Vektorraum über $L$ wird sie frei erzeugt von Basiselementen $u_{\sigma },\,\sigma \in G$:

$A=(L,G,f)=\bigoplus _{\sigma \in G}Lu_{\sigma }$

Die – nicht-kommutative – Multiplikation der Algebra wird folgendermaßen definiert: Für $\lambda \in L$ und jedes $\sigma \in G$: $\lambda u_{\sigma }=u_{\sigma }\lambda ^{\sigma }$, wobei häufig die Notationsweise $\lambda ^{\sigma }:=\sigma (\lambda )\in L$ verwendet wird. Die Multiplikation der Basiselemente untereinander folgt der Festsetzung $u_{\sigma }u_{\tau }=u_{\sigma \tau }f(\sigma ,\tau )\,.$ Dabei ist $f\colon G\times G\to L^{\times }$ eine Abbildung, die so beschaffen sein muss, dass die Assoziativität der Multiplikation $(u_{\rho }u_{\sigma })u_{\tau }=u_{\rho }(u_{\sigma }u_{\tau })$ gewährleistet ist, und dies bedeutet für $f$ die folgende so genannte 2-Kozykel-Bedingung für beliebige $\rho ,\sigma ,\tau \in G$: $f(\rho \sigma ,\tau )\left(f(\rho ,\sigma )\right)^{\tau }=\left(f(\rho ,\sigma \tau )\right)^{\sigma \tau }f(\sigma ,\tau )$ Die Menge der Faktoren $f(\sigma ,\tau )\in L^{\times }$ – oder die Abbildung $f$ selbst – heißt ein Noethersches Faktorensystem oder ein 2-Kozyklus.

Ohne Einschränkung lässt sich erreichen, dass das zum Einheitselement $\epsilon \in G$ gehörige Basiselement $u_{\epsilon }$ die Rolle des Einselements $u_{\epsilon }=1$ der Algebra übernimmt: Dazu skaliere die Basiselemente mit Faktoren $h_{\sigma }=h(\sigma )\in L^{\times }$ nötigenfalls zu neuen Basiselementen $v_{\sigma }=h_{\sigma }u_{\sigma }$. Das zu dieser Basis gehörige Faktorensystem $g$ erfüllt die Beziehung $g(\sigma ,\tau )=$ und heißt ein zu $f$ assoziiertes Faktorensystem. Insbesondere für $\tau =\epsilon$ ist also . ... normierter Kozyklus ...

Es war – basierend auf Arbeiten von Richard Brauer und Leonard Eugene Dickson – Emmy Noether, die erkannte, dass jede Azumaya-Algebra einem verschränkten Produkt ähnlich ist: Siehe #Ähnlichkeitsklassen_und_verschränkte_Produkte.

Gruppenalgebra

$L[G]$ mit $G=G(L/K)$ ist gerade $(L,G,1)$, wobei $1$ den konstanten trivialen Kozyklus bezeichne.

Ähnlichkeitsklassen und verschränkte Produkte

Satz (Emmy Noether): Verschränkte Produkte sind Azumaya-Algebren. Jede Azumaya-Algebra ist einem verschränkten Produkt (L, G, f) ähnlich. Die Isomorphieklasse einer Azumaya-Algebra bestimmt den 2-Kozyklus bis auf einen 2-Korand. Also sind Brauergruppe und die Kohomologiegruppe $H^{2}(G,L^{\times })$ (zunächst nur als Mengen) isomorph.

Grundlegende Sätze zum Tensorprodukt von Algebren

• Tensoreigenschaften
• Z(A) otimes Z(B) = Z(A otimes B) (unter geeigneten Vorauss.)
• Zentralisatorsatz

Die Brauer-Gruppe der Ähnlichkeitsklassen

Durch das Tensorprodukt wird die Menge der Ähnlichkeitsklassen eine Gruppe mit dem ausgezeichneten Element als Einselement.

• Da (nach dem Satz von Wedderburn) jeder endliche Schiefkörper kommutativ ist, ist die Brauergruppe endlicher Körper trivial.
• Die Brauergruppe algebraisch abgeschlossener Körper ist trivial.
• Satz von Brauer-Hasse-Noether

Weiterführende Themen

Azumaya-Algebren über kommutativen Ringen

Insbesondere über lokalen Ringen.

Anmerkung: Körper sind lokale Ringe mit dem maximalen Ideal $(0)$.

Literatur siehe Auslander-Goldman, DeMeyer-Ingraham, Knus-Ojanguren und Orzech-Small.

Azumaya-Algebren über Schemata

Literatur siehe Grothendieck und Milne.

Verallgemeinerung

vgl. englischer Wikipedia-Artikel

Ergänzung zur Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung

in den Artikel verschoben.

Ergänzung zum Tensorprodukt

Tensorprodukt von Algebren

Beispiel aus der Galoistheorie (zu prüfen, ob sinnvoll)

Ist $G=\bigoplus _{1\leq i\leq n}U_{i}$ direkte Summe normaler Untergruppen $U_{i}$ von $G=G(L/K)$, so wird $L=L_{1}\cdots L_{n}$ das „direkte Kompositum“ der Fixkörper $L_{j}=L^{V_{j}}$ sein, die ihrerseits galoissch über Grundkörper $K$ sind, wenn $V_{j}:=\sum _{j\neq i}U_{i}$, das heißt: Ihr Kompositum sollte der gesamte galoissche Erweiterungskörper sein und die Durchschnitte $L_{i}\cap \prod _{j\neq i}L_{j}=K$ für jedes $i$. (Dazu siehe Aufgabensammlung Hasse/Klobe, 2.IV.§17, Aufgaben 11 u 12, Seite 148).

Idee: Ein direktes Kompositum über $K$ und das Tensorprodukt über $K$ dürften als $K$-Algebren isomorph sein, oder? M.a.W.: Dabei sollte $L$ zugleich als $K$-Algebra isomorph zum Tensorprodukt der $K$-Algebren $L_{i}$ sein: $L\simeq \bigotimes _{i}L_{i}$. Aber nicht als Körper!

Schlussfolgerung: Abelsche Erweiterungen lassen sich auf zyklische zurückführen (a.a.O.: Aufgabe 12)

Topologisches Tensorprodukt

Tensorprodukt lokalkonvexer Räume (zu verifizieren)

Sind $E,F$ zwei lokalkonvexe topologische Vektorräume, so kann man $E\otimes F$ mit einer Topologie ausstatten, sodass die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes eine Bijektion zwischen stetigen bilinearen Abbildungen von $E\times F$ in einen lokalkonvexen Raum $G$ und stetigen linearen Abbildungen $E\otimes F\to G$ induziert.

Die Vervollständigung von $E\otimes F$ erfüllt die genannte universelle Eigenschaft für vollständige lokalkonvexe Räume $G$ und wird mit $E{\hat {\otimes }}F$ bezeichnet.

Sind $E,F$ normierte Räume, so ist $E{\hat {\otimes }}F$ die Vervollständigung von $E\otimes F$ bezüglich der Norm

$\|v\|=\inf \left\{\left.\sum \|e_{i}\|\cdot \|f_{i}\|\right|\,v=\sum e_{i}\otimes f_{i}\right\}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ v\in E\otimes F.$

Beispiele

• Ist $E$ ein Banachraum und $\mu$ ein positives Borelmaß auf einem lokalkompakten Raum, so gilt

$L^{1}(\mu ){\hat {\otimes }}E\cong L^{1}(\mu ,E).$