Benutzer:Jml314

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Maaßsche Wellenformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppe operiert auf der oberen Halbebene durch wobei Für festes ist die Abbildung ein Diffeomorphismus. Damit operiert auch auf durch .

Definition des hyperbolischen Laplace Operators[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der hyperbolische Laplace Operator auf wird definiert durch


,


Definition einer Maaßschen Wellenform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe ist eine glatte Funktion auf so dass

für ein

es existiert ein mit für

Gilt außerdem

dann nennen wir Maaß-Spitzenform.

Zusammenhang von Maaßschen Wellenformen und Dirichletreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei nun eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen . Damit hat eine Fourier-Entwicklung der Gestalt , wobei die Koeffizientenfunktionen glatt sind.

Wir beobachten außerdem : ist eine Maaß-Spitzenform genau dann wenn , denn

(*)

wobei in (*) benutzt wurde, dass die Reihe für festes lokal gleichmäßig konvergiert.

Definition: Die K-Besselfunktion ist für definiert durch

.

Das Integral konvergiert für lokal gleichmäßig in und es gilt die Abschätzung

falls .

Damit fällt betragsmäßig exponentiell für . Außerdem gilt für alle , . Für einen Beweis siehe zum Beispiel Deitmar, Automorphe Formen S.55.


Lemma : Fourierkoeffizienten einer Maaßschen Wellenform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der Eigenwert der Maaßschen Wellenform f bezüglich . Sei die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit . Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von

falls . Ist so gilt

mit .

Beweis : Es gilt . Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für

Zusammen folgt für

In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der n-te Fourierkoeffizient von genau ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da f beliebig oft stetig differenzierbar nach y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Für kann man zeigen, dass für jede Lösung dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten existieren so dass gilt .

Für ist jede Lösung der obigen Differentialgleichung von der Form für eindeutige , wobei die K-Besselfunktion und die I-Besselfunktionen ist (Siehe dazu zum Beispiel O.Forster : Analysis 2). Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von (also ) für ein eindeutiges


Sei . Dann operiert i auf allen Funktionen der oberen Halbebene via . Man rechnet leicht nach, dass mit i vertauscht. Wir nennen eine Maaßsche Wellenform gerade, wenn und ungerade wenn . Ist f eine Maaßsche Wellenform, so ist insbesondere damit eine gerade Maaßsche Wellenform und eine ungerade Maaßsche Wellenform und es gilt .


Satz : L-Funktion einer Maaßschen Wellenform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Maaß-Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von als

.

Dann konvergiert die Reihe für und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf fortsetzen.

Ist f gerade oder ungerade so definiert man

wobei falls gerade und falls ungerade ist. Dann erfüllt die Funktionalgleichung

.

Beweis:

Sei f eine Maaß-Spitzenform. Zuerst machen wir uns klar wie schnell die Fourierkoeffizienten von f wachsen.

Behauptung: Es gilt

Beweis: Da f eine Maas-Spitzenform ist, existieren so dass für die Ungleichung gilt. Ist , und ist konjugiert zu modulo so rechnet man leicht nach, dass gilt. Da f invariant unter ist, gilt für  : . Also gilt für die Abschätzung

.

Für und gilt damit

.

Damit finden wir eine Konstante so dass für jedes gilt

.

Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und f ist eine Maas-Spitzenform. Zusammen folgt, dass f auf dem Fundamentalbereich von beschränkt beschränkt ist und damit auf . Damit können wir den obigen Beweis mit wiederholen und erhalten für ein also .


Um den Satz zu beweisen brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von .

Behauptung: Für konvergiert das Integral

absolut und es gilt

.

Beweis: Nach Definition gilt

Wir wenden nun die Transformationsformel auf den Diffeomorphismus

an. Wir erhalten und . Das Jacobi-Matrix ergibt sich als

mit Determinante . Benutzt man nun die Transformationsformel vereinfacht sich obiges Integral zu

und dieses konvergiert absolut für .

Nun zum Beweis des Satzes. Ist f gerade oder ungerade folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten für alle . Sei f zuerst gerade. Dann gilt

Das vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für gilt : . Ebenso zeigt man dass für exponentiell fällt.

Wir definieren nun

,

.

Damit gilt . Da exponentiell fällt für konvergiert für jedes und damit ist eine ganze Funktion (Komplexe Analysis). Nun ist aber invariant unter womit insbesondere folgt.

Wir erhalten nun

.

Damit ist auch eine ganze Funktion und damit ist ganz. Insbesondere kann man damit zu einer ganzen Funktion auf fortsetzen. Weiterhin gilt für die Funktionalgleichung

.

Wenn f ungerade ist, definiert man

.

Dann rechnet man analog zu oben

indem man wieder benutzt, dass die K-Besselfunktion exponential fällt. Wir definieren wieder

,

.

Auch fällt exponentiell für . Damit ist auch wieder eine ganze Funktion. Man rechnet leicht nach, dass gilt . Damit folgt mit einer analogen Rechnung . Damit ist auch im ungeraden Fall ganz und der Satz ist bewiesen..


Beispiel : Die nichtholomorphe Eisensteinreihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lemma: Die Reihe konvergiert absolut in , wenn . Genauer konvergiert die Summe gleichmäßig auf jeder Menge , für jedes Kompaktum und jedes .

Beweis siehe Anton Deitmar, Automorphe Formen Lemma 1.2.1.

Definition der nichtholomorphen Eisenstein-Reihe E[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe wird für und definiert durch

wobei die Gammafunktion ist.

Nach obigen Lemma konvergiert die Reihe absolut in für und lokal gleichmäßig in . Damit ist E als Limes stetiger Funktionen stetig in . Für festes ist sogar holomorph in , da nach Weierstraß der lokalgleichmäßige Limes holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.


Lemma: Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe ist für glatt in .

Beweis: siehe Anton Deitmar, Automorphe Formen Lemma 2.7.3.


Um zu zeigen, dass E tatsächlich invariant in unter der Operation von ist, brauchen wir noch folgendes Lemma.

Lemma: Sei Dann ist die Abbildung

eine Bijektion.

Beweis : siehe Deitmar, Automorphe Formen Lemma 2.7.4.


Nun zur -Invarianz von  :


Proposition:

(a) Sei . . Dann konvergiert absolut in für und es gilt .

(b) Es gilt für jedes .


Beweis:

zu (a): Für gilt . Damit folgt mit obigem Lemma

Damit folgt die absolute Konvergenz in für wieder mit dem ersten Lemma.

Des Weiteren folgt

,

denn die Abbildung ist eine Bijektion.

Damit folgt (a).

zu (b): Für gilt .

Nach (a) ist damit auch invariant unter .


Damit gilt insbesondere , also hat E eine Fourier-Entwicklung.


Satz zur Fourier-Entwicklung von :


Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe besitzt eine Fourier-Enwticklung

wobei die Fourierkoeffizienten gegeben sind durch

.

Für hat E(z,s) eine meromorphe Forsetzung in s auf ganz . Diese ist holomorph bis auf einfache Pole in .

Die Eisenstein-Reihe erfüllt für jedes die Funktionalgleichung

und es gilt lokal gleichmäßig in die Wachstumsbedingung

wobei .

Beweis: siehe Deitmar, Automorphe Formen Satz 2.7.7.


Um zeigen zu können, dass E eine Maaßsche Wellenform ist, fehlt uns noch eine Eigenschaft des hyperbolischen Laplace Operators .

Lemma: vertauscht mit der Operation von auf . Genauer gilt für jedes

Beweis: Die Gruppe wird erzeugt von den Elementen der Form mit , mit und . Man rechnet die Behauptung auf diesen Erzeugern nach und erhält somit die Behauptung für jedes .


Damit können wir nun zeigen, dass E eine Maaßsche Wellenform ist.


Satz : E ist eine Maaßsche Wellenform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis: E ist invariant unter und wächst polynomial für (siehe oben). Wir müssen also nur noch die Eigenwertgleichung bezüglich zeigen. Wegen (vergleiche oben) reicht es die Eigengleichung für zu zeigen. Es gilt

da die Reihen für alle lokal gleichmäßig konvergieren und wir deswegen die Reihenfolge von Differentiation und Summe vertauschen dürfen. Außerdem gilt

.

Da der Laplace Operator mit der Operation von vertauscht, folgt für jedes

und damit .

Damit gilt für die Eigengleichung auch für . Um die Behauptung für jedes zu erhalten, betrachte die Funktion . Man schreibt diese Funktion mit Hilfe der Fourier-Entwicklung von explizit aus und erkennt, dass sie meromorph ist. Nun verschwindet sie aber für , damit ist sie nach dem Identitätssatz identisch Null und die Eigengleichung gilt für jedes .

Maaßsche Wellenformen von Gewicht k[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition: Für beliebiges sei der Operator auf definiert durch

.

Dann gilt offensichtlich , wobei der hyperbolische Laplace Operator ist.


Definition Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht zur Gruppe ist eine glatte Funktion auf so dass

für ein

es existiert ein mit für .


Wir geben nun ein erstes Beispiel einer Maaßschen Wellenform vom Gewicht k>1

Proposition : Sei eine Modulform vom Gewicht zur Gruppe . Dann ist eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht k zur Gruppe .

Beweis: Da g eine Modulform ist, ist g holomorph, also insbesondere glatt in . Damit ist glatt. Sei nun . Dann gilt

.

Da g eine Modulform ist, ist g insbesondere holomorph in , d.h für . Damit existiert aber ein so dass f(z):= für . Wir zeigen nun noch die Eigengleichung für . Da g holomorph ist gelten die Riemannschen Differentialgleichungen, also und damit folgt mit dem Satz von Schwarz . Es gilt dann


Damit ist f eine Maaßsche Form vom Gewicht k zur Gruppe .


Man definiert zudem sogenannte Maaßsche Differentialoperatoren auf durch

und für beliebig.

Dann gilt für jedes

.