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Die p-adische Zahl ist ein Begriff der Zahlentheorie. TODO

Die $p$-adischen Zahlen wurde 1897 erstmals von Kurt Hensel konzipiert und beschrieben. Die ursprüngliche Motivation war es, Potenzreihen in die Zahlentheorie einzuführen, heute gehen die Anwendungsgebiete der $p$-adischen Zahlen jedoch weit darüber hinaus. So kann man zum Beispiel eine $p$-adische Analysis entwickeln, um zahlentheoretische und analytische Methoden zusammenzukoppeln, wie etwa im Beweis des großen Fermatschen Satzes von Andrew Wiles. Auch werden die $p$-adischen Zahlen in Gebieten der Quantenphysik, Kognitionswissenschaft und Informatik angewandt.

Vorkenntnisse

Erweiterung des Zahlenbereichs

Zahlenbereiche sind algebraische Strukturen, die von Menschen durch Abstrahierung natürlich vorkommender quantitativer Beziehungen konstruiert werden. Der erste, formal konstruierte Zahlenbereich sind die mit der Addition und Multiplikation versehenen natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,3\cdots \}$, als Nächstes werden negative Zahlen sowie Brüche eingeführt, somit werden die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ gebildet. Sie ist die kleinste algebraische Struktur, die $\mathbb {N}$ enthält, die u.a. bezüglich der vier Grundrechenarten abgeschlossen ist. Solche Strukturen werden in der abstrakten Algebra als Körper bezeichnet.

Metrik

Die Erweiterung der natürlichen Zahlen auf rationalen Zahlen ist nötig bezüglich der algebraischen Operationen, die Erweiterung der rationalen Zahlen auf reellen Zahlen dient hingegen zur Erfüllung topologischer Bedürfnisse. "Topologisch" bezieht sich hier darauf, der algebraische Struktur eine "Form" zu geben, d.h. Begriffe wie "Weite" oder "Länge" zu definieren, sodass man darauf basierend geometrische und analytische Überlegungen machen kann. Häufig führt man dafür eine Abstandsfunktion, auch als Metrik genannt, ein. Intuitiv kann man den "Abstand" d zweier rationalen Zahlen als der Absolutbetrag ihrer Differenz definieren:

$d(x,y)=|x-y|$.

Der Abstand zweier rationalen Zahlen ist eine nichtnegative rationale Zahl, d. h. die Metrik bzw. Abstandsfunktion $d$ der rationalen Zahlen ist eine Abbildung in die Menge aller nichtnegativen rationalen Zahlen: $\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} ^{+}=\{x\in \mathbb {Q} ;\;\;x\geqslant 0\}$, wobei die Ordnungsrelation auf $\mathbb {Q} ^{+}$ die auf dem Körper der rationalen Zahlen definierte Totalordnung ist. Diese Metrik basiert sich auf die euklidische Geometrie, daher wird sie als der euklidische Abstand bezeichnet.

Vervollständigung

Mithilfe der Metrik auf $\mathbb {Q}$ kann man nun vom Grenzwert sprechen, welcher ein grundliegender Begriff der Analysis ist. Er beschreibt das Verhalten einer Folge, wenn die Indizes ihrer Glieder gegen unendlich läuft. Man sagt, dass ein $a\in \mathbb {Q}$ der Grenzwert einer rationale Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist (bzw. die Folge konvergiert gegen $a$), falls der Abstand der Folgenglieder beim "Gegen-Unendlich-Werden" der Indizes kleiner werden kann als eine beliebig gegebene positive rationale Zahl, formal geschrieben:

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\colon \quad d(a_{n},a)<\varepsilon$.

Wegen der Dreiecksungleichung ist jede rationale Folge mit einem rationalen Grenzwert eine Cauchy-Folge (d.h. wenn die Indizes gegen unendlich läuft, so liegen die Folgenglieder unendlich näher aneinander), formal geschrieben:

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n,m\geq N\colon \quad d(a_{n},a_{m})<\varepsilon$.

Es gibt jedoch rationale Folgen, die die obige Bedingung erfüllen, die aber keinen rationalen Grenzwert besitzen, z. B.

${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{8}},{\frac {8}{13}},\cdots$.

Das heißt also, dass der metrische Raum der rationalen Zahlen bezüglich der Abstandsbestimmung nicht vollständig ist. Es existieren also Längen, die nicht mit einer rationalen Zahl ausgedrückt werden können, darum sollen die rationalen Zahlen erweitert bzw. vervollständigt werden. Nach Georg Cantor soll jede rationale Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzen, und die reellen Zahlen können mithilfe solcher Grenzwerte definiert werden. Offenbar gibt es für jede rationale Zahl eine Cauchy-Folge mit ihr als Grenzwert, z. B. die konstante Folge. Man kann nun eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge aller rationalen Cauchy-Folgen definieren:

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\sim (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\;\;\colon \Longleftrightarrow \;(a_{n}-b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\to 0$.

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ wird also als die Menge aller Äquivalenzklassen aufgefasst. Die Grundrechenarten, Metrik und Ordnungsrelation $\leq$ auf $\mathbb {Q}$ können nun auf ganz $\mathbb {R}$ natürlich induziert werden. Als Wichtigstes kann man zeigen, dass alle reellen Cauchy-Folgen auch reelle Grenzwerte haben, d.h. $\mathbb {R}$ ist ein geordneter und vollständiger metrischer Raum.

Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ gilt als eine Vervollständigung von $\mathbb {Q}$ mit der Betragsfunktion als Metrik. Diese entspricht dem euklidischen Abstand und daher den intuitiven, natürlichen Erkenntnissen, somit werden die reellen Zahlen ein leistungsfähiges Werkzeug zur Beschreibung der empirischen Welt. Die Menge der $p$-adischen Zahlen ist ebenfalls eine Vervollständigung des rationalen Zahlenraums, ihr Unterschied zu den reellen Zahlen besteht aber darin, dass die Abstandsfunktion durch eine andere, nicht intuitive Metrik ersetzt wird.

Konstruktion

Analytische Konstruktion

Die Betragsfunktion wird als Metrik auf den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ eingeführt, und die Äquivalenzklassen der entsprechenden Cauchy-Folgen bilden den vollständigen metrischen Raum $\mathbb {R}$. Die Menge der $p$-adischen Zahlen ist ebenfalls ein vollständiger metrischer Raum, der aber durch die Vervollständigung von $\mathbb {Q}$ bezüglich einer anderen Metrik gebildet wird.

Es sei $p$ eine fest gewählte Primzahl. Ein beliebiges $x\in \mathbb {Q}$ kann in der Bruchform

$x={\frac {a}{b}},\quad a,b\in \mathbb {Z} ,\;b\neq 0$

geschrieben werden. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik hat jede ganze Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Wir betrachten jeweils die Vielfachheit von $p$ in $a$ und $b$, geschrieben als $\operatorname {ord} _{p}(a)$ und $\operatorname {ord} _{p}(b)$. Die p-Bewertung von $x$ wird definiert durch

$\nu _{p}(x)=\operatorname {ord} _{p}(a)-\operatorname {ord} _{p}(b)$,

mit der Konvention $\nu _{p}(0)=+\infty$.

Für $p=5$, $x={\frac {63}{550}}$ gilt zum Beispiel

$\nu _{p}(x)=\operatorname {ord} _{p}(63)-\operatorname {ord} _{p}(550)=0-2=-2$.

Daraufhin kann man die p-adische Metrik (bzw. Abstand) und die dazu gehörige Norm (p-Betrag) definieren:

$\operatorname {d} _{p}(x,y)=p^{-\nu _{p}(x-y)}$,

$|x|_{p}=p^{-\nu _{p}(x)}$.

Beispielsweise gelten

$\operatorname {d} _{5}({\frac {64}{550}},{\frac {1}{550}})=5^{-\nu _{5}({\frac {63}{550}})}=5^{2},\quad \left|{\frac {63}{550}}\right|_{5}=5^{-\nu _{5}({\frac {63}{550}})}=5^{2}$.

Man kann zeigen, dass die Abbildung $\operatorname {d} _{p}$ alle Metrikaxiome erfüllen. Analog zu der Konstruktion von reellen Zahlen kann man auch einen geordneten metrischen Raum $\mathbb {Q} _{p}$ der $p$-adischen Zahlen bilden.

Der Satz von Ostrowski besagt, dass jeder auf $\mathbb {Q}$ definierte nichttriviale Absolutbetrag entweder zur üblichen Betragsfunktion oder zum $p$-adischen Betrag einer Primzahl $p$ äquivalent ist. Es folgt, dass dies alle möglichen Vervollständigungen von $\mathbb {Q}$ (bezüglich einer Metrik) sind.

Algebraische Konstruktion

Hier wird zuerst der Ring $\mathbb {Z} _{p}$ der ganzen $p$-adischen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper $\mathbb {Q} _{p}$.

Wir betrachten nun den Restklassenring $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen modulo $p^{n}$.

Ein natürlicher Ringhomomorphismus $\varphi _{n}$ zwischen $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z}$ ist definiert durch

$\varphi _{n}\colon \;\;\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z} ,\;\;x\mapsto x{\bmod {p^{n-1}}}$.

Bemerkung

Hier steht die unabhängige Variable $x$ für ein Element aus $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$, und $x{\bmod {p^{n-1}}}$ auf der rechten Seite des Abbildungspfeils steht für ein Element aus $\mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z}$, wobei dieses $x$ hier für das natürlich zugehörige Element von $x$ in $\mathbb {Z}$ steht, z.B. für $p=3$ bildet $\varphi _{2}$ die Restklasse ${\bar {7}}_{9}\in \mathbb {Z} /3^{2}\mathbb {Z}$ auf $7{\bmod {3}}$, also auf ${\bar {1}}_{3}\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$. Es wird diese zweideutige Notation benutzt, um die Erklärung des Sachverhalts zu vereinfachen.

Jetzt betrachten wir die Folge $(\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} )_{n\in \mathbb {N} \backslash \{0\}}$ der Restklassenringe, wobei die Restklassen jeweils mit den Ringhomomorphismen $\varphi _{n}$ miteinander verknüpft sind:

$\cdots \;{\xrightarrow {\varphi _{n+1}}}\;\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{n}}}\;\mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{n-1}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {\varphi _{3}}}\;\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{2}}}\;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$.

Wir definieren $\mathbb {Z} _{p}$ als ihr projektiver Limes

$\mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$,

d.h. jede ganze $p$-adische Zahl $a\in \mathbb {Z} _{p}$ wird definiert als die Folge

$a=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \;\}$, $\quad$ wobei $\quad a_{n}\equiv a_{n-1}{\pmod {p^{n-1}}}$.

Es kann gezeigt werden, dass der so definierte Ring $\mathbb {Z} _{p}$ der ganzzahligen $p$-adischen Zahlen isomorph ist zum Unterring $\mathbb {Z} _{p}=\{x\in \mathbb {Q} _{p}\mid |x|_{p}\leqslant 1\}\subseteq \mathbb {Q} _{p}$ der ganzzahligen $p$-adischen Zahlen, wobei $\mathbb {Q} _{p}$ topologisch definiert ist (s. o.).

Nach obiger Definition können die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ natürlich in $\mathbb {Z} _{p}$ "eingebettet" werden, denn jede ganze Zahl kann jeweils bezüglich ihrer Restklasse in $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ eindeutig als eine ganze $p$-adische Zahl dargestellt werden.

Zum Beispiel kann man für $p=3$ die zu $3629$ gehörende ganze $3$-adische Zahl schreiben als

$3629_{3}=\{2,2,11,65,227,713,1442,3629,3629,3629,\cdots \;\}\in \mathbb {Z} _{3}$.

Im obigen Beispiel sieht man, dass die Folge ($a_{n}$) für eine natürliche Zahl $a$ gegen $a$ selbst konvergiert. Für negative Zahlen ist die Situation jedoch komplizierter, zum Beispiel ist

$-1_{3}=\{2,8,26,80,242,\cdots \;\}$.

Da die Ringhomomorphismen $\varphi _{n}$ jeweils die Ringstrukturen erhalten, wird dieselbe Ringsturktur auch natürlich in den Grenzwert $\mathbb {Z} _{p}$ erweitert. Intuitiv kann man es so verstehen, dass $\mathbb {Z} _{p}$ die Grenze der Strukturen von $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ist. Je größer das $n$, desto "ähnlicher" ist $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ zu $\mathbb {Z} _{p}$.

Offensichtlich ist $1_{p}=\{1,1,\cdots ,1,\cdots \;\}$ das Einselement von $\mathbb {Z} _{p}$. Eine ganze $p$-adische Zahl $a\in \mathbb {Z} _{p}=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \;\}$ ist genau dann invertierbar bezüglich der Multiplikation, wenn $a_{1}$ ein invertierbares Element in $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ist. Jedes nicht invertierbare Element $a\in \mathbb {Z} _{p}$ kann geschrieben werden als

$a=p^{v_{p}(a)}u=\{p^{v_{p}(a)}u_{1},p^{v_{p}(a)}u_{2},\cdots ,p^{v_{p}(a)}u_{n},\cdots \;\}$,

wobei $u=\{u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n},\cdots \;\}$ ein invertierbares Element in $\mathbb {Z} _{p}$ ist, und $v_{p}(a)$ heißt die (algebraische) Bewertung der ganzen $p$-adischen Zahl $a$. Man sieht, dass diese Definition der Bewertung äquivalent zu der obigen topologischen Definition ist. Es kann gezeigt werden, dass $\mathbb {Z} _{p}$ ein Integritätsring mit der Charakteristik $0$ ist. Wenn man den Quotientenkörper von $\mathbb {Z} _{p}$ bildet, kann man außerdem zeigen, dass dieser Quotientenkörper ebenfalls topologisch äquivalent zum topologisch gebildeten $\mathbb {Q} _{p}$ ist (mit einem geeigneten topologischen Isomorphismus, der mithilfe des äquivalent definierten $p$-Betrag gebildet wird).

$p$-adische Entwicklung und Zahlensystem

Jede $p$-adische Zahl $x\in \mathbb {Q} _{p}$ hat eine eindeutige p-adische Entwicklung der Form

$x={\frac {\alpha _{-k}}{p^{k}}}+{\frac {\alpha _{-k+1}}{p^{k-1}}}+\cdots +\alpha _{0}+\alpha _{1}p+\cdots +\alpha _{i}p^{i}+\cdots =\sum _{i=-k}^{\infty }\alpha _{i}p^{i}$.

Hierbei steht $k$ für die $p$-Bewertung $\nu _{p}(x)$ von $x$, und es sind $a_{i}\in \{0,1,\cdots ,p-1\}$, $a_{-k}\neq 0$. Die obige unendliche Reihe konvergiert bezüglich der Metrik $\operatorname {d} _{p}$ gegen $x$.

Es sei $x$ eine ganze $p$-adische Zahl mit der Folgendarstellung $\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \}$ und der Entwicklung ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }\alpha _{i}p^{i}}$, dann gilt

$a_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}\alpha _{i}p^{i}$.

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Anwendungen

Zahlentheorie

Bei $p$-adischen Zahlen werden Informationen über Kongruenz in einer spezieller Weise kodiert, was sehr nützlich für Anwendungen auf die Zahlentheorie ist. Zum Beispiel haben sich Mathematiker über 300 Jahre lang daran bemüht, einen Beweis für den Großen Fermatschen Satz zu finden. Dies gelang Andrew Wiles schließlich 1994 mithilfe der $p$-adischen Zahlentheorie, was ein großer Durchbruch der Mathematik bedeutet.

Quantenphysik

Als die Theorie der $p$-adischen Zahlen aufgestellt wurde, galten sie zunächst als ein exotischer Teil der reinen Mathematik ohne praktische Anwendungen. 1968 haben jedoch zwei Reine Mathematiker, Antonie Frans Monna und Frederik van der Blij, vorgeschlagen, $p$-adische Zahlen in die Physik anzuwenden.

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p-adische Systemtheorie

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Informationskodierung

Die Folgendarstellung $p$-adischer Zahlen bietet eine Möglichkeit zur Kodierung von Informationen, deshalb können $p$-adische Zahlen zur Beschreibung zahlreicher Informationsprozessen benutzt werden. Insbesondere können Modelle, die auf $p$-adischen dynamischen Systemen aufgebaut sind, in Gebiete wie Kognitionswissenschaft, Psychologie und Soziologie angewandt werden.