Benutzer:Pyrometer/Baustelle/Orthodrome

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Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche. Eine Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. Im diesem Zusammenhang wird gelegentlich auch der gesamte Großkreis, der den Bogen der kürzesten Verbindung enthält, als Orthodrome bezeichnet.

In der Luftfahrt fliegt man Langstrecken vorzugsweise entlang einer Orthodrome, damit die Flugstrecke möglichst kurz ist. Deshalb wird die Orthodrome auch als Luftlinie bezeichnet.

Allgemeines

Gnomonische Projektion: Großkreise werden zu Geraden

Eine Streckenführung entlang einer Orthodrome kann erheblich von den Erwartungen abweichen, die sich bei der Betrachtung von flachen Landkarten ergeben. So beginnt z. B. die Luftlinie Berlin-Tokio in Richtung Nordosten und führt nördlich beinahe bis an den Polarkreis heran.

Bei Stecken, die so kurz sind, dass die Kugelgestalt der Erde keine wesentliche Rolle spielt, wird auf die Berechnung einer Orthodrome verzichtet.

In einer gnomonischen Projektion auf eine Ebene werden Orthodromen stets als Geraden abgebildet.

Gegenüberstellung von Loxodrome und Orthodrome

Verlängerung der Loxodrome relativ zur Orthodrome entlang des 50. Breitengrades in Prozent.

Bei der Verfolgung einer Orthodrome ändert sich der Kompasskurs während der gesamten Reise langsam, aber beständig. Bei einer Kursverfolgung ohne Rechnerunterstützung kann deshalb statt einer Ortodrome eine Loxodrome als Wegstrecke gewählt werden. Dies ist die Linie, bei der entlang der gesamten Reise der selbe Kurs anliegt, da die Loxodrome alle Meridiane unter gleichem Winkel kreuzt.

Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei niedriger Breite und Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Außerhalb dieser Bereiche steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis.

Berechnung

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen	Bedeutung
$\,\phi$	Geographische Breite
$\,\lambda$	Geographische Länge
$\,A(\phi _{A},\lambda _{A})$	Anfangspunkt
$\,B(\phi _{B},\lambda _{B})$	Endpunkt
$\,P_{N}(\phi _{N},\lambda _{N})$	Nördlichster Punkt (des Großkreises) der Orthodrome
$\,\alpha$	Kurswinkel bei A
$\,\beta$	Kurswinkel bei B
$\,\zeta$	Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist $\,\lambda$ in Richtung Westen negativ, Richtung Osten positiv; $\,\phi$ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel; Die Kurswinkel sind 0° für Norden und nehmen rechtsdrehend bis 360° zu.

Entfernung

Als Winkel der beiden Endpunkte mit Scheitelpunkt im Erdmittelpunkt (Zentriwinkel) lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben:

$\,\zeta =\arccos \left(\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})\right)$

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss $\zeta$ noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für $\zeta$ im Bogenmaß; falls $\zeta$ in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit $2\pi /360$ multipliziert werden).

Kurswinkel

Zur Berechnung des Kurswinkels bestimmen wir zunächst die Hilfsgröße $\alpha _{h}$:

A → B (Raw)

$\alpha _{h}=\arccos \left({\frac {\sin(\phi _{B})-\sin(\phi _{A})\cdot \cos(\zeta )}{\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\zeta )}}\right)$

Sie liefert uns den Betrag des Kurswinkels zwischen 0° und 180°. Für Ostkurse ist dies der endgültige Kurswinkel. Für Westkurse ist die Hilfsgröße als das Maß eines linksdrehenden Winkels zu verstehen. Der Kurs ergibt sich dann als:

Für Westkurse: $\alpha _{A}=360^{\circ }-\alpha _{h}$

Für Ostkurse: $\alpha _{A}=\alpha _{h}$

B → A (Raw)

$\beta =\arccos \left({\frac {\sin(\phi _{A})-\sin(\phi _{B})\cdot \cos(\zeta )}{\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\zeta )}}\right)$

Eigenschaften:

Die geog. Länge geht nicht direkt ein. (Allerdings in gewisser Weise mittelbar, da sie in der Distanz steckt.)

Der arccos liefert nur Werte zwischen [0°..180°]. Demnach wird keinesfalls ein Kurs mit Westkomponente geliefert.

Also KANN die Formal nicht die ganze Wahrheit sein.

(Sie könnte aber so zu verstehen sein, dass der A stets westlich vom B einzugeben ist. Falls der gewünschte Startpunkt der Punkt B ist, ergäbe sich der Startkurs als Gegenkurs zum Kurs in B. Oder er würde dann über den Nordpunkt und die Wegformel ermittelt.)

Wenn man den Zielpunkt an der Meridianebene des Startpunktes spiegelt, ändert sich sonst nichts. Die Formel liefert für (symmetrische) Ost- und Westkurse identische Startkurse (nach Osten). Wenn sie überhaupt stimmt, (was ich für gesichert halte), so ergeben sich die Westkurse durch Interpretation des Winkelmaßes als linksdrehend für Westkurse.

Zähler:

sin(Breite1) -> [-1..1]

sin(Breite2) -> [-1..1]

Nenner:

Der Cosinus einer Breite [-90°..90°] ist stets in [0..1] und am Äquator maximal=1.

Der Sinus des Zentriwinkels [0..180°] ist stets in [0..1]. Maximum für 90°, darüber wieder fallend.

Der Nenner ist stets in [0..1].

Der Nenner vergrößert das Ergebnis.

Kleinste Vergrößerung (=1) für Äquator und Distanz 90°.

Sonst umso höher, je näher am Pol und

je weiter die Distanz von 90° abweicht.

Die beiden Parameter $\alpha$ und $\beta$ lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden $\phi _{A}$ bzw. $\phi _{B}$ und $\lambda _{A}$ bzw. $\lambda _{B}$ bestimmen:

$\alpha =\arccos \left({\frac {\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}\right)$

rechtweisende Kurse A → B

$\,rwK_{A}=\alpha$

$\,rwK_{B}=180^{\circ }-\beta$ (Spiegelung von Beta am Äquator)

rechtweisende Kurse B → A

$\,rwK_{B}=360^{\circ }-\beta$ (Spiegelung von Beta am Meridian)

$\,rwK_{A}=180^{\circ }+\alpha$ (Gegenrichtung von Alpha)

Nördlichster Punkt und gesamter Weg

Für Berechnungen mit Orthodromen ist der nördlichste Punkt $P_{N}(\phi _{N},\lambda _{N})$ des Großkreises von besonderer Bedeutung. Die Lage dieses Punktes beschreibt (außer bei Meridianen) den Großkreis eindeutig und lässt die Berechnung aller Punkte $P(\phi ,\lambda )$ auf dem Kreis nach einer einfachen Formel zu:

$tan(\phi )=tan(\phi _{N})\cdot cos(\lambda -\lambda _{N})$ (mit phi_n <> 0, sonst "gut" für alle Werte)

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel $\alpha$:

$\,\phi _{N}=\arccos \left(\sin(|\alpha _{A}|)\cdot \cos(\phi _{A})\right)$ ("gut" für alle Werte)

$\lambda _{N}=\lambda _{A}+\operatorname {sgn} (\alpha _{A})\cdot \left|\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right)\right|$ (Mit alpha<>0 und phi_A<>0, also kein Meridiankurs.)

Hierin ist sgn() die Signumfunktion. Ergebnisse außerhalb ±180° (±$\pi$ rad) müssen durch Addition oder Subtraktion von 360° (2$\pi$ rad) in den Wertebereich der geographischen Längen versetzt werden.

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin–Tokio

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

• Berlin
  • 52° 31' 0" N = 52,517°
  • 13° 24' 0" E = 13,40°
• Tokio
  • 35° 42' 0" N = 35,70°
  • 139° 46' 0" E = 139,767°

Winkelberechnung

$\,\phi _{A}=52{,}517^{\circ }$

$\,\lambda _{A}=13{,}40^{\circ }$

$\,\phi _{B}=35{,}70^{\circ }$

$\,\lambda _{B}=139{,}767^{\circ }$

$\,\zeta =\arccos {\Big (}\sin(\phi _{A})\sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cos(\phi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}){\Big )}$

$\,\zeta =\arccos {\Big (}\sin(52{,}517^{\circ })\sin(35{,}70^{\circ })+\cos(52{,}52^{\circ })\cos(35{,}70^{\circ })\cos(139{,}767^{\circ }-13,40^{\circ }){\Big )}$

$\,\zeta =\arccos(0{,}79353\cdot 0{,}58354+0{,}60853\cdot 0{,}81208\cdot (-0{,}59296))$

$\,\zeta =\arccos(0{,}1700)$

$\,\zeta =80{,}212^{\circ }$ bzw. $\,\zeta =1{,}400$ (Bogenmaß)

Pyro: Genau: 80,2100450054

Streckenberechnung

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit U = 40.000 km bzw. 6.370 km Radius ausgegangen.

$L={\frac {\zeta }{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km}$

$L={\frac {80{,}212^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km}$

$L=8912\ \mathrm {km}$

Oder für $\,\zeta$ im Bogenmaß:

$L=\zeta \cdot 6370\ \mathrm {km}$

$L=8918\ \mathrm {km}$

Pyro: Wenn wir die Berechnungsmethoden "fair" einander gegenüber stellen wollen, dann müssen wir auch diese Rechnung mit Präzision durchführen. Die beiden Erddurchmesser sind laut Erde 12.756,32 und 12.713,55 (ca. 10m genau). Mittelwert 12734,935 km. Daraus ergeben sich 8914,0048200056 km (mit ca. 2 relevanten Stellen hinter dem Komma.

Das ist aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur eine Näherung. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokyo kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 %. weicht also über 25km von der einfachen Berechnung ab.

Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrundegelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoiden verwendet werden, müssen die Parameter $a$ (Radius) und $f$ (Abplattung) angepasst werden.

Voraussetzung ist, dass der Abstand zwischen beiden Standorten ausreichend groß ist. Andernfalls kann eine Division durch Null auftreten. Außerdem müssen die trigonometrischen Funktionen ($\sin ,\cos$) im Bogenmaß rechnen.

Seien $b_{1}$ die geografische Breite von Standort 1, $l_{1}$ die geografische Länge von Standort 1, $b_{2}$ die geografische Breite von Standort 2, $l_{2}$ die geografische Länge von Standort 2 im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde: $f:={\frac {1}{298{,}257\,223\,563}}$

Äquatorradius der Erde in Kilometern: $a:={\frac {6\,378\,137}{1000}}$

$F:={\frac {b_{1}+b_{2}}{2}}$, $G:={\frac {b_{1}-b_{2}}{2}}$, $l:={\frac {l_{1}-l_{2}}{2}}$

Die Parameter müssen nun in das Bogenmaß umgerechnet werden:

$F:={\frac {\pi }{180}}\cdot F$, $G:={\frac {\pi }{180}}\cdot G$, $l:={\frac {\pi }{180}}\cdot l$

Nun wird der grobe Abstand $D$ ermittelt:

$S:=(\sin {G})^{2}\cdot (\cos {l})^{2}+(\cos {F})^{2}\cdot (\sin {l})^{2}$

$C:=(\cos {G})^{2}\cdot (\cos {l})^{2}+(\sin {F})^{2}\cdot (\sin {l})^{2}$

$w:=\arctan {\sqrt {\frac {S}{C}}}$

$D:=2\cdot w\cdot a$

Der Abstand $D$ muss nun durch die Faktoren $H_{1}$ und $H_{2}$ korrigiert werden:

$R:={\frac {\sqrt {S\cdot C}}{w}}$

$H_{1}:={\frac {3\cdot R-1}{2\cdot C}}$

$H_{2}:={\frac {3\cdot R+1}{2\cdot S}}$

Der Abstand $s$ in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

$s:=D\cdot \left(1+f\cdot H_{1}\cdot (\sin {F})^{2}\cdot (\cos {G})^{2}-f\cdot H_{2}\cdot (\cos {F})^{2}\cdot (\sin {G})^{2}\right)$

Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio

   b1 := 52,5167
   l1 := 13,4000
   b2 := 35,7000
   l2 := 139,7667

   f := 0,003352811
   a := 6378,137

   F := 44,10833333
   G := 8,408333333
   l := -63,18333333
   S := 0,414982619
   C := 0,585017381
   w := 0,699965691
   R := 0,703918833
   D := 8928,958342
   H1 := 0,950190999
   H2 := 3,749261245

   s := 8941,201228 km

Siehe auch

• Geodätische Linie
• Abweitung

Weblinks

• Berechnung der Entfernung zwischen zwei geographischen Koordinaten
• Berechnung der Entfernung zwischen zwei oder mehr Orten auf der Erde mit Kartendarstellung (englisch)
• Great Circle Mapper - Great Circle mapper including ETOPS ranges (englisch)
• Abstandsberechnung am WGS84 Ellipsoid - Konkrete Umsetzung des Problems in PHP (als PDF)

Quellen

Formel zur genaueren Abstandsberechnung:

• Meeus, J.: Astronomical Algorithms, S 85, Willmann-Bell, Richmond 2000 (2nd ed., 2nd printing), ISBN 0-943396-61-1

• Loxodrome

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