Benutzer:Pyrrhocorax/Grundgleichung der Mechanik

Die Grundgleichung der Mechanik besagt, dass ein Körper der Masse ${\displaystyle }$ eine Beschleunigung ${\vec {a}}$ erfährt, die proportional zu der auf den Körper wirkenden Kraft ${\vec {F}}$ ist. Sie lautet

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$.

Etwas anders und allgemeiner formuliert, drückt die Grundgleichung der Mechanik aus, dass eine Kraft gleich der Änderungsrate des Impulses des Körpers ist:

${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}$.

Falls mehrere Kräfte auf einen Körper einwirken, steht ${\vec {F}}$ für die Vektorsumme dieser Kräfte, also für die so genannte resultierende Kraft.

Dieses Gesetz geht auf das zweite Newtonsche Axiom zurück, stammt aber in seiner heutigen Formulierung von Euler (?).

Quellen

14,4 kg Bücherstapel von Optik und Mathematik zur Recherche von WP Einzelnachweisen

Zur Klärung der Benennung habe ich weitere 3,2 kg Literatur besorgt. In den Sachwortverzeichnissen von 4 deutschsprachigen Standardwerken findet sich der Begriff nicht, aber in diesen:

• Horst Kuchling: Taschenbuch der Physik. Hrsg.: VEB Fachbuchverlag Leipzig. 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun 1982, ISBN 3-87144-097-3, 7.1.1 Masse und Kraft, S. 98. 
• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. Hrsg.: Horst Stöcker. 5. Auflage. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2007, ISBN 3-8171-1720-5, 2.1.2.2 Grundgesetz der Dynamik (Zweites Newtonsches Gesetz), S. 35 f. 
• Klaus Lüders • Gerhard von Oppen: Lehrbuch der Experimentalphysik. Band 1: Mechanik, Akustik, Wärme. Hrsg.: Bergmann • Schaefer. 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin • New York 2008, ISBN 978-3-11-019311-4, 3.2 Kraftbegriff und Grundgesetz der Dynamik, S. 72. 
• Klaus Lüders • Gerhard von Oppen: Lehrbuch der Experimentalphysik. Band 1: Mechanik, Akustik, Wärme. Hrsg.: Bergmann • Schaefer. 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin • New York 2008, ISBN 978-3-11-019311-4, 8.1 Drehimpuls, S. 245. 
• Herbert A. Stuart • Gerhard Klages: Kurzes Lehrbuch der Physik. Hrsg.: Gerhard Klages. 18. Auflage. Springer-Verlag, Berlin • Heidelberg 2006, ISBN 3-540-23146-3, 2.3.1 Träge Masse und Kraft, S. 12. 

-- Heribert3 (Diskussion/Talk) 02:59, 28. Nov. 2022 (CET)

Grundlagen und Interpretation

Das ersten Newtonsche Axiom besagt, dass sich alle kräftefreien Körper gleichförmig und geradlinig bewegen. Folglich sind für Änderungen des Bewegungszustands Kräfte erforderlich. Deswegen definierte Isaac Newton die Kraft durch die Änderungsrate des Impulses eines Körpers. Damit ergibt sich auch die Einheit der Kraft im internationalen Einheitensystem ganz zwanglos aus den Basiseinheiten:

$[F]=[m][a]=\mathrm {kg\cdot {\frac {m}{s^{2}}}}$

Diese Einheit trägt seit 1913 den Namen „Newton“. Falls die Einheit der Kraft vorher schon auf andere Weise definiert wurde – wie beispielsweise früher die Einheit Kilopond – dann steht in der Grundgleichung der Mechanik ein Umrechnungsfaktor, der nur von der Definition der verwendeten Einheiten abhängt.

Die Grundgleichung der Mechanik kann auf drei verschiedene Weisen gelesen werden:

• $F=ma$ : Man kann aus der Bewegung eines Körpers auf die Kräfte, die auf ihn wirken schließen. Beispielsweise wurde die Existenz des Planeten Neptun aus Anomalien der Uranus-Bahn hergeleitet. Gewisse Beschleunigungen des Uranus konnte man nur erklären, wenn man annahm, dass es einen massiven Körper in der Nähe des Uranus gab, der durch seine Gravitationskräfte die Bahn des Uranus störte. Im Jahr 1846 konnte Johann Gottfried Galle den postulierten Planeten an der vorhergesagten Stelle beobachten.
• $a={\frac {F}{m}}$: Kennt man die Kräfte, die auf einen Körper einwirken, kann man die Bewegung des Körpers unter ihrem Einfluss vorhersagen. Ein Stein mit einer Masse von 1 kg erfährt auf der Erde eine Gewichtskraft von 9,81 N. Lässt man ihn los, so fällt er mit einer Beschleunigung von $a={\frac {F}{m}}=\mathrm {9,81ms^{-2}}$ zu Boden.
• $m={\frac {F}{a}}$ : Ein Sektorfeld-Massenspektrometer beruht ihm Wesentlichen darauf, dass man die Beschleunigung misst, die ein geladenes Teilchen unter dem Einfluss eines bekannten magnetischen Feldes erfährt. Daraus kann man dann auf die Masse des Teilchens schließen.

Meistens ist die Masse des beobachteten Körpers konstant. Dann reicht es, die Beschleunigung, also die Änderungsrate der Geschwindigkeit eines Körpers zu betrachten. Es gibt aber Fälle, in denen sich nicht nur seine Geschwindigkeit ändern kann, sondern auch seine Masse. In diesen Fällen ist es richtiger, die Kraft als Änderungsrate des Impulses zu verstehen.

$F={\dot {p}}={\dot {m}}v+m{\dot {v}}$

Dies ist beispielsweise bei Raketentriebwerken von Bedeutung. Deren Schubkraft kann man aus dem Massendurchsatz ${\dot {m}}$ berechnen, sofern man eine konstante Ausstoßgeschwindigkeit der Rückstoßmasse $v=\mathrm {const.}$ voraussetzt: $F=\cdot mv$.

Üblicherweise ist mit der Bezeichnung Grundgleichung der Mechanik nur diese Gleichung gemeint, also die Verknüpfung einer Kraft mit der Änderung des Impulses. Es gibt jedoch eine entsprechende Gleichung für die Wirkung eines Drehmoments als Änderung des Drehimpulses:

${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}$

(Man erhält diese Gleichung, indem man die herkömmliche Grundgleichung der Mechanik vektoriell mit dem Radiusvektor multipliziert und gegebenenfalls über alle Massepunkte integriert.)

Die Grundgleichung der Mechanik als Differentialgleichung

Im Allgemeinen ist die Kraft ${\vec {F}}$ nicht konstant, sondern vom Ort ${\vec {r}}(t)$ und eventuell auch explizit von der Zeit $t$ abhängig. Gehen wir zunächst von einer Kraft auf einen Massepunkt aus, die zwar orts- aber nicht zeitabhängig ist ${\vec {F}}({\vec {r}})$. In diesem Fall lautet die Grundgleichung der Mechanik:

${\vec {F}}({\vec {r}})=m{\ddot {\vec {r}}}$

Dies ist eine homogene, gewöhnliche Differentialgleichung zweiten Grades. Ihre Lösungen sind die möglichen Trajektorien des Massepunktes.

Beispiele:

• ${\vec {F}}({\vec {r}})=\mathrm {const.}$. Die Kraft hängt nicht vom Ort ab. Es handelt sich also um ein homogenes Kraftfeld. Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind parabelförmige Trajektorien. Je nach Anfangsbedingungen können sich auch beschleunigte geradlinige Bewegungen ergeben. Dieser Fall beschreibt alle Wurfbewegungen (senkrecht, waagrecht, schräg) im homogenen Gravitationsfeld ohne Luftwiderstand, aber auch die Bewegung geladener Teilchen im homogenen elektrischen Feld.
• ${\vec {F}}({\vec {r}})=-D{\vec {r}}$. Die Kraft ist immer auf den Koordinatenursprung (die so genannte „Gleichgewichtslage“) hin gerichtet und proportional zur Entfernung. Dieses Kraftgesetz ist charakteristisch für den harmonischen Oszillator (ohne Dämpfung). Die Lösungen periodische Funktionen. Im eindimensionalen Fall ergeben sich harmonische Schwingungen der Gestalt $r(t)={\hat {r}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})$. In zwei oder drei Dimensionen sind die Lösungen elliptische Rotationen um den Koordinatenursprung.
• ${\vec {F}}({\vec {r}})=-{\frac {k}{r^{3}}}\cdot {\vec {r}}$. Dieses Kraftgesetz beschreibt das Coulomb-Feld oder das klassische Gravitations-Feld um einen punktförmigen Zentralkörper. Die Lösungen sind je nach Anfangsgeschwindigkeit elliptische, parabelförmige oder hyperbelförmige Trajektorien. In sehr guter Näherung beruhen darauf unter anderem die elliptsichen („keplerschen“) Planetenbahnen.

Die Grundgleichung der Mechanik ist auch dann prinzipiell gültig, wenn die Kraft geschwindigkeitsabhängig (Reibungskräfte, Lorentz-Kraft, ...) oder explizit zeitabhängig ist, oder wenn mehr als ein Massepunkt beteiligt ist. Dann wird jedoch die Formulierung und die insbesondere die Lösung erheblich komplizierter. Bereits das Dreikörper-Problem, d. h. die Bewegung von drei Körpern vergleichbarer Masse unter dem Einfluss ihrer gegenseitiger Gravitationswirkungen, ist nicht mehr analytisch lösbar.