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Zusammenhang von Arbeit und Energie

Einfache Beschreibung: Die Arbeit in der Energiebilanz eines Körpers

Die Energie ist eine Eigenschaft eines Körpers, die sich nach dem Energieerhaltungssatz nicht von selbst ändert. Das bedeutet, dass sich die Gesamtenergie eines Körpers nur durch Energiezufuhr aus der Umgebung oder Energieabgabe an die Umgebung verändern kann. Allerdings setzt sich die Gesamtenergie des Körpers aus verschiedenen Energieformen zusammen, deren jeweiliger Anteil sich sehr wohl ändern kann.

In der Mechanik sind zunächst nur zwei Energieformen von Belang: Die Bewegungsenergie (auch kinetische Energie) und die Lageenergie (auch potentielle Energie).

• Die Bewegungsenergie $E_{\mathrm {kin} }$ hat ein Körper der Masseallein wegen seiner Bewegung mit einer gewissen Geschwindigkeit $v$.
• Die Lageenergie $E_{\mathrm {pot} }$ hat ein Körper aufgrund seiner Position in einem Feld. Hier können alle Einflüsse hineinspielen, die Kräfte auf den Körper ausüben (also beispielsweise die Gravitation, elektrische Kräfte, Federn, ...) . In der Anwendung ist die Lageenergie im Schwerefeld aufgrund der Höhe eines Körpers oft am wichtigsten.

Falls keine anderen Energieformen berücksichtigt werden müssen, gilt: $E=E_{\mathrm {kin} }+E_{\mathrm {pot} }=\mathrm {konst.}$ (solange keine Energie zugeführt oder abgeführt wird).

Diese Energie ändert sich jedoch, wenn der Körper sich unter dem Einfluss einer Kraft um eine gewisse Strecke bewegt, sprich: wenn Arbeit verrichtet wird.

Beispiele:

• Eine U-Bahn mit einer Masse von 60t wird auf einer Strecke von 100 m durch die konstante Kraft von 60 kN beschleunigt. Die Arbeit, die von den Antriebsmotoren verrichtet wird, beträgt $W=Fs=60\,\mathrm {kN} \cdot \,100\mathrm {m} =6000\,\mathrm {kJ}$. Die einzige Energieform, die die fahrende Bahn besitzt, ist die kinetische Energie. Folglich nimmt diese auch um den Energiebetrag $6000\,\mathrm {kJ}$ zu.
• Ein Kran hebt auf einer Baustelle eine Palette mit Steinen, die eine Masse von 500 kg hat, auf das Dach in 10 m Höhe. Die Gewichtskraft beträgt $mg=500\,\mathrm {kg} \cdot 9,81\,\mathrm {ms^{-2}} \approx 5000\,\mathrm {N}$ Dabei verrichtet der Kran eine Arbeit von $W=Fs=5000\,\mathrm {N} \cdot 10\,\mathrm {m} =50\,\mathrm {kJ}$. Folglich nimmt die potentielle Energie der Steine um $50\,\mathrm {kJ}$ zu.

Arbeit und Systeme

Ein physikalisches System ist ein Gruppe aus Körpern, die sich gemeinsam räumlich eingrenzen lassen. Die Grenze heißt "Systemgrenze" und ist bei allen Bilanzierungen wesentlich. Man unterscheidet innere und äußere Kräfte. Innere Kräfte wirken zwischen Körpern, die sich beide innerhalb der Systemgrenzen befinden. Äußere Kräfte wirken zwar auf Körper innerhalb des Systems. Ihre Ursache liegt aber außerhalb der Systemgrenzen. Die Gewichtskraft wird beispielsweise durch den Planeten Erde hervorgerufen. Sofern die Erde als Ganzes in den Systemgrenzen enthalten ist, kann man die Gewichtskraft als innere Kraft ansehen, ansonsten ist sie eine äußere Kraft.

Systeme, die aus einem Körper bestehen

Offensichtlich ist in Systemen, die nur einen einzelnen Körper enthalten, jede Kraft eine äußere Kraft. Sie bewirkt nach der Grundgleichung der Mechanik

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

dass der Körper eine Beschleunigung erfährt. Die Arbeit, die die Kraft an dem Körper verrichtet, erhält man, indem man die Gleichung auf beiden Seiten mit der infinitesimalen Wegstrecke $\mathrm {d} {\vec {s}}$ multipliziert und dann über den gesamten Weg integriert:

$W=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\int _{A}^{B}m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=m\int _{A}^{B}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}=T_{B}-T_{A}$

kurz: $W=\Delta T$

(mit der kinetischen Energie $T={\frac {1}{2}}mv^{2}$)

Diese Beziehung, die gelegentlich Arbeitssatz genannt wird, besagt also, dass sich die kinetische Energie eines Körpers genau um die aufgebrachte Arbeit ändert.

Systeme, die aus mehreren Körpern bestehen

Sobald man sich mit Systemen beschäftigt, die aus mehr als einem Körper bestehen, müssen die Wechselwirkungen zwischen diesen Körpern berücksichtigt werden. Man kann nun zwischen der Arbeit innerer und äußerer Kräfte unterscheiden. Die Gesamtarbeit beträgt nun

$W_{\mathrm {ges.} }=W_{\mathrm {ext.} }+W_{\mathrm {int.} }$

Wenn man bei den inneren Kräften von konservativen Kräften ausgeht, lassen sich diese aus dem Potentialfeld ableiten. Daraus lässt sich schließen, dass die Arbeit der inneren Kräfte insgesamt eine Veränderung der gesamten potentiellen Energie $V$ bewirken:

$W_{\mathrm {int.} }=-\Delta V$

Da nach dem Arbeitssatz die Arbeit aller (innerer und äußerer) Kräfte insgesamt die kinetische Energie $T=\sum _{i}T_{i}$ verändert, folgt:

$\Delta T=W_{\mathrm {ext.} }-\Delta V$

Das bedeutet, dass die Arbeit aller äußeren Kräfte zu einer Änderung der Gesamtenergie $E=T+V$ führt:

$W_{\mathrm {ext.} }=\Delta T+\Delta V$

Aus diesem Grund wird bisweilen (vor allem im Physik-Unterricht der Schule) formuliert, dass die (positive) Arbeit, einem System die Energiemenge $\Delta E_{\mathrm {mech.} }=W=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$ zuführt (Hier für die Arbeit einer äußeren Kraft formuliert. Die Formel kann jedoch auch leicht auf die Arbeit mehrerer Kräfte verallgemeinert werden). Da die Arbeit innerer Kräfte zur Änderung der Gesamtenergie gar keinen Beitrag leistet, wird sie oft gar nicht mit „Arbeit“, sondern mit „Energieumwandlung“ bezeichnet.