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Kreisumfang (Vorschau, -noch in Bearbeitung)

Definition

Der Kreisumfang wird als Länge der Kreislinie verstanden, welche die Kreisfläche umschließt und eingrenzt. Die Kreislinie ist damit die Grenzkurve der Kreisfläche. Die Kreislinie trennt die Innenfläche des Kreises von der Aussenfläche des Kreises, ohne dabei selbst eine Querausdehnung zu haben. Der Quotient der Kreisumfanglänge zum Kreisdurchmesser ist das Kreisverhältnis $\pi$ und das Zahlen-Verhältnis bzw. der Quotient der Zahl der Kreisumfanglänge zur Zahl des Kreisdurchmessers heisst auch Kreiszahl $\pi$_Zahl. == Berechnen des Kreisumfangs == #WEITERLEITUNG Kreisverhältnis und Kreiszahl

=== Numerisches Berechnen === Das Berechnen des Kreisumfangs ist die Aufgabe, die gestreckte Länge der die Kreisfläche umschließenden krummen Kreislinie zu berechnen. Bei einem numerischen Berechnen wird mit entdeckten unendlichen Berechnungsprozessen eine abbildende Zahldarstellung errechnet. Dabei wird immer nur ein genähertes Zahlabbild erreicht, denn von den unendlich vielen bekannten Schritten des unendlichen Berechnungsprozesses können aus Zeit und Aufwandgründen immer nur wenige ausgeführt werden. Allerdings wird hier schon mit wenigen Schritten eine für das reale Leben befriedigende ausreichend genaue Zahldarstellung erreicht.

====Archimedes==== Archimedes von Syrakus bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Das jeweilige Verhältnis ergibt also in beiden Fällen das Kreisverhältnis von konstanter Grösse, das eine mathematische Konstante ist. Für die Berechnungsmethode des Archimedes mit den Vielecken ist keine Massnahme zur Erhöhung der der Konvergenzgeschwindigkeit bekannt. Willebrord Snellius (1580-1621 und Christian Huygens (1629-1693 erreichten mit mit einer von der Vieleck-Methode des Archimedes abweichenden Methode die gleiche Genauigkeit wie Archimedes mit dem regulären 96-Eck.

====François Viète ==== Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener $2^{n}$-Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für $\pi$ in Form eines unendlichen Produktes ab: : ${\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots ={\frac {2}{\pi }}$ Für die Berechnungsmethode des Viete mit dem unendlichen Produkt ist keine Massnahme zur Erhöhung der Konvergenzgeschwindigkeit bekannt.

====Wallis-Produkt====

John Wallis

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt:

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots ={\frac {\pi }{2}}$

Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}$

Erhöhen der Konvergenzgeschwindigkeit

Für die wallissche Berechnungsmethode ist folgende Massnahme zur Erhöhung der Konvergenzgeschwindigkeit bekannt: Werden beim wallisschen Produkt im Sinne einer Vollständigkeit fehlende Terme ergänzt, wird zu folgender Gleichung gelangt:

${2}={\frac {1*1}{1*1}}\cdot \left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{2}}\right)\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {5}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {7}{6}}\cdot {\frac {7}{8}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \dots )$

Ein gezieltes Umsortieren der Faktoren in zwei endlose Produkte ergibt:

${1}=(2\cdot \left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \dots )*({\frac {1}{4}}$ $\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\right)\cdot \left({\frac {5}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\right)\cdot \left({\frac {7}{6}}\cdot {\frac {7}{8}}\right)\cdot \dots )$

${1}$ =   { $\pi$_unten } * { 1 / $\pi$_oben }                   Die Kreiszahl $\pi$_unten nähert sich mit immer mehr eingerechneten Zahlen von unten her und die Kreiszahl $\pi$_oben von oben her der numerischen Grenzwertgrösse des Kreisverhältnisses $\pi$ = (Kreisumfang/Durchmesser). Eine algebraische, aber auch eine geometrische Mittelwertbildung mit dem oberen und unteren Wert erhöhen hier die Konvergenzgeschwindigkeit deutlich. Mit dem Wallis-Produkt sind mit 256 eingerechneten Zahlen erst 1 wahre Nachkommastelle berechnet. Mit der verbesserter Konvergenzgeschwindigkeit sind es dann schon 9 wahre Nachkommastellen.

====Leibniz-Reihe====

Gottfried Wilhelm Leibniz (Porträt von Christoph Bernhard Francke, um 1700)

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \cdots ={\frac {\pi }{4}}$ Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

===== Erhöhen der Konvergenzgeschwindigkeit ===== Aus der Literatur ist hier keine entsprechende Massnahme bekannt.

=== Elementar gezeichnetes Berechnen === Bei einem klassisch elementar gezeichnetem Berechnen wird mit gezeichneten endlosen Berechnungsprozessen eine gleichlange Strecke zur Länge der Kreisumfanglinie gezeichnet, wie es das nebenstehende Bild zeigt. Dabei wird immer nur eine genäherte Streckenlänge erreicht, denn von den unendlich vielen bekannten Schritten der endlosen Berechnungsprozesse können aus Zeit und Aufwandgründen immer nur wenige ausgeführt werden. Allerdings wird hier schon mit wenigen Schritten eine für das reale Leben befriedigende ausreichend genaue Streckendarstellung erreicht.