Benutzer:VonHaarberg/Bézierkurve

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Definition

Konstruktion einer kubischen Bézierkurve

Eine Bézierkurve $n$-ten Grades zu gegebenen $n+1$ Kontroll- oder Bézierpunkten $P_{0},P_{1},\dotsc ,P_{n}$, die das sogenannte Kontrollpolygon bilden, ist für $t\in [0,1]$ definiert als

$C(t)=\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_{i}\,$

wobei

$B_{i,n}(t)={\binom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}$

das $i$-te Bernsteinpolynom $n$-ten Grades ist. Diese bilden eine Basis des Vektorraums der Polynome und erfüllen die Rekursionsformel

$B_{i,n}(t)=(1-t)\cdot B_{i,n-1}(t)\,+\,t\cdot B_{i-1,n-1}(t)$

mit $B_{i,n}:=0$ für $i<0$ oder $i>n$, sowie $B_{0,0}:=1$. Dies erlaubt eine numerisch stabile rekursive Berechnung der Werte einer Bézierkurve mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus:

${\begin{aligned}C_{i}^{0}(t)&\;:=\;P_{i}\\C_{i}^{j}(t)&\;:=\;(1-t)C_{i}^{j-1}(t)\,+\,tC_{i+1}^{j-1}(t)\quad {\text{mit}}\quad j=1,\ldots ,n\quad {\text{und}}\quad i=0,\ldots ,n-j\end{aligned}}$