Benutzer:Zyranivia/Hinterzimmer

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Zur Erdős-Woods-Vermutung ist die Literaturlage unübersichtlich.

Formulierung

Das Radikal ${\text{rad}}(x)$ einer natürlichen Zahl $x$ ist definiert als das Produkt ihrer verschiedenen Primfaktoren. Die Erdős-Woods-Vermutung stellt folgende Behauptung auf:

Es existiert eine natürliche Konstante $k$, sodass für zwei beliebige natürliche Zahlen $m$ und $n$ gilt:

Ist ${\text{rad}}(n+i)={\text{rad}}(m+i)$ für alle $1\leq i\leq k$, dann gilt schon $n=m$.

Insbesondere wird vermutet, dass $k=3$ ist. In Woods ursprünglicher Formulierung ist $0\leq i\leq k$, womit der Wert für $k$ eins weniger wäre.

Teilergebnisse

Die einzig bekannten Gegenbeispiele (Stand 1989) für $k=2$ sind $n=74$ und $m=1214$ sowie $n=2^{h}-3$ und $m=2^{h}(2^{h}-2)-1$ für eine beliebige natürliche Zahl $h\geq 2$. Damit muss $k\geq 3$ gelten, außerdem ist die Anzahl der Gegenbeispiele für $k=2$ nicht beschränkt. Wenn die Vermutung wahr ist, lässt sich $k$ für ein $n\geq 3$ durch $\log k\leq c{\sqrt {(\log n)(\log \log n)}}$ beschränken, wobei $c$ eine effektiv berechenbare positive Konstante ist. S. Subburam und R. Thangadurai zeigten, dass eingeschränkt auf Zahlen $n$, die auf bestimmte Weisen von Primzahlen abhängen, die Behauptung mit $k=3$ wahr ist.

Sollte die schwache abc-Vermutung oder gar die abc-Vermutung gelten, gilt auch die Erdős-Woods-Vermutung für $k=3$ bis auf endlich viele Gegenbeispiele. Gilt die Hall-Vermutung, ist zumindest $k\leq 20$. Wird also die Erdős-Woods-Vermutung widerlegt, so sind auch die erwähnten Vermutungen falsch.

Literatur

• Paul Erdős: How many pairs of products of consecutive integers have the same prime factors? Redigiert von Richard Kenneth Guy. In: The American Mathematical Monthly. Jahrgang 87, Heft 5, 1980, doi:10.2307/2321216, S. 391f.
• Alan Robert Woods: Some Problems in Logic and Number Theory, and their Connections. Dissertation, University of Manchester, 1981, S. 51–53 (PDF; 3.5 MB).
• Richard Kenneth Guy: Unsolved Problems in Number Theory (= Unsolved Problems in Intuitive Mathematics. Band 1). 2. Auflage. Springer, New York 1994, ISBN 978-1-4899-3585-4, B29, S. 83f.
• Richard Kenneth Guy: Unsolved Problems in Number Theory (= Unsolved Problems in Intuitive Mathematics. Band 1). Springer, New York 1981, ISBN 978-1-4757-1740-2.
• Ramachandran Balasubramanian, Tarlok Nath Shorey, Michel Waldschmidt: On the maximal length of two sequences of consecutive integers with the same prime divisors. In: Acta Mathematica Hungarica. Jahrgang 54, Heft 3/4, 1989, doi:10.1007/BF01952052, S. 225–236.
• Denis Richard: What are weak arithmetics? In: Theoretical Computer Science. Jahrgang 257, Heft 1/2, 2001, doi:10.1016/S0304-3975(00)00107-9, S. 17–29.
• Robert John Rundle: Generalization of Ruderman’s Problem to Imaginary Quadratic Fields. Dissertation, Queen’s University, 2012.
• S. Subburam, R. Thangadurai: On Erdős-Wood’s conjecture. In: Proceedings – Mathematical Sciences. Jahrgang 125, Heft 2, 2015, doi:10.1007/s12044-015-0229-4, S. 139–147.

Einzelnachweise

Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Vermutung (Mathematik)

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