Benutzer Diskussion:Jackwelsh007/Entwurf

@Modalanalytiker Mir ist eine Änderung in den Sinn gekommen, die die Zerlegung ${\underline {U}}_{Z}={\underline {U}}_{R}+{\underline {U}}_{X}$ aus dem Vorabschnitt aufgreift und auch im analytischen Ansatz verwendet. So wird z.B. mit ${\tilde {U}}_{\mathrm {L} }=\operatorname {Re} {\underline {U}}_{Z}=(U_{\mathrm {R} }\cos \varphi +U_{\mathrm {X} }\sin \varphi )$ m.E. ein besserer Bezug zur Anschauung herstellt und der letzte Satz im Abschnitt Längs- und Querspannungsabfall eingängiger. Wie denkst du darüber?

Änderungsvorschlag (Änderungen rot markiert):

Längs- und Querspannungsabfall

Spannungen infolge eines Spannungsabfalls an einer Leitung.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit ist in der nebenstehenden Abbildung der Betriebsspannungszeiger ${\underline {U}}_{2}$ parallel zur reellen Achse gelegt. Man definiert nun die vorzeichenbehafteten reellen Koeffizienten ${\tilde {U}}_{\mathrm {L} }:=\mathrm {Re} ({\underline {U}}_{Z})$ bzw. ${\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }:=\mathrm {Im} ({\underline {U}}_{Z})$ und nennt sie Längsspannungs- bzw. Querspannungsabfall. Mit ${\underline {U}}_{\mathrm {L} }:={\tilde {U}}_{\mathrm {L} }$ und $\;{\underline {U}}_{\mathrm {Q} }:=\mathrm {j} {\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }$ erhält man die orthogonale Zerlegung (siehe Zeigerbild):

${\underline {U}}_{Z}={\underline {U}}_{\mathrm {L} }+{\underline {U}}_{\mathrm {Q} }={\tilde {U}}_{\mathrm {L} }+\mathrm {j} {\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }$.

Mit dem Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ zwischen Betriebsspannung ${\underline {U}}_{2}$und Betriebsstrom ${\underline {I}}=I\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi }$ erhält man nach Ausmultiplizieren von ${\underline {U}}_{Z}=\color {red}{\underline {U}}_{R}+{\underline {U}}_{X}=(U_{\mathrm {R} }+\mathrm {j} U_{\mathrm {X} })\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi }$ unter Verwendung der eulerschen Formel $e^{\mathrm {j} \alpha }=\cos \alpha +\mathrm {j} \sin \alpha$ den Längsspannungsabfall zu

${\tilde {U}}_{\mathrm {L} }=\operatorname {Re} {\underline {U}}_{Z}=\color {red}U_{\mathrm {R} }\cos \varphi +U_{\mathrm {X} }\sin \varphi \quad \quad \color {black}(*)$

und den Querspannungsabfall zu

${\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }=\operatorname {Im} {\underline {U}}_{Z}=\color {red}U_{\mathrm {X} }\cos \varphi -U_{\mathrm {R} }\sin \varphi$.

Anschaulich lässt sich ${\tilde {U}}_{\mathrm {L} }$ unter Beachtung seines Vorzeichens aus den Längen der waagerechten Katheten der farblich hinterlegten Dreiecke zusammensetzen. Entsprechendes gilt für ${\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }$ und die senkrechten Katheten.

@Modalanalytiker Übrigens, weil du der Mathematik ja nicht abgeneigt bist, dachte ich die Darstellung könnte dich auch interessieren: Wegen der kanonischen Isomorphie $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ zwischen reellen Vektorräumen kann man ${\underline {U}}_{Z}$ als Vektor in $\mathbb {R} ^{2}$ auffassen mit Koordinatendarstellung $\left({\begin{array}{cc}U_{R}\\U_{X}\\\end{array}}\right)$ bzgl. der ONB ${\frac {\underline {I}}{I}},{\frac {\mathrm {j} {\underline {I}}}{I}}$ und $\left({\begin{array}{cc}{\tilde {U}}_{\mathrm {L} }\\{\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }\\\end{array}}\right)$ bzgl. der ONB ${\frac {{\underline {U}}_{2}}{U_{2}}},{\frac {\mathrm {j} {\underline {U}}_{2}}{U_{2}}}$. Da die Basen über eine Passivdrehung mit dem Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ verknüft sind, sind die Koordinaten entsprechend über die Transformationsmatrix verknüpft gemäß

$\left({\begin{array}{cc}{\tilde {U}}_{\mathrm {L} }\\{\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}U_{R}\\U_{X}\\\end{array}}\right)$. Die Transformationsbeziehungen komponentenweise hingeschrieben reproduzieren gerade obige Formeln.

Wegen $R,X,I>0$ sind auch $U_{R}=RI>0$ und $U_{X}=XI>0$. Die Koordinaten (bzw. Koeffizienten) bzgl. der ONB ${\frac {\underline {I}}{I}},{\frac {\mathrm {j} {\underline {I}}}{I}}$ sind also zugleich auch Effektivwerte und dürfen daher in der Notation unzweideutig ohne "Tilde" geschrieben werden. ${\tilde {U}}_{\mathrm {L} }$ und ${\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }$ können hingegen auch negativ werden und sind nicht zugleich auch Effektivwerte, was in der Notation gekennzeichnet werden muss.

Wäre eine alternative Darstellung, würde ich aber nicht für den Artikel vorschlagen, da zu abstrakt. War nur für dich so als Schmankerl gemeint. Es grüßt dich Jackwelsh007. --Jackwelsh007 (Diskussion) 00:41, 30. Nov. 2021 (CET)

Bei ${\underline {U}}_{Z}$ ist die Zerlegung zur ONB (1,j) im Artikel produktiv, jene zur ONB ${\frac {\underline {I}}{I}}(1,j)$ wäre es nicht. Die ist da nur ein hübsches mathematisches Gedankenspiel, weil ${\underline {U}}_{Z}$ von vornherein orthonormal "komponiert" ist. Deshalb ist es gut, dass der Gedanke - das "Schmankerl" einschließlich Drehmatrix - nicht im Artikel vorkommt. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:54, 30. Nov. 2021 (CET)

@Modalanalytiker War wie gesagt auch nicht für den Artikel gedacht $-$ deine Bemerkung verstehe ich allerdings nicht, da beide Zerlegungen produktiv in genau der Form im Artikel genutzt werden. Die Darstellung oben entspricht 1:1 der im Artikel nur eben mit der kanonischen Isomorphie $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ in den $\mathbb {R} ^{2}$ übertragen. Da die reelle Achse parallel zu ${\underline {U}}_{2}$ gelegt wurde, vereinfacht sich die ONB ${\frac {{\underline {U}}_{2}}{U_{2}}},{\frac {\mathrm {j} {\underline {U}}_{2}}{U_{2}}}$ zu $1,\mathrm {j}$ und ${\frac {\underline {I}}{I}},{\frac {\mathrm {j} {\underline {I}}}{I}}$ zu $\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi },\mathrm {j} \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi }$. Genau die ONBs werden im Artikel verwendet (vgl. erste rote Zeile oben): ${\underline {U}}_{Z}={\tilde {U}}_{\mathrm {L} }\cdot 1+{\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }\cdot \mathrm {j} =\color {red}U_{R}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi }+U_{X}\cdot \mathrm {j} \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi }$. Mithilfe der Drehmatrix lassen sich die Transformationsbeziehungen lediglich in kompakter Matrixschreibweise darstellen. Was du meinst, ist vermutlich, dass es nicht geschickt wäre, die reelle Achse parallel zu ${\underline {I}}$ zu legen $-$und das stimmt natürlich (hätte ich aber auch nie vorgeschlagen), oder verstehe ich dich falsch? --Jackwelsh007 (Diskussion) 23:45, 30. Nov. 2021 (CET)

Alles richtig. --Modalanalytiker (Diskussion) 13:13, 1. Dez. 2021 (CET)

Längsspannungsabfall als Näherungsgröße

Der Querspannungsabfall ${\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }$ sei vernachlässigbar, d.h. es gelte $|{\tilde {U}}_{\mathrm {Q} }|\ll |{\tilde {U}}_{\mathrm {L} }+U_{2}|$; ferner gelte $U_{2}\geq |{\tilde {U}}_{\mathrm {L} }|$. Dann gilt die Näherung

$\Delta U\approx {\tilde {U}}_{\mathrm {L} }$.

Sie ist bei kurzen elektrischen Leitungen erfüllt.

Setzt man $\color {red}U_{\mathrm {R} }=RI$ und $\color {red}U_{\mathrm {X} }=XI$ sowie folgende Beziehungen für die Leitungsbeläge $R'={\frac {R}{b\,l}}={\frac {\varrho }{A}}$ und $X'={\frac {X}{b\,l}}$ in $(*)$ ein, so ergibt sich die im folgenden Abschnitt angegebene Näherungsformel.

--Jackwelsh007 (Diskussion) 17:39, 28. Nov. 2021 (CET)

@Modalanalytiker Rückfrage zur Kirchoffschen Regeln: Müsste es im Satz

In Wechselstromnetzwerken können in die Summe komplexe Effektivwerte oder komplexe Amplituden oder Momentanwerte der Spannungen eingesetzt werden.

nicht doch "müssen" statt "können" heißen? Bei Wechselstromnetzwerken "kann" man ja die Summe so nicht stehen lassen, weil dann rechts die Notation für reelle Effektivwerte stünde und die Maschenregel für diese i.Allg. dann nicht gilt. Das "müssen" drückt aus, dass diese Wahlfreiheit nicht besteht. --Jackwelsh007 (Diskussion) 18:02, 28. Nov. 2021 (CET)

", weil dann rechts die Notation für reelle Effektivwerte stünde ..." verstehe ich nicht. Rechts in der Gleichung steht null. Oder meinst du, dass jemand $U_{k}$ als reellen Effektivwert versteht und das als zusätzliche Möglichkeit zu den drei genannten ansieht. Auf die Idee bin ich nicht gekommen, weil die Gleichung für Gleichstrom zitiert wird. Dann ist "müssen" besser. --Modalanalytiker (Diskussion) 19:05, 28. Nov. 2021 (CET)

@Modalanalytiker Genau das, war da unpräzis: Mit rechts meinte ich die $U_{k}$ rechts vom Summenzeichen (und die nicht Null rechts vom Gleichheitszeichen). Für den Fall, dass jemand denkt, man könne die Gleichung 1:1 in den Wechselstromfall übertragen... --Jackwelsh007 (Diskussion) 22:54, 28. Nov. 2021 (CET)

@Jackwelsh007: Die Änderungen in Rot sind in Ordnung. --Modalanalytiker (Diskussion) 19:17, 28. Nov. 2021 (CET)