Bratteli-Diagramm

Bratteli-Diagramme, benannt nach Ola Bratteli, sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis verwendete Graphen. Sie werden bei der Untersuchung der Struktur von AF-C*-Algebren (kurz AF-Algebren) eingesetzt.

Definition

Die Bratteli-Diagramme leiten sich aus der Definition der AF-Algebren ab, letztere sind die Vervollständigungen aufsteigender Folgen endlichdimensionaler C*-Algebren $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots \subset A$. Jede endlichdimensionale C*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer endlichen direkten Summe von vollen Matrix-Algebren $M_{n}$ über $\mathbb {C}$, das heißt, für jede Algebra $A_{j}$ gilt

$A_{j}\cong M_{n_{j,1}}\oplus M_{n_{j,2}}\oplus \ldots \oplus M_{n_{j,m_{j}}}$.

Bis auf die Reihenfolge sind die Zahlen $n_{j,1},\ldots ,n_{j,m_{j}}$ eindeutig bestimmt. Diese Zahlen bilden die Punkte des spaltenweise aufgebauten Bratteli-Diagramms; in der $j$-ten Spalte stehen genau die Zahlen $n_{j,1},\ldots ,n_{j,m_{j}}$, an der $(i,j)$-ten Stelle steht also die Zahl $n_{i,j}$.

Zwischen den Punkten der $j$-ten und $(j+1)$-ten Spalte werden nach folgenden Kriterien Pfeile gezogen: Die Einbettungen $A_{j}\subset A_{j+1}$ sind als injektive *-Homomorphismen bis auf unitäre Äquivalenz bereits dadurch festgelegt, mit welcher Vielfachheit der $i$-te Summand $M_{n_{j,i}}$ von $A_{j}$ in den $k$-ten Summanden $M_{n_{j+1,k}}$ von $A_{j+1}$ abgebildet wird.

Beispiel: Die Einbettung

$M_{2}\rightarrow M_{7}\oplus M_{3}\oplus M_{2},{\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&0&0&0&0&0\\x_{21}&x_{22}&0&0&0&0&0\\0&0&x_{11}&x_{12}&0&0&0\\0&0&x_{21}&x_{22}&0&0&0\\0&0&0&0&x_{11}&x_{12}&0\\0&0&0&0&x_{21}&x_{22}&0\\0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}$

hat die Vielfachheiten 3, 0 und 1. Man zieht nun $p$-Pfeile vom $(i,j)$-ten Knoten zum $(k,j+1)$-ten Knoten, wenn der $i$-te Summand von $A_{j}$ mit der Vielfachheit $p$ in den $k$-ten Summanden von $A_{j+1}$ abgebildet wird. Die Zahlen $p=p(i,j,k)$ hängen von $i,j,k$ ab und unterliegen der Beschränkung $\textstyle \sum _{i=1}^{m_{j}}p(i,j,k)n_{j,i}\leq n_{j+1,k}$, die dadurch zustande kommt, dass die Summanden in der $(j+1)$-ten Spalte groß genug sein müssen, um die entsprechenden Matrizen der $j$-ten Spalte mit den Vielfachheiten aufnehmen zu können. Nach einem Satz von Bratteli kann jede AF-Algebra bis auf Isomorphie durch eine Folge endlicher direkter Summen voller Matrix-Algebren mit den angegebenen speziellen Einbettungen konstruiert werden.

Beispiele

Kompakte Operatoren

Die aufsteigenden Inklusionen $M_{1}\subset M_{2}\subset M_{3}\subset \ldots$, wobei jede Matrix aus $M_{j}$ auf die um eine Nullzeile und eine Nullspalte erweiterte Matrix aus $M_{j+1}$ abgebildet wird, definieren bekanntlich eine AF-Algebra, die zur C*-Algebra der kompakten Operatoren auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}$ isomorph ist. Das zugehörige Bratteli-Diagramm hat nach obigem die Gestalt

$1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 5\rightarrow \ldots$

Kompakte Operatoren mit Einselement

Adjungiert man zu obigem Beispiel der kompakten Operatoren ein Einselement, so kommt zu jedem $M_{j}$ ein direkter Summand $M_{1}\cong \mathbb {C}$ hinzu und die Einbettung $\mathbb {C} \oplus M_{j}\rightarrow \mathbb {C} \oplus M_{j+1}$ sieht wir folgt aus:

$x\oplus {\begin{pmatrix}x_{11}&\ldots &x_{1j}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{j1}&\ldots &x_{jj}\\\end{pmatrix}}\mapsto x\oplus {\begin{pmatrix}x_{11}&\ldots &x_{1j}&0\\\vdots &\ddots &\vdots \vdots \\x_{j1}&\ldots &x_{jj}&0\\0&\ldots &0&x\end{pmatrix}}$

Das führt zu folgendem Bratteli-Diagramm:

${\begin{array}{cccccccccc}1&\rightarrow &1&\rightarrow &1&\rightarrow &1&\rightarrow &1&\ldots \\&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\\1&\rightarrow &2&\rightarrow &3&\rightarrow &4&\rightarrow &5&\ldots \\\end{array}}$

Cantor-Menge

Man betrachte die C*-Algebra $C(X)$ der stetigen Funktionen auf der Cantor-Menge. Man erhält eine aufsteigende Folge endlichdimensionaler Teilalgebren $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, indem man die endlichdimensionale Algebra $A_{n}$ der auf den Intervallen der Länge ${\tfrac {1}{3^{n}}}$ konstanten Funktionen via Einschränkung in die Algebra $A_{n+1}$ der auf den Intervallen der Länge ${\tfrac {1}{3^{n+1}}}$ konstanten Funktionen einbettet. Das führt zu folgendem Bratteli-Diagramm:

Links die ersten vier Spalten des Bratteli-Diagramms. $X_{n}$ ist die Vereinigung der zugehörigen Intervalle der Länge $1/{3^{n}}$, $A_{n}$ ist isomorph zur Algebra der lokalkonstanten Funktionen auf $X_{n}$

CAR-Algebra

Man erhält die CAR-Algebra durch Inklusionen

$M_{1}\subset M_{2}\subset M_{4}\subset M_{8}\subset \ldots \subset M_{2^{j}}\subset M_{2^{j+1}}\subset \ldots$,

wobei die Einbettung $M_{2^{j}}\subset M_{2^{j+1}}$ durch $X\mapsto {\begin{pmatrix}X&0\\0&X\\\end{pmatrix}}$ definiert sei. Hier sind alle Vielfachheiten gleich 2 und man erhält das folgende Bratteli-Diagramm:

$1\rightrightarrows 2\rightrightarrows 4\rightrightarrows 8\rightrightarrows \ldots \rightrightarrows 2^{j}\rightrightarrows 2^{j+1}\rightrightarrows \ldots$

Anwendungen

Die Bratteli-Diagramme zu einer AF-Algebra sind nicht eindeutig bestimmt, denn sie hängen von der konkreten Realisierung als Vervollständigung einer aufsteigenden Kette endlichdimensionaler C*-Algebren ab, und diese ist nicht eindeutig, denn man kann zum Beispiel einen Anfangsabschnitt fortlassen oder einige aufeinander folgende Inklusionen zu einer zusammenfassen. Zu jedem Bratteli-Diagramm gehört aber bis auf Isomorphie nur eine AF-Algebra und man kann Eigenschaften dieser Algebra aus einem solchen Diagramm ablesen. Es wird erläutert, wie man Informationen zur Idealstruktur abliest und wie man feststellen kann, ob die AF-Algebra liminal oder postliminal ist.

Idealstruktur

Ist $I\subset A$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in der durch $A_{1}\subset A_{2}\subset \ldots$ gegebenen AF-Algebra, so ist auch $I$ eine AF-Algebra und $I\cap A_{p}\subset I\cap A_{p+1}\subset \ldots$ ist eine aufsteigende Folge endlichdimensionaler Teil-C*-Algebren mit in $I$ dicht liegender Vereinigung. Dabei ist $p$ so groß gewählt, dass $I\cap A_{p}\not =\{0\}$. Auf diese Weise wird jedem abgeschlossenen zweiseitigen Ideal ein Untergraph $D_{I}$ des Bratteli-Diagramms $D_{A}$ von $A$ zugeordnet. Dem Nullideal entspricht dabei der leere Untergraph.

Ein Untergraph $S$ eines Bratteli-Diagramms heißt gerichtet, wenn er mit jedem Punkt alle davon ausgehenden Pfeile mit den zugehörigen Zielpunkten enthält.

Ein Untergraph heißt erblich (engl. hereditary), wenn folgendes gilt: Liegen für einen Punkt alle Zielpunkte der von ihm ausgehenden Pfeile im Untergraphen, so muss auch bereits dieser Punkt im Untergraphen enthalten sein. Es gilt nun folgender Satz:

• Ist $A$ eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm $D_{A}$, so ist obige Zuordnung $I\mapsto D_{I}$ eine Bijektion von der Menge der abgeschlossenen zweiseitigen Ideale auf die Menge der gerichteten, erblichen Untergraphen von $D_{A}$.

Eine C*-Algebra heißt einfach, wenn sie außer dem Nullideal und sich selbst keine weiteren abgeschlossenen zweiseitigen Ideale enthält. Aus obigem Satz leitet man leicht das folgende Korollar ab:

• Eine AF-Algebra $A$ mit Bratteli-Diagramm $D_{A}$ ist genau dann einfach, wenn es zu dem Punkt $x$ aus $D_{A}$ eine Spalte gibt, so dass man jeden Punkt dieser Spalte von $x$ aus durch einen Weg von Pfeilen erreichen kann.

Insbesondere sind die C*-Algebren der kompakten Operatoren und die CAR-Algebra einfach, denn die zugehörigen Bratteli-Diagramme sind lineare Ketten. Adjungiert man ein Einselement zur Algebra der kompakten Operatoren, so ist die entstehende Algebra nicht einfach, denn am Bratteli-Diagramm erkennt man mühelos, dass von keinem Punkt der unteren Zeile je eine 1 der oberen Zeile in einer nachfolgenden Spalte erreicht werden kann. Offenbar ist die untere Zeile ein gerichteter und erblicher Untergraph, er entspricht dem Ideal der kompakten Operatoren.

Liminale und postliminale AF-Algebren

Man kann am Bratteli-Diagramm einer AF-Algebra ablesen, ob diese liminal oder postliminal ist. Dazu betrachtet man unendliche Wege im Bratelli-Diagramm, das heißt Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Punkten im Diagramm, so dass für jedes $n$ mindestens ein Pfeil von $x_{n}$ nach $x_{n+1}$ führt. Sind $x$ und $y$ zwei Punkte, so sagt man $y$ sei Nachfolger von $x$ mit Multiplizität $q$, wenn es $q$ verschiedene Wege von $x$ nach $y$ gibt.

• Sei $A$ eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm $D_{A}$. $A$ ist genau dann liminal, wenn es zu jedem unendlichen Weg $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $D_{A}$ natürliche Zahlen $p$ und $q$ gibt, so dass $x_{n}$ für alle $n\geq p$ Nachfolger von $x_{1}$ mit Multiplizität $q$ ist.

Demnach sind die obigen Beispiele kompakte Operatoren und Cantor-Menge liminal, denn die Bratteli-Diagramme sind Bäume mit einfachen Kanten, das heißt, es kann ohnehin nur die Multiplizität 1 auftreten. Das Beispiel Kompakte Operatoren mit Einselement ist nicht liminal, da es für den Weg bestehend aus der 1 der oberen Zeile und allen Punkten $2,3,4,\ldots ,n,\ldots$ der unteren Zeile mit wachsendem $n$ immer mehr mögliche Wege von 1 nach $n$ gibt, das heißt, die Multiplizität kann nicht ab einer bestimmten Stelle durch ein festes $q$ beschränkt werden.

• Sei $A$ eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm $D_{A}$. $A$ ist genau dann postliminal, wenn es zu jedem unendlichen Weg $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $D_{A}$ eine natürliche Zahl $p$ gibt, so dass $x_{n}$ für jedes $n>p$ ein Nachfolger von $x_{n-1}$ mit Multiplizität 1 ist.

Man sieht leicht ein, dass das Bratteli-Diagramm des Beispiels Kompakte Operatoren mit Einselement diese Eigenschaft hat, es handelt sich also um eine postliminale C*-Algebra. Die CAR-Algebra hat diese Eigenschaft nicht, denn alle auftretenden Multiplizitäten zwischen direkten Nachfolgern sind gleich 2, die CAR-Algebra ist daher nicht postliminal.